2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县第一中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县第一中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可的准线的方程.

【详解】由，得，所以其准线方程是.

故选: A

2．如图，正四棱锥的侧面为正三角形，为中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过中位线作出异面直线和所成角,解三角形求得其余弦值.

【详解】连接，相交于，连接.由于是中点，是中点，所以是三角形的中位线，所以，所以是异面直线和所成角.由于几何体是正四棱锥，所以平面，所以,而,所以平面，所以.由于三角形是等边三角形，而四边形是正方形.设，则.所以.

故选：A.

【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四棱锥的几何性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.

3．已知数列满足: ，，设数列的前项和为，则（    ）

A．1007 B．1008 C．1009.5 D．1010

【答案】D

【分析】根据题设条件，可得数列是以3为周期的数列，且，从而求得的值，得到答案.

【详解】由题意，数列满足: ，，

可得，

可得数列是以3为周期的数列，且

所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

4．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，，则的实轴长为（    ）

A．2 B．22 C．4 D．8

【答案】C

【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用，即可求得结论.

【详解】解：设等轴双曲线的方程为，

抛物线，，则，，

抛物线的准线方程为，

设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点，，

则，

.

将，代入，得，

，

等轴双曲线的方程为，即，

的实轴长为.

故选：C.

5．已知、是椭圆：上的两点，且、关于坐标原点对称，是椭圆的一个焦点，若面积的最大值恰为2，则椭圆的长轴长的最小值为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】本题首先可以根据题意画出椭圆的图像，然后设出、两点的坐标并写出的面积公式，再然后根据面积的最大值为2得出，最后根据基本不等式的相关性质以及即可得出结果．

【详解】

根据题意可画出图像，如图所示，

因为、关于坐标原点对称，

所以设、，

因为，所以，

因为面积的最大值为2，，

所以当时面积取最大值，，

，当且仅当时“”号成立，

此时，，故选D．

【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆的定义以及椭圆焦点的运用，考查基本不等式的使用以及三角形面积的相关性质，考查计算能力与推理能力，体现了综合性，是中档题．

6．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.

【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且，

所以.

故选：A

7．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

由对称性，不妨取，即．

又曲线化为，

则其圆心的坐标为，半径为．

由题得，圆心到直线的距离，

又由点到直线的距离公式．可得．

解得，所以．

故选B．

【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

8．已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】由，当最小时求解.

【详解】解：如图所示：

设，，

连接，圆为：，

则，

则，

当点时，的最小值为，

所以，

故选：C

二、多选题

9．记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据等差数列的性质判断A，利用等差数列的前n项和及通项公式列方程组，运算可判断BD，由前n项和公式判断D.

【详解】S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；

a5＝a1＋4d＝5， (*)，a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0， (**)，

联立(*)(**)解得，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；

，C正确．

故答案为：ABC

10．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（    ）

A．若点在平面内，则必存在实数，使得

B．直线与所成角的余弦值为

C．点到直线的距离为

D．存在实数、使得

【答案】BCD

【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；

对B：取的中点为，连接，如下所示：

在三角形中，分别为的中点，故可得//，

在三角形中，分别为的中点，故可得//，

则//，故直线所成的角即为或其补角；

在三角形中，，

，

由余弦定理可得：，

即直线与所成角的余弦值为，故B正确；

对C：连接如下图所示：

在三角形中，，

，，

故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，

则.故C正确；

对D：记的中点为，连接，如下所示：

由B选项所证，//，又面面，故//面；

易知//，又面面，故//面，

又面，故平面//面，

又面，故可得//面，

故存在实数、使得，D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.

11．设等差数列的前n项和是，已知，，则下列选项正确的有（    ）

A．， B．

C．与均为的最大值 D．

【答案】ABD

【分析】根据，，利用等差数列前n项和公式得到，，再逐项判断.

【详解】因为，，

所以，

即，

因为，

所以，

所以，

所以等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，

则，，为的最大值．

故选：ABD．

12．设双曲线左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，下列命题正确的是（    ）

A．双曲线上存在点，使得

B．双曲线的焦点在以为直径的圆上

C．双曲线上有且仅有4个点，使得是直角三角形

D．若在双曲线上，

【答案】BD

【分析】A.根据双曲线的定义即可判断；

B,求出两个曲线的焦点，以及圆的方程，即可判断；

C.确定圆与双曲线的交点的个数，以及分别过点，且垂直于轴的直线与双曲线的交点个数，即可判断；

D.利用斜率公式以及双曲线方程，即可判断选项.

