2022-2023学年湖北省武汉市华中科技大学附属中学高二下学期2月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市华中科技大学附属中学高二下学期2月月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市华中科技大学附属中学高二下学期2月月考数学试题 一、单选题1．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以.故选：D.2．已知圆：和定点，若过点可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】把圆的方程化为标准方程，由过点可以作两条直线与圆相切，可知点在圆外，列出不等式即可得到的取值范围.【详解】圆：化为标准方程：，过点可以作两条直线与圆相切，点在圆外，将点代入圆方程得：，（舍去）或，的取值范围是.故选：D.3．已知等差数列满足，则数列的前5项和为（    ）A．15 B．16 C．20 D．30【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用前n项和公式计算作答.【详解】等差数列中，，解得，而，所以数列的前5项和.故选：A4．如果直线与直线关于直线对称，那么（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出.【详解】在上取一点，则由题意可得其关于直线的对称点在上，所以，得，在上取一点，则其关于直线的对称点在上，所以，得，综上，故选：A5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（    ）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【分析】作于，由抛物线的定义可得，.根据三角形的三边关系可得，，，可知要使取得最小值，则需四点共线，则过过点，作，垂足为，交圆于点，交抛物线于，可得出最小值.【详解】由题意知，圆心，半径，抛物线的焦点，准线.如图，作于，因为在抛物线上，所以.因为，，当三点共线时，取等号.又，则当三点共线时，取等号.过点，作，垂足为，交圆于点，交抛物线于，此时，有四点共线，则上述两式可同时取等号.所以有，.所以，的最小值为8.故选：C.6．已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（    ）A．0 B．50 C．100 D．2525【答案】B【分析】法一：先利用求出，利用累乘法得到，再分组求和；法二：先利用求出，又易知，从而得到为常数列，求出，再分组求和.【详解】法一：由于①，则当时，②，①-②，得，即，易知，所以．又满足，故，则，易知，所以.法二：由于①，则当时，②， ①-②，得，即，又易知，所以数列为常数列，所以，所以，则，易知，所以.故选：B．7．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为：，即，到渐近线的距离为，，则直角三角形的内切圆的半径，如图，设三角形的内切圆与切于，则，，可得，，即，则，所以，由，，，.故选：A.8．已知函数的定义域为R，且满足，对任意实数都有，若，则中的最大项为（    ）A． B． C．和 D．和【答案】D【分析】方法一：由条件变形为，采用赋值法令可得，推出数列是首项为，公差为10的等差数列，求得，判断其单调性，即可求得答案.【详解】方法一：由题意，可得，令，而，得，即，即即数列是首项为，公差为10的等差数列，所以，则，则，当时，；当 时，；当时，，所以中最大项为和，故选：D.方法二：由，得，设，则，故可设，由，得，所以，则，所以，因为，所以当时，，；当时，，；当时，，,所以中的最大项为和，故选：D.【点睛】关键点点睛：方法一：构造等差数列，利用等差数列的通项公式以及数列的单调性判断，即可求出中的最大项；方法二：熟悉相关二级结论，即可知晓抽象函数的原型，根据具体函数的性质以及数列的单调性判断求出．若，则对任意实数，有；若，则对任意实数，有；若（，），则对任意实数，有． 二、多选题9．下列有关数列的说法正确的是（    ）A．在数列1，，，2，，…中，第8个数可能是B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项C．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为【答案】ABD【分析】根据数列的概念对选项一一判断即可．【详解】A中，所以第8个数可能是，正确；B中，，正确；C中，数列，0，4与数列4，0，不是同一个数列，因为顺序不一样，故错误；D中，,故通项公式为，正确．故选：ABD10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ）A． B．C．若，则 D．【答案】ABD【分析】根据数列特征得到为，，，，，，，周期为的数列，从而得到，A正确，，B正确，根据数列的周期求和得到或，所以C错误，根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D正确.【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，数列为依次连续两个奇数和一个偶数，所以数列为，，，，，，，则数列为周期数列，且周期为，所以，故A正确；因为，故B正确；因为，，且，，，所以或，故C错误；，故D正确.故选：ABD11．