2022-2023学年湖北省黄石市阳新县兴国高级中学等三校高二上学期期末线上测试数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省黄石市阳新县兴国高级中学等三校高二上学期期末线上测试数学试题

一、单选题

1．如图，在平行六面体中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量的加减法法则计算即可.

【详解】

故选：C

2．已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可.

【详解】解：设中点为,连接,设中点为,则

,

当与重合时，取最小值0.此时有最小值，

故选：A

3．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：

①平面；

②三棱锥体积为定值；

③平面；

④平面平面；

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【答案】C

【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．

【详解】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；

，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；

平面就是平面，而与平面相交，③错；

长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．

故选：C．

4．若直线的倾斜角为，则等于（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【解析】根据已知建立方程可得选项.

【详解】由已知得直线的倾斜角为，所以，解得，

故选：B.

5．已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由题意可知圆心在线段的垂直平分线上，将所求的最值转化为原点到该直线的距离，即可得解.

【详解】由圆过点，，可知圆心在线段的垂直平分线上

又，则

又的中点为，则直线的方程为

圆心到原点距离的最小值即为原点到直线的距离为

故选：B

6．若圆与圆外切，则.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化为圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式，即可求解答案．

【详解】由圆，得到圆心坐标，半径为，

由圆，得到圆心坐标，半径为，

圆心与圆外切，所以，

解得，故选B．

【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的合理应用，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

7．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】若△AF1B的周长为4,

由椭圆的定义可知,,

,,

，

所以方程为，故选A.

【解析】椭圆方程及性质

8．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设椭圆的左焦点为：,根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解.

【详解】设椭圆的左焦点为：,

因为，

所以四边形为为矩形，

所以

因为，

所以

由椭圆的定义得：，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

故选：B

【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．

二、多选题

9．在下列四个命题中，错误的有（    ）

A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B．直线的倾斜角的取值范围是

C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

【答案】ABCD

【分析】根据直线、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，由此判断选项是否正确.

【详解】对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误；

对于B：直线倾斜角的取值范围是，所以B错误；

对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为，

如的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误；

对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误.

故选：ABCD

10．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（    ）

A．

B．

C． 是平面 的一个法向量

D．

【答案】ABC

【分析】运用数量积逐项分析.

【详解】由题意可知 都是非零向量，

对于A， ，正确；

对于B， ，正确；

对于C， 平面ABCD， 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，正确；

对于D， 平面ABCD， 平面ABCD， ，错误；

故选：ABC.

11．已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段，弧长之比为2∶1，则圆C的方程为（    ）

A．x2＋2＝ B．x2＋2＝

C．2＋y2＝ D．2＋y2＝

【答案】CD

【分析】由题意，设C (a,0)，结合被y轴分成两段的弧长比有|a|＝，根据弦长、半径、弦心距的几何关系求参数a，即可写出圆的方程.

【详解】由圆C关于x轴对称，可设圆心C (a,0)，又圆C被y轴分成的两段弧长之比为2∶1，

∴|a|＝，则()2＋1＝r2，得r2＝，a＝±，

∴圆C的方程为2＋y2＝.

故选：CD．

12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ）

A．为等比数列

B．

C． 轴，且

D．四边形的内切圆过焦点

【答案】BD

【分析】若为等比数列，可得，则求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D.

【详解】解：，

，，

对于A：为等比数列，

则 ，

，不满足条件，故错误；

对于B：,

,

即解得或（舍去）满足条件.

故B正确；

对于C： 轴，且，

即解得，

不满足题意，故C错误；

对于D：四边形的内切圆过焦点，

即四边形的内切圆的半径为，

解得（舍去）或

，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知向量 ，，且 与 互相垂直，则 ____．

【答案】##

【分析】利用空间向量垂直列方程直接求解.

【详解】因为向量 ，，所以 ， .

因为 与 垂直，所以，

所以，

解得：.

故答案为：.

