2022-2023学年湖北省宜昌市当阳市第一高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省宜昌市当阳市第一高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省宜昌市当阳市第一高级中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题1．某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下： ,去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（    ）A．84 B．86 C．89 D．98【答案】C【分析】分别考虑，，时，计算平均数，排除不合题意情况，即可求得答案.【详解】当时，，则不符合题意；当时，，则不符合题意；当时，，解得,故选：C.2．已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.【详解】解：直线l的斜率为k，且，∴，.∴.故选：B.3．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为 ×20%=11.25%，得解．【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选B．【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．4．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（    ）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.因为，故，,所以点到直线的距离为.故选：A5．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】首先求点的轨迹方程，再利用数形结合求面积的最大值.【详解】以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，,因为，所以，整理为：，则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，所以点到距离的最大值是，所以面积的最大值是.故选：B6．已知幂函数的图像是等轴双曲线，且它的焦点在直线上，则下列曲线中，与曲线的实轴长相等的双曲线是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】双曲线的实轴长为双曲线与实轴交点的距离，计算出的实轴长，然后在选项中找出实轴相等的双曲线即可.【详解】由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点，是双曲线的顶点，故双曲线的实轴长，显然选项A表示的是椭圆；选项B的双曲线实轴长为；选项C双曲线的实轴长为；选项D的双曲线实轴长为.故选：B7．已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（    ）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】D【分析】利用椭圆的定义转化为P到M和到另一焦点的距离的差的最大值来解决.【详解】解：如图，由椭圆=1，得 得，则椭圆右焦点为，则.当与射线与椭圆的交点重合时取到等号,的最大值为21.故选：D.8．已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1 F2， 椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2， P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理化简得到，再利用柯西不等式求解.【详解】设P为第一象限的交点，，，在中，由余弦定理得，即，则，化简得，即，则，由柯西不等式得，所以，当且仅当时，等号成立，故选：D 二、多选题9．一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（    ）A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B．C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D．“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【分析】判断各选项中的事件是否有同时发生的可能，即可确定答案.【详解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有1件正品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；故选：AD10．已知圆，则下列说法正确的是（    ）A．直线与圆A相切B．圆A截y轴所得的弦长为4C．点在圆A外D．圆A上的点到直线的最小距离为3【答案】BC【分析】根据圆心到直线的距离即可判断AD,根据圆的弦长可判断B,根据点与圆的位置关系可判断C.【详解】由圆得，所以圆心，半径，对于A：圆心A到直线的距离为1，所以直线与圆A相交，故A错误；对于B：圆心A在y轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B正确；对于C：点到圆心A的距离，所以点B在圆A外，故C正确；对于D：圆心A到直线的距离，所以圆A上的点到直线的最小距离为，故D错误．故选:BC．11．已知直线l与抛物线（）交于A，B两点，，，则下列说法正确的是（    ）A．若点D的坐标为，则B．直线过定点C．D点的轨迹方程为（原点除外）D．设与x轴交于点M，则的面积最大时，直线的斜率为1【答案】ABC【分析】对于A由条件求出直线方程，利用设而不求法结合条件求出，判断A，对于BCD，设直线的方程为，利用设而不求法证明，由此判断B，再由，求出D点的轨迹方程，判断C，结合D点的轨迹方程确定的面积最大时，直线的斜率，判断D.【详解】，由知直线方程为，联立，消去x有，设，，则，由，∴，故A正确；对选项BCD，可设直线：，代入有，则，由，故直线的方程为，所以直线过定点，即，故B正确；由，得D在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确；当时，面积最大，此时，有，故D错误.故选：ABC.12．在正方体中，，点M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（    ）A．若M为棱的中点，则直线平面B．若M在线段上运动，则的最小值为C．当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为D．若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为【答案】ACD【分析】作交点，连接，可证，进而得到平面；展开与到同一平面上，由两点间直线段最短，结合余弦定理可求； 在侧面上的射影为，确定交线为以为圆心的圆弧，结合弧长公式即可求解；平面与的距离最短恰为，能找出此点恰在上.