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线，，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ）A．四边形面积的最小值为8B．当直线的方程为时，最小C．线段长度的最小值为D．若动直线，且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线横截距的取值范围为【答案】CD【分析】由切线性质，，，由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合四边形面积计算判断，当方程为时，由对称性求得，求出，然后再取一特殊值得出比此时的小可判断，由弦长求出圆心到弦的距离的范围，从而设直线方程为后可求得的范围，从而可得横截距范围判断D．【详解】圆的圆心，半径为，可知，，，，当取最小值时，四边形面积取得最小值，    此时，所以四边形面积的最小值为，故错误；又圆心到直线的距离，所以当取得最小值时，，可得，故最小值，故正确；当直线的方程为时，，，则，所以直线与直线垂直，又是中点，，，所以，则，所以，易得四边形是正方形，此时=，而当时，直角三角形中，，，故错误；设M到直线的距离为，因为，且，所以，则，设，所以，即，解得，所以直线的横截距的取值范围为，故D正确．故选：．12．已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（    ）A．若直线的斜率为，则B．的最小值为C．若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为D．若点，则周长的最小值为【答案】BCD【分析】首先求出抛物线的解析式，设出的坐标，联立进行求解，当时，，进而判断选项A错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；过作垂直于准线，垂足为，结合的周长，进而判断选项D即可.【详解】由题意得点在抛物线上，所以，解得，所以，则，设直线，与联立得，设，，所以，，所以，当时，，A项错误；，则，当且仅当，时等号成立，B项正确；如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，所以，所以以为直径的圆与轴相切，所以点为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，又为的中点，所以点的纵坐标为，又点在抛物线上，所以点的横坐标为，C项正确；过作垂直于准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号，D项正确.故选：BCD. 三、填空题13．年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为______．【答案】【分析】利用导数的定义可求得该运动员在时滑雪瞬时速度.【详解】，所以，该运动员的滑雪瞬时速度为.故答案为：.14．等比数列中，，．则的前9项之和为______．【答案】9或21【分析】利用解出公比，即可求解.【详解】,即，，若，则，若，则，故答案为：9或21.15．三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______．【答案】【分析】作出图形，根据条件可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，然后利用二面角的大小和勾股定理即可求解.【详解】作出三棱锥P－ABC，如图所示：为的中点，分别为和的外心，过点分别作平面和平面的垂线，交点为，连接.根据题意可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，所以三棱锥外接球的球心，设外接球半径，由题意知：和均为边长为2的正三角形，所以，，所以即为二面角P－AB－C的平面角，因为二面角P－AB－C为120°，也即，因为和均为边长为2的正三角形，所以，，则，所以，则，在中，因为，，所以，又因为，所以在中，，即，所以，故答案为：.16．已知椭圆E：，斜率为的直线与椭圆E交于P、Q两点，P、Q在y轴左侧，且P点在x轴上方，点P关于坐标原点O对称的点为R，且，则该椭圆的离心率为______．【答案】【分析】x轴交PB于A，则，，设出直线，联立方程，结合韦达定理与两点斜率公式可求出参数的齐次方程，进而可求离心率.【详解】x轴交PB于A，如图所示，设直线为，，则，联立得得.则，.，，由，∴，∴.∴该椭圆的离心率.故答案为： 四、解答题17．半径为3的圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限．(1)求圆的方程；(2)过点作圆的切线，求切线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）通过圆心在直线上，且在第一象限设出圆心的坐标，再利用圆上的点到圆心的距离等于半径求出圆心，进而可得圆的方程.（2）先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于半径求切线方程.【详解】（1）设圆心为，则，解得，则圆的方程为.故答案为：.（2）点在圆外，①切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为,满足条件.②切线斜率存在时，设切线，即,则圆心到切线的距离，解得，则切线的方程为：.故答案为：或.18．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.