14．已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为______．

【答案】##0.25．

【分析】易知直线经过圆心，得到，再利用不等式即可求解.

【详解】圆的圆心，

因为直线是圆的一条对称轴，

故直线经过圆心，即得，

则，当且仅当时取等号，

所以ab的最大值为．

故答案为：.

15．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.

【答案】

【分析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小.

【详解】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：

由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为：

,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得：

.

故答案为：

【点睛】本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力.

16．设、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一个点，，为与的等比中项，则该椭圆的离心率为______.

【答案】

【分析】在中，由余弦定理知，，

从而可得，即，进而可求离心率.

【详解】解：因为为与的等比中项，所以，

在中，由余弦定理知，

，即，

所以，则离心率.

故答案为: .

【点睛】本题考查了余弦定理，考查了椭圆的定义，考查了椭圆离心率的求解，考查了等比中项.本题的关键是结合余弦定理和等比中项写出含的式子.

四、解答题

17．在平行六面体 中，平面，，．

(1)证明：平面；

(2)求点 到平面 的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）利用向量法求得点到平面的距离.

【详解】（1）因为 平面，，

所以 平面，

因为四边形 是平行四边形，

所以 ，

因为 ，所以 ，

以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，

所以，，，，，

所以 ，，．

所以 ，，

所以 ，，

又 ，平面，平面，

所以 平面．

（2）由（）可知 是平面 的一个法向量，

又 ，

所以 ，

所以点 到平面 的距离 ．

18．已知四边形为等腰梯形，,沿对角线将旋转，使得点至点的位置，此时满足.

（1）判断的形状，并证明；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

【答案】(1)见解析(2)

【详解】试题分析：（1）由题意可得：，又，所以平面，进而得到，

又，故为直角三角形；

（2）建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到二面角的平面角的余弦值，进而得正弦值.

试题解析：

（1）为等腰直角三角形，

证明：在等腰梯形中，由平面几何知识可得，又，

由余弦定理得，则，故，

折叠后，又，故平面，

而面，故，

又，故为直角三角形.

(2)由（1）知平面，，以点为坐标原点，以所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则，

平面的法向量为，则，

取故，，

同理可求得平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，则，

结合图形可知.

点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

19．设直线l的方程为．

(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）求得直线在轴上的截距，根据题意列出关于的方程，即可求得结果；

（2）根据直线斜率和轴截距满足的条件，列出不等式，求解即可.

【详解】（1）

令，得．令，得，

根据题意可得，解得或，

故所求的直线l方程为或．

（2）直线l的方程可化为．

∵l不过第二象限，∴，解得.

故a的取值范围为．

20．已知圆心坐标为（2，1）的圆C与y轴相切.

(1)求圆C的方程；

(2)设直线与圆C交于A，B两点，从条件①，条件②中选择一个作为已知，求m的值.

条件①；条件②：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得出圆心和半径，即可得圆的方程；（2）对于①②均可根据垂径定理分析得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式运算求解.

【详解】（1）由题意可得：圆C的圆心坐标为，半径为，

故圆C的方程为.

（2）若选①：圆心C到直线的距离，

则，解得.

若选②：圆心C到直线的距离，

则，解得.

21．已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．

【答案】（1）（2）直线l的方程为

【解析】（1）根据椭圆的几何性质求得，；

（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程．

【详解】解：（1）椭圆C的离心率为，，

，即

椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为，

，，从而得，

椭圆C的方程为；

（2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k，

直线l的方程为，即，

直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得：

且该方程显然有二不等根，

记A，B两点的坐标依次为，，

，即，

，解得，

所求直线l的方程为．

【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．

22．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【答案】(Ⅰ) ，；

(Ⅱ)见解析.

【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；

(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.

【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，

故抛物线方程为：，其准线方程为：.

(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，

设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.

故：.

设，则，

直线的方程为，与联立可得：，同理可得，

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，

且：，，

则圆的方程为：，

令整理可得：，解得：，

即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.