2022-2023学年湖北省郧阳中学、恩施高中、沙市中学、随州二中、襄阳三中高二上学期10月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省郧阳中学、恩施高中、沙市中学、随州二中、襄阳三中高二上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算可化简复数，进而可得虚部.

【详解】，所以虚部为，

故选：C

2．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解.

【详解】因为直线经过两点，

所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则

，且，解得，

所以直线的倾斜角为.

故选：D.

3．圆的圆心到直线的距离为1，则

A． B． C． D．2

【答案】A

【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.

【解析】 圆的方程，点到直线的距离公式

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．

4．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量表示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意可知

所以,\

故选：A

5．若直线与直线平行，则的值是（    ）

A． B．1 C．1或 D．

【答案】B

【分析】根据两直线平行满足的关系即可求解.

【详解】直线与直线平行，故 ，

故选：B

6．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为

A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576

【答案】B

【详解】A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.

【解析】相互独立事件的概率.

7．已知单位向量，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知得，进而两边平方得，故或（舍），故，进而得答案.

【详解】由，得，两边平方，得，

即，整理得，

所以或

因为，所以，所以，

所以.

故选:B.

【点睛】本题考查向量模的运算，考查方程思想与运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知将问题转化为关于的方程，进而得，最后结合向量模与二次函数性质求最值即可.

8．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据题意，建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值，即可得答案．

【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，，

故直线的方程为，

又由，，，则 的重心为，

设，其中，点关于直线 的对称点，则有，

解得，即，

易得关于 轴的对称点，

由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率，

故直线的方程为，

由于直线过 的重心，代入化简可得，

解得：或 舍，即，故，

故选：C．

二、多选题

9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：且，故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；

C：，故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；

故选：CD

10．下列说法错误有（    ）

A．“”是“与直线互相垂直”的充要条件

B．过，两点的所有直线的方程为

C．直线的倾斜角的取值范围是

D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】ABD

【分析】A. 由两直线互相垂直求解判断；， B.根据直线的两点式方程判断； C.利用直线的倾斜角和斜率求解判断； D分直线经过原点和不经过原点时求解判断.

【详解】A. 当与直线互相垂直时，，解得 或 ，故错误；

B.过，（且） 两点的所有直线的方程为，故错误；

 C.直线的倾斜角，则，所以倾斜角的取值范围是，故正确；

D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：当直线经过原点时为，当直线不经过原点时，设方程为，将点代入得，则直线方程为，故错误；

故选：ABD

11．以下命题正确的是（    ）

A．直线的方向向量，直线的方向向量，则

B．直线的方向向量，平面的法向量，则

C．两个不同平面的法向量分别为，则

D．平面经过三点，向量是平面的法向量，则

【答案】CD

【分析】对于A，利用直线的方向向量是否垂直即可求解；

对于B，利用直线的方向向量与平面的法向量是否垂直即可求解；

对于C，利用平面的法向量是否平行即可求解；

对于D，利用待定系数法设出平面的法向量，求出和的关系即可求解.

【详解】对于A，因为直线的方向向量，直线的方向向量，

所以，所以与不垂直，故直线与直线不垂直，故A错误；

对于B，因为直线的方向向量，平面的法向量，

所以，所以，故或，故B错误；

对于C，因为两个不同平面的法向量分别为，

所以，即，所以，故C正确；

对于D，因为，所以,

又向量是平面的法向量，则,即，解得，故D正确.

故选：CD.

12．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ）

A．当时，的周长为定值

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

【答案】BD

【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；

对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．

【详解】

易知，点在矩形内部（含边界）．

对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；

对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．

对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；

对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．

故选：BD．

【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．

三、填空题

13．已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.

【答案】2

【分析】根据平均数的公式进行求解即可．

【详解】∵数据的平均数为4

∴，即.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．

14．若直线过点，则的最小值为________．

【答案】8

【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值

【详解】解：因为直线过点，所以，

因为

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为8

故答案为：8

【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题

15．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为__________.

【答案】

【分析】数形结合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再开方可得结果.