(1)求线段的长度；(2)求顶点的轨迹方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆中的关系直接求解；（2）利用正弦定理角化边，结合双曲线的定义确定的轨迹，根据双曲线中之间的关系求解.【详解】（1）椭圆的方程为，椭圆的方程为，分别为椭圆的左焦点和右焦点，，，线段的长度；（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，，，,．点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，设该双曲线方程为且，顶点的轨迹方程为19．已知数列满足(1)求an.(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围；【答案】(1)；(2). 【分析】（1）将当时，和两式作差即可求出结果，注意检验时是否成立；（2）证得数列的单调性，从而结合不等式恒成立即可求出结果.【详解】（1）当时，；当时，又，上述两式作差可得，即，不满足，所以；（2）当时，，即，所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.①若为正奇数，则，，则，可得；②若为正偶数，则，可得.综上所述，.20．如图，在三棱柱中，AC＝BC，四边形是菱形，，点D在棱上，且．(1)若，证明：平面平面ABD．(2)若，是否存在实数，使得平面与平面ABD所成得锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，． 【分析】(1) 取AB的中点O，连接，OC．利用三角形高线与对应底边垂直得出AB⊥平面．然后再证明平面ABD，最后利用面面垂直的判定即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，分别求出平面平面和平面ABD的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：取AB的中点O，连接，OC．因为四边形是菱形，且，所以，则．因为O为AB的中点，所以．因为，且O为AB的中点，所以AB⊥OC．因为，平面，且，所以AB⊥平面．因为平面，所以．因为，AB，平面ABD．且，所以平面ABD．因为平面，所以平面平面ABD．     （2）因为，所以，所以AC⊥BC．因为O是AB的中点，所以．因为四边形是菱形，且∠，所以是等边三角形．因为O是AB的中点，所以．因为，所以，则OB，OC，两两垂直，故以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，故，，，，.因为，所以，所以．设平面的法向量为，则，令，得．设平面ABD的法向量为，则，令，得．设平面与平面ABD所成的角为，则，解得或，故存在或，使得平面与平面ABD所成角的余弦值是．21．已知数列的前项和为，且满足，当时，.(1)计算：，；(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；(3)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)证明见解析，(3) 【分析】（1）利用特值法可得，；（2）构造数列，即可得证，进而可得，再利用退一相减法可得数列的通项公式；（3）由（2）得，利用裂项相消法，可得数列的前项和.【详解】（1）令，得，又，所以；令，得，又；（2）因为当时，，所以，所以数列为等差数列，首项为，公差为，所以，所以，于是，当时，，当时，，满足上式，故；（3）因为，则，于是，.22．设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，圆的方程为，的取值范围是 【分析】（1）根据题意得到，及双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求出，从而求出，得到椭圆方程；（2）先考虑直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到，由向量垂直得到向量数量积为0，代入两根之和，两根之积得到，得到或，从而得到原点到直线的距离，即圆的半径，得到圆的方程，验证直线的斜率不存在时，也满足要求，从而得到圆的方程为，再由弦长公式求出，换元后得到，结合求出的取值范围，考虑直线的斜率不存在时，的长，得到答案.【详解】（1）由题意得：，故，双曲线渐的近线方程为，故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，因为，解得：，故，所以椭圆方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线为，联立与，得：，由得：，设，则，因为，所以，其中，整理得：，将代入中，解得：，又，解得：，综上：或，原点到直线的距离为，则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，该圆的半径即为，故圆的方程为，当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，与椭圆的两个交点为，或，，此时，满足要求，经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或，综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且；，将代入上式，令，则，因为，则，所以，因为，所以，故当时，取得最大值，最大值为，又，当直线的斜率不存在时，此时，综上：的取值范围为.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．