2022-2023学年湖北省五校（郧阳中学、恩施高中、沙市中学、随州二中、襄阳三中）高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省五校（郧阳中学、恩施高中、沙市中学、随州二中、襄阳三中）高二上学期11月期中联考数学试题

一、单选题

1．若，，则等于（    ）

A．5 B． C．7 D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解.

【详解】∵，，∴两式相加得，

∴，∴，

∴，

故选：B．

2．已知点到直线的距离为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.

【详解】解：由题意得．

解得或．，．

故选：C.

3．如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第40百分位数是（    ）

A．2℃ B．-1℃ C．-0.5℃ D．℃

【答案】C

【分析】通过折线图，将这10天的最低气温按从小到大顺序，第4，第5个数据的平均数为第40百分位数.

【详解】由折线图可知，这10天的最低气温按照

从小到大排列为：，，，，，，，，，，因为共有10个数据，所以

是整数，则这10天的最低气温的

第40百分位数是(℃).

故选：C

4．设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，进而根据点差法求解即可.

【详解】解：设，故有①，②，

所以，两式作差得，即，

所以，，

因为的中点为，

所以，

所以

故选：A

5．从2名男同学和3名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有2名女同学的概率为（    ）

A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.2

【答案】A

【分析】用列举法结合古典概型的概率公式求解即可

【详解】设2名男生为，3名女生为，

则任选3人的种数为

，

，

共10种，

其中恰有2名女生的有

，，

共6种，

故恰有一名女同学的概率 .

故选：A．

6．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（    ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

【答案】D

【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，

则，

因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，

，

所以.

故选：D

7．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（    ）

A．平面平面；

B．点到直线的距离；

C．若二面角的平面角的余弦值为，则；

D．点A到平面的距离为．

【答案】D

【分析】A选项，作出辅助线，证明出AC⊥BC，结合平面可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B选项，求出点P到直线CD的距离即为PC的长度，利用勾股定理求出答案；C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D选项，过点A作AH⊥PC于点H，证明AH的长即为点A到平面的距离，求出AH的长.

【详解】A选项，因为平面，平面，

所以CD，

故∠PBA即为与底面所成的角，，

因为，

所以PA=AB=1，

因为，

取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，

则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°，

所以AC⊥CD，

又因为，

所以CD⊥平面PAC，

因为CD平面PCD，

所以平面平面PCD，A正确；

由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC，

因为平面PAC

所以CD⊥PC，

故点P到直线CD的距离即为PC的长度，

其中

由勾股定理得：，B正确；

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为，

则，令得：，

所以，

设二面角的平面角为，显然，

其中，

解得：或，

因为，所以，C正确；

过点A作AH⊥PC于点H，

由于CD⊥平面APC，平面APC，

所以AH⊥CD，

因为，

所以AH⊥平面PCD，

故AH即为点A到平面PCD的距离，

因为PA⊥AC，

所以，D选项错误

故选：D

8．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以，故选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

二、多选题

9．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．已知直线与直线互相垂直，则

C．圆的圆心到直线的距离为2

D．两圆与的公共弦所在的直线方程为

【答案】AB

【分析】将直线转化为对恒成立，即可判断A是否正确；根据直线垂直的关系可知，解出的值，即可判断B是否正确；求出圆心坐标，再根据点到直线的距离公式即可判断C是否正确；将两圆方程联立作差，即可求解两个圆的公共弦方程，进而判断D是否正确；

【详解】直线，即对恒成立，所以直线恒过定点，所以A正确；

因为与直线互相垂直，所以，所以，所以B正确；

因为圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离为，所以C错误；

将两圆与方程联立，作差可得，所以D错误.

故选：AB.

10．已知圆：，直线：，下面命题中正确的是（    ）

A．对任意实数与，直线和圆有公共点；

B．对任意实数与，直线与圆都相离；

C．存在实数与，直线和圆相交；

D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切.

【答案】ACD

【分析】由题意求得圆与直线有公共点；求得圆心到直线的距离为；即可得出答案.

【详解】解：对于A，圆：的圆心为，半径为；无论取何值，都有，∴圆过定点；

又直线：可化为，过定点；

∴直线和圆有公共点，A正确；

对于B，圆心到直线的距离为，其中；∴，故B错误；

根据B的分析，可得C､D正确.

故选：ACD

11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.

【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，

并且根据图象可得 ，（*）

，故A正确；

，故B正确；

（*）两式相加，可得，故C不正确；

由（*）可得 ，两式相乘可得

，

，故D正确.

故选ABD

【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.

12．在正方体中，点满足，其中，，则（    ）

A．当时，平面

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，的面积为定值

D．当时，直线与所成角的范围为

【答案】ABD

【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；

对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；

对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；

对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围.