【详解】如图所示：

所以

依题可知：，

所以

所以

则，故

故答案为：

四、双空题

16．黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是．由于按此比例设计的造型十分美观，因此称为黄金分割比．例如中国人民解放军军徽，为镶有金色黄边的五角红星．如图，已知正五角星内接于圆，，点为线段的黄金分割点，则______，若圆的半径为2，为圆的一条弦，以为底边向圆外作等腰三角形，且，则的最大值为______．

【答案】         

【分析】（1）取的中点，连接，根据正五角星的性质，可得出的值，结合二倍角公式可得的值，

（2）在圆中，连接，，运用正弦定理即可求解．

【详解】（1）如图，取的中点，连接，

由题意可知为等腰三角形，故，

∴，

又∵点为线段的黄金分割点，且，

∴，

∴，

∴；

(2)在圆中，连接，如图：

∵，，，

∴，∴为角的角平分线，即，

在中，由正弦定理得，

即，当且仅当时等号成立，

故的最大值为．

故答案为：，．

【点睛】关键点睛：本题考查二倍角公式和正弦定理的应用，解题的关键是正确利用黄金分割比，得出.

五、解答题

17．直线经过两直线和的交点．

(1)若直线与直线平行，求直线的方程；

(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程．

（2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程．

【详解】（1）解：由，解得，

所以两直线和的交点为．

当直线与直线平行，设的方程为，

把点代入求得，

可得的方程为．

（2）解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．

当的斜率存在时，设直限的方程为，即，

则点到直线的距离为，求得，

故的方程为，即．

综上，直线的方程为或．

18．已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.

【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．

（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．

【详解】解：（1）∵向量．

由，

可得：，

即，

∵x∈[0，π]

∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，

∴

∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；

当，即时．

【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

19．乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．

(1)求；

(2)求事件“”的概率．

【答案】(1)0.5

(2)0.25

【分析】（1）（2）根据独立事件的乘法公式即可求解，

【详解】（1）就是平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分，

因此．

（2）且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲，乙各得1分，后两球均为甲得分．

因此所求概率为．

同理可得且乙获胜的概率为．

因此所求概率为.

20．如图，直三棱柱的体积为的面积为

(1)求点到平面的距离；

(2)设为的中点，，平面平面，求二面角的正切值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等体积法即可求解，

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角的余弦值，进而可求解正切值.

【详解】（1）设求到平面的距离为，矩形中对角线互相平分，到平面的距离也为，

因为直三棱柱的体积为2，即可得，故,

又，

解得，所以到平面的距离为；

（2）连接，因为直三棱柱中，，

故为正方形，即，

又平面平面，

平面平面平面，

故平面，平面, 所以，

又因为平面,平面,

所以平面，且，

故平面，平面, 则，

所以三条直线两两垂直，

故建立如图以为原点建立空间直角坐标系

设，则，

由条件可得 ，解得，

则的中点，

所以，设平面的一个法向量为， ，取，

同理可求得平面的一个法向量为

所以．

所以二面角的正弦值为

可以判断此二面角为钝角，所以二面角的正切值为．

21．如图，一载着重危病人的火车从地出发，沿北偏东射线行驶，其中，在距离地10公里北偏东角的处住有一位医学专家（其中），现有紧急征调离地正东公里的处的救护车赶往处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在处相遇，经计算当两车行驶的路线与围成的三角形面积最小时，抢救最及时．

（1）求关于的函数关系；

（2）当为何值时，抢救最及时．

【答案】（1）当时，，当且时，，（2）

【分析】（1）根据题意可建立如图所示的直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以关于的函数关系；

（2）将问题转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而可得答案

【详解】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，

因为，所以，

因为，所以，

因为，所以射线的方程为，

因为，所以直线的斜率为（），

所以直线的方程为（），

当时，点，则，

当时，由，得（），

所以点（），

所以（），

综上，当时，，当且时，

（2）由（1）得当且时，

，

当且仅当，即时取等号，

而当时，，

所以当时，有最小值，即抢救最及时.

22．正四棱锥的展开图如图所示，侧棱长为1，记，其表面积记为，体积记为.

(1)求的解析式，并直接写出的取值范围；

(2)求，并将其化简为的形式，其中为常数；

(3)试判断是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）

【答案】(1)，；

(2)，

；

(3)最大值，无最小值.

【分析】（1）根据四棱锥的表面积公式进行求解即可；

（2）求出的表达式，利用三角函数的关系式进行化简即可；

（3）根据的表达式，直接进行判断最值即可．

【详解】（1）解:因为正四棱锥中，，

所以

，其中.

（2）解:设正方形中心为点，则.

所以在RtSOA中，.

所以.

所以.

方法一：，

所以.

所以.

方法二：，

所以.

（3）解:有最大值，无最小值.