2022-2023学年河南省驻马店市确山县第一高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省驻马店市确山县第一高级中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．若的展开式中的常数项为－20，则a=（    ）

A．2 B．－2 C．1 D．－1

【答案】D

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项.

【详解】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，可得展开式的常数项为：，解得：.

故选：D.

2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（    ）

A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2

【答案】A

【分析】利用条件概率公式即可求解.

【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，

B表示取得的X光片为次品，

P=，P=，P=，

P=，P=，P=；

则由全概率公式，

所求概率为P=P+P+P

=×+×+×=0.08.

故选：A

3．的值等于

A．7351 B．7355 C．7513 D．7315

【答案】D

【详解】原式等于，故选D.

4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据投影向量的公式求解即可

【详解】在上投影向量

故选：A

5．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.

【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，

故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大，

则，因为，所以，所以，．

故选：C.

6．已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小值为 （    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【分析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.

【详解】抛物线的准线l：，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，

在抛物线C上任取不同于点P的点，过作于点N，连PF，AN，，

由抛物线定义知，，

于是得，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，取最小值，

所以的最小值为3.

故选：D

7．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.

【详解】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，

要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能.

所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率.

故选：A

8．现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（     ）

A．种 B．种

C．种 D．种

【答案】C

【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案.

【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组，

共有种分配方法；

若名志愿者以形式分为四个服务小组，

共有种分配方法.

故共有种分配方法.

故选：C

9．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．

【详解】圆，即，圆心为，半径，

圆，即，圆心为，半径，

设点关于直线对称的点为

则 ，解得：，

圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，

设圆上的点与圆上点对称，则有，

原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，

连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，

此时，即的最小值为，

故选：A．

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.

10．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.（参考数据：）（　　）

A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.5

【答案】A

【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数，知，利用求解可得p的范围，即可得出选项.

【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y可能取值为1，11.

，，

故Y的分布列为：

设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X，则

要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需

即，即，即

又，

，

，.

故选：A.

二、多选题

11．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，E、F、G、M分别为的中点．则（    ）

A．与平面夹角余弦值为 B．与所成角为

C．平面EFB D．平面⊥平面

【答案】BCD

【分析】建系，利用坐标法，根据线面角，线线角的向量求法可判断AB，根据线面平行的判定定理可判断C，利用线面垂直的判定定理先证平面，可得，再证平面，然后根据面面垂直的判定定理即得．

【详解】如图1，建立空间之间坐标系，设，则有：

，

∴，，，，，

设平面ACC1A1的法向量为

则有，令x＝1，则，

则，

∴与平面夹角的正弦值为，则余弦值为，A错误；

∵，

∴AB1与BC1所成角的余弦值为，则夹角为，B正确；

如图2：连接，设，连接OF，

E、M分别为的中点，则且，

∴为平行四边形，则O为的中点，

又∵F为的中点，则，

平面EFB，平面EFB，

∴平面EFB，C正确；

由题可知平面即为平面，

由题意可得：，

又，平面，

∴平面，

平面，则，

又∵为正方形，则，

又，平面，

所以平面，平面，

∴平面⊥平面，即平面⊥平面，D正确.

故选：BCD．

12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的离心率是

B．点关于直线的对称点在半圆上

C．面积的最大值是

D．线段AB长度的取值范围是

【答案】ACD

【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A；求出关于直线的对称点即可判断B；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB长度的取值范围，判断D；

【详解】由题意得半圆的方程为，

设椭圆的方程为，

所以 ，所以，

所以椭圆的方程为．

A．椭圆的离心率是，故A正确；

B．设关于直线的对称点为，

可得且，

解得，即对称点为，

因为半圆的方程为，

所以对称点为不在半圆上，故B错误；

C．由题得面积，

设，

设，

所以，

所以

，当且仅当时等号成立，故C正确；

D．当时，；当时，，

所以线段AB长度的取值范围是，故D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为__________.

【答案】

【分析】依题意可得，，即可求出、的值，从而得解.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

可得，其右焦点为，可得，又，

解得，，

则双曲线的方程为：．

故答案为：．

14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为__________.

【答案】9

【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC水平放置时，液面高度.

【详解】设的面积为x，底面ABC水平放置时，液面高为h

则水的体积为

当底面ABC水平放置时，水的体积为，解得

故答案为:9

15．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.