【详解】对选项A，作交点，连接，因为为中点，M为棱的中点，所以，又因为平面，所以平面，故A正确；对选项B，展开与到同一平面上如图：知，故B错误；对选项C：M与重合时，在侧面上的射影为，故交线是以为圆心的一段圆弧（个圆），且圆半径，故圆弧长，所以C正确；对选项D，直线与平面距离显然为，当为中点时，设中点为，易得，所以为M到直线最短距离，选项D正确.故选：ACD 三、填空题13．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．【答案】##0.3【分析】由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】从5条线段中任取3条线段的基本事件有,总数为10，能构成三角形的情况有：，共3个基本事件，故概率为．故答案为：14．双曲线的离心率为3，则=___________.【答案】8或【分析】先确定焦点的位置，再利用离心率公式可求.【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦半距长为.当双曲线的焦点在轴上时，，，又离心率，即，即.当双曲线的焦点在轴上时，，，又离心率，即.故答案为：8或 四、解答题15．P点在椭圆上，B(0，3)，则BP长的最大值为___________.【答案】【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的范围，即可求解.【详解】设，，，当时，的最大值是.故答案为： 五、填空题16．已知三棱锥中，，，，若二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【分析】首先根据几何体确定外接球的球心，再求外接球的半径，即可求解三棱锥外接球的表面积.【详解】取的中点，中点，连结，因为，所以，，因为，所以，所以，过点作平面，过点作平面，，因为点分别是和的外心，所以点是三棱锥的外接球的球心，因为，，所以，则，所以，，所以,,所以，则三棱锥的外接球的半径为，所以外接球的表面积.故答案为： 六、解答题17．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)产品质量指标值在185与215之间的每个盈利200元，在175与185或215与225之间的每个亏损50元，其余的每个亏损300元.该企业共生产这种产品10000个，估计这批产品可获利或亏损多少元？【答案】(1),(2) 【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数和方差公式，即可求解；（2）根据频率，可计算获利或亏损.【详解】（1）样本平均数（2）由频率分布直方图可知，质量指标值在的频率为，质量指标值在和的频率为，质量指标值在和的频率为，所以10000件产品的获利情况是元.18．已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.(1)求曲线的方程；(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.【答案】(1)(2)或或 【分析】（1）根据抛物线的定义可得曲线方程；（2）分类讨论：斜率为0，即与抛物线的对称轴平行；斜率不存在与抛物线相切，斜率存在且与抛物线相切（应用判别式为0），分别求解可得．【详解】（1）设的坐标，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标，所以的轨迹方程为.故曲线C的方程为：（2）当直线过点，且斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为；当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切；当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，联立，整理可得，则，即，解得，此时直线的方程为，综上所述，满足条件的直线的方程为或或.19．已知在三棱柱中，底面是正三角形，底面ABC，，，点E，F分别为侧棱和边的中点.(1)求证：平面ACE；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析(2) 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标关系，表示，即可证明；（2）求平面和的法向量，利用法向量夹角的余弦值表示二面角的余弦值.【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，作，得到轴，建立空间直角坐标系，，，，,,,，,因为,,所以，且，且平面，平面，所以平面（2）由（1）可知，，设平面的法向量，则，则，令，则，，则平面的法向量，平面的法向量为,所以,二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20．10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.(1)求这场选拔赛三局结束的概率；(2)求甲在第四局获胜的概率.【答案】(1)0.28(2)0.2592 【分析】(1)根据题意，找出这场选拔赛三局结束的事件，利用概率公式即可求解；(2)先找出满足条件的事件，然后利用概率公式即可求解.【详解】（1）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），记“三局结束比赛”，则，∴；（2）记“甲在第四局获胜”，则说明甲在前3局胜了2局，输了1局，第4局甲胜，则.21．如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点.(1)求证：面；(2)点Q在棱上，设（），若二面角的余弦值为，求.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，通过作辅助线，构造平行四边形，即可证明；（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和两个平面的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：取中点F，连接，，则，又，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又面，面，∴面；（2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，，由，有，令是平面的一个法向量，则，令，有，取面的一个法向量，由.解得.22．已知椭圆C：（）过点，A为左顶点，且直线的斜率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设在椭圆内部，在椭圆外部，过Ｍ作斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点，若，求证：为定值，并求出这个定值.【答案】(1)(2)为定值4，证明见解析 【分析】（1）利用点坐标代入椭圆方程、直线的斜率为可得答案； （2）设，，：，与椭圆方程联立，求出，，    根据，可得，再进行化简可得答案.【详解】（1）由题意：，∴，解得，故椭圆C的标准方程为；（2）设：，联立消去x，有，记，，因为在椭圆内部，，所以，，    若，则，可得，即，，可得，（），∴（定值），综上：为定值4.