【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动，

又平面，所以平面，

在正方体中，且，则四边形为平行四边形，

所以，，平面，平面，平面，

同理可证平面，

，所以，平面平面，

平面，所以，平面，A正确；

对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动，

三棱锥的体积为定值，B正确；

对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点，

则，其大小随着的变化而变化，C错误；

对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线，

因为且,所以四边形为平行四边形，所以，

所以或其补角是直线与所成角，

在正中，的取值范围为，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．

【答案】和.

【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为，得到，得出对角线所在直线的斜率为，结合两角和的正切公式，求得，再结合两直线的位置关系，即可求解.

【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为，其斜率，

则其中一条对角线所在直线的倾斜角为，其斜率为，

根据题意值，可得，解得，

即正方形其中一边所在直线的斜率为，

又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为.

故答案为：和.

14．若向量，，共面，则______．

【答案】

【分析】根据可构造方程组求得结果.

【详解】共面，，，解得：，

.

故答案为：.

15．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________．

【答案】

【分析】先求函数的定义域，再将原问题转换为半圆与直线存在2个交点.

【详解】 的定义域为 ，

原问题等价于 与 有两个交点，求k的取值范围，

为过定点 的直线， ，所以 为圆心在原点，半径为1的圆的x轴的上半部分，

与 的大致图像如下：

考虑直线与半圆相切的情况： ，解得 （舍）或 ，

.

故答案为： .

16．已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为___________.

【答案】##

【分析】的几何意义为点到直线的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是的中点到直线的距离的2倍.求出M的轨迹即可求得该最大值.

【详解】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍.

由题可知，为等边三角形，则，

∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，

故点到直线的最大距离为，

∴的最大值为，

∴的最大值为＝.

故答案为：.

四、解答题

17．已知直线过点.

(1)若直线与垂直，求直线的方程；

(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2)或

【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；

（2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P，即可求得参数m

【详解】（1）直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为，即；

（2）当截距为0时，直线的方程为；

当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为.

综上，直线的方程为或

18．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．

（1）求证：；

（2）求EF与C1G所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；

（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值

【详解】（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

则，，

所以，即，

所以.

（2）由（1）知，，，

则，

因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.

19．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．

（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)把该选手进入第三轮才被淘汰的事件视为三个相互独立事件的积，再用概率的乘法公式计算即可；

(2)把该选手至多进入第二轮考核的事件拆成两个互斥事件的和，再用互斥事件的加法公式计算即得.

【详解】记“该选手正确回答第i轮问题”为事件，则，，，

该选手进入第三轮才被淘汰的事件为，其概率为；

该选手至多进入第二轮考核的事件为，其概率为.

20．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)求a，b的值；

(2)计算本次面试成绩的众数和平均成绩；

(3)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分.

【答案】(1)；

(2)众数为70，平均成绩为69.5分；

(3)78分.

【分析】（1）先算出第五组频率，可得.后由前两组频率和为0.3可得.

（2）由众数，平均数计算公式可得答案.

（3）中位数对应录取率为，本题即是求频率所对应分数.

【详解】（1）由题图可知组距为10.

第三组，第四组频率之和为，又后三组频率和为0.7，

则第五组频率为0.05，第一组频率也为0.05，故第二组频率为0.25.

得.

（2）由题图可知第三个矩形最高，故众数为.

平均数为.

（3）前三组频率之和为.

前四组频率之和为.

故频率0.81对应分数在75到85之间.

设分数为，则有，解得.

故若要求选拔录取率为19%，至少需要78分.

21．已知椭圆右焦点为，离心率．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过焦点F且倾斜角为锐角的直线l与圆相切，与椭圆E相交于M、N两点，求椭圆的弦MN的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据离心率和焦点即可求解，进而可求，

（2）根据直线与圆相切求解得，进而联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解.

【详解】（1）由题意可知：，解得，故，

所以椭圆的方程为

（2）设直线的方程为，由于直线l与圆相切，所以，解得，（舍去），故直线的方程为，

联立直线与椭圆的方程，

设,所以，

由弦长公式得

22．已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切．

(1)求圆C的标准方程．

(2)若圆C的一条弦经过点，求这条弦的最短长度．

(3)已知，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)

(3)存在，点B的坐标为.

【分析】（1）由题意圆心坐标为，，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案．

（2）先判断点在圆内，由圆的集合性质可得直线与这条弦垂直时，这条弦的长度最短从而可得出答案．

（3）设，，，分别表示出，，由为定值得出答案．

【详解】（1）由题意设圆心坐标为，，则圆的方程为．

因为直线与圆相切，

所以点到直线的距离，

因为，所以，故圆的标准方程为；

（2）因为，

所以当直线与这条弦垂直时，这条弦的长度最短，

故所求最短弦长为．

（3）假设存在定点，设，，，

则，

则，

当，即舍去）时，为定值，

且定值为，故存在定点，且的坐标为．