【答案】

【分析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，

又，，，

故.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法：

（1）；

（2）；

（3）转化为古典概型求解.

四、双空题

16．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，_____；展开式中系数最大的项________．

【答案】     9    

【分析】由题意得：，得，又二项式的展开式通项为：，得即可解决.

【详解】由题意得：，解得：或，

因为，

所以（舍去），从而，

因为二项式的展开式通项为：，

所以系数为，要求其最大值，

所以只要满足，即，

解得：，

因为，

所以，

所以系数最大项为

故答案为：9；

五、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知圆：．

(1)若直线：恒过圆内一定点，求过点的最短弦所在直线的方程；

(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）首先求出直线所过定点，然后分析出最短弦与垂直，求出斜率，写出直线即可；

（2）根据题意得到，即，即，化简得到的轨迹方程为，求出点到上述直线的距离即为 最小值.

【详解】（1）直线的方程变形为，

令，解得，

所以无论取何值，直线过定点，

又因为圆的圆心，

因为过点的最短弦与垂直，且直线CM的斜率，

所以最短弦所在直线的斜率为，

故最短弦的直线方程为，即；

（2）由于，

所以，

又，

所以，

所以，化简得，

所以点的轨迹方程为，

因为，

所以取得最小值，即取得最小值，

点到直线的距离，

即的最小值为．

18．甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为，，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为.

(1)求的值；

(2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分情况，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，再根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得；

（2）根据全概率公式计算可得.

【详解】（1）由题知，乙，丙进行比赛，丙每局获胜的概率为，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为；或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，概率为，所以丙获胜的概率为，计算得.

（2）设事件为：甲与丙进行比赛，事件为：乙与丙进行比赛，事件为：丙比赛获胜，则，，，，所以.

19．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，，且和的分布列如下表：

试对这两名工人的技术水平进行比较．

【答案】乙的技术更稳定．

【分析】根据分布列分别求甲和乙的期望和方差，再进行比较.

【详解】【解】工人甲生产出次品数的均值和方差分别为

，

．

工人乙生产出次品数的均值和方差分别为

，

．

由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技术更稳定．

20．如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.

(1)若点为棱的中点，证明：平面；

(2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【分析】(1)延长交于点，连接,证明即可；

(2)以的中点为为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.

【详解】（1）

延长交于点，连接，

在中，

是的平分线，且，

是等腰三角形，点是的中点，

又是的中点，

，

又平面平面，

直线平面.

（2）在中，，

则，即，

由已知得，

又平面平面平面

所以平面，即，

所以以为二面角的平面角，

所以，

又，所以为正三角形，

取的中点为，连，则平面

如图建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设分别为平面和平面的法向量，则

，即，取，则，

，即，取，则，

所以.

则平面和平面所成夹角的余弦值为.

21．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表：

乙公司送餐员送餐单数频数表：

若将频率视为概率，回答下列两个问题：

（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；

（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.

【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.

【解析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为，然后依次求出、、、、时的工资以及概率，即可列出的分布列并求出数学期望；

（2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果.

【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为，

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，，

故的所有可能取值为、、、、，

故的分布列为：

故.

（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：

，

则甲公司送餐员日平均工资为元，

因为乙公司送餐员日平均工资为元，，

所以推荐小王去乙公司应聘.

【点睛】关键点点睛：

（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，

（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.

22．已知点，点M是圆A：上任意一点，线段MB的垂直平分线交半径MA于点P，当点M在圆A上运动时，记P点的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程；

(2)作轴，交轨迹E于点Q（Q点在x轴的上方），直线与轨迹E交于C、D（l不过Q点）两点，若CQ和DQ关于直线BQ对称，试求m的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹E的方程；

（2）先将直线的方程与轨迹E的方程联立，再利用设而不求的方法表示，进而得到的关系式，从而求得m的值.

【详解】（1）圆的圆心，半径，

点为线段的垂直平分线与半径的交点，，

，

点的轨迹是以､为焦点的椭圆，设其方程为，

则，，所以，，，

因此，轨迹的方程为.

（2）设、，轴，点在轴的上方，

将代入方程，可得，则，

联立可得，

，可得，

由韦达定可得，.

因为、关于直线对称，则，

则，

又，，

则，

即，

化简得： ，即

则或，

当时，，

此时，直线的方程为，

直线过点，不合题意.

综上所述，.