【详解】A.根据双曲线的定义可知，，不妨设，与 联立，

解出，，所以不存在点，使得，故A错误；

B. 双曲线，，，以为直径的圆，

双曲线的焦点，很显然，在圆上，故B正确；

C.以为直径的圆与双曲线有4个交点，过点且垂直于的直线与双曲线有2个交点，

过点且垂直于的直线与双曲线也有2个交点，所以双曲线上有且仅有8个点，使得是直角三角形，故C错误；

D.设，其中，，，，，

所以，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知双曲线的焦距为6，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为______.

【答案】或

【分析】根据双曲线的性质和点到直线距离公式即可求解.

【详解】若双曲线的焦点在轴上，设方程为，

双曲线的焦距为6，所以，焦点到渐近线的距离为2，

所以，

所以，所以双曲线的标准方程为.

若双曲线的焦点在轴上，设方程为，

双曲线的焦距为6，所以，焦点到渐近线的距离为2，

所以，

所以，所以双曲线的标准方程为.

14．已知等差数列的前项和为，若，，则______.

【答案】

【分析】待定系数法求出后，可计算出答案.

【详解】设等差数列，

则，，

解得，

，

故答案为：.

15．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到，即可得解.

【详解】解：直线，令，解得，所以直线恒过定点，

直线与椭圆恒有公共点，

即点在椭圆内或椭圆上，，即，

又，否则是圆而非椭圆，

或，即实数的取值范围是.

故答案为：

16．直线交椭圆于A，B两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，则直线经过的定点坐标是______.

【答案】

【分析】利用点差法得到，求出直线AB的斜率，根据垂直关系求出直线的斜率，并用点斜式求得方程，进而分析出定点坐标.

【详解】解：设，

则，两式相减得

整理得，即，

已知，则，所以，

因为直线是线段的垂直平分线，所以，

直线的方程为：，整理得，

所以直线过定点，

故答案为：

四、解答题

17．已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.

(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；

(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．

【答案】(1)x＝4或3x＋4y-8＝0.

(2)

【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；

（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.

【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2

当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；

当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，

则圆心到直线的距离为即，解得，

所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0.

综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0.

（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0，

圆心到直线l的距离

故所求弦长为：.

18．已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)是否存在常数，使得数列为等差数列？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，理由见解析

【分析】（1）设等差数列的公差为，且，根据，解得可得答案；

（2）由（1）求出，假设存在常数使得数列为等差数列，则由数列的前3项成等差数列求出，再验证数列为等差数列即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，且，

由，得

，解得，

所以；

（2）由（1），

假设存在常数，使得数列为等差数列，

则，，成等差数列，

所以，解得，

可得，

当时，为常数，

所以数列为等差数列，

故存在常数，使得数列为等差数列.

19．已知双曲线：与点．

（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；

（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．

【答案】（1）存在；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.

【详解】解：（1）双曲线的标准方程为，，．

设存在过点的弦，使得的中点为，

设，，，

两式相减得，即得：，．

存在这样的弦．这时直线的方程为．

（2）设直线方程为，则点在直线上．

则，直线的方程为，

设，，的中点为，，

两式相减得，则，则

又因为在直线上有，解得，

，解得，，

，整理得，则

则

由距离公式得

所以、、、四点共圆．

20．为数列的前项和．已知

(1)求的通项公式：

(2)设，求数列的前项和

【答案】(1)=

(2)

【分析】（1）先用数列第项与前项和的关系求出数列的递推公式，再由等差数列的定义写出数列的通项公式；

（2）根据（1）数列的通项公式，再由裂项相消求和法求其前项和．

【详解】（1）当时，，因为，所以=3，

当时，==

即，因为，所以，

所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；

（2）由（1）知，=，

所以数列{}前项和为．

21．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.

(1)求证：.

(2)求与平面所成角的正弦值.

(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3)存在，.

【分析】（1）取中点，连接，可由线面垂直证明线线垂直得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；

（3）求出平面CNM的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可.

【详解】（1）取中点，连接，如图，

又为的中点，

，由，则，

又为等腰直角三角形，，,

，又，平面，

平面，又平面，

（2）由（1）知，，又平面平面，是交线，平面，

所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，

设，则，

，，，

设为平面的一个法向量，

则，令，即，

设与平面所成角为，

，

即与平面所成角的正弦值为.

（3）若存在N使得平面平面，且，，

则，解得 ，又，

则，，

设是平面CNM的一个法向量，

则，令b=l，则，

，解得，

故存在N使得平面平面，此时.

22．在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：．

(1)求点D的轨迹C的方程；

(2)设过点的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线 于点M，N，是否存在常数，使，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，λ的值为4.

【分析】(1)设出点D的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.

(2)设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.

【详解】（1）设，而点，，则，，

又，于是得，化简整理得：，

所以点D的轨迹C的方程是：.

（2）存在常数，使，

如图，

依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，，

由消去y得：，则，，

，

则，

直线OP：，取，得点M横坐标，同理得点N的横坐标，

则

，

因此有，

于是得，

所以存在常数，使.