2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市第一中学高二上学期期末数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题
1．等差数列，前n项和分别为与，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和的特点，由已知设出，分别求出其通项公式，代入计算可得答案.
【详解】设等差数列，的首项和公差分别为，则，
因为，由等差数列前项和的特点，
故可设，其中为非零常数，
由，
当时，，
当时，，
当时上式仍旧适合，故，
同理可得，当时，，
所以.
故选：A.
2．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（    ）
A．1 B．2
C．4 D．
【答案】A
【分析】利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得.
【详解】如图所示，

延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，易知，所以|PF1|＝|PQ|.
根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，
从而|QF2|＝2.
在△F1QF2中，易知OH为中位线，则|OH|＝1.
故选：A.
3．已知数列满足，若，则（    ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.
【详解】由得
，
所以数列的周期为3，所以．
故选：B
4．已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过赋值分析可得数列是以首项为，公比为的等比数列，根据题意结合等比数列通项公式运算求解.
【详解】对于，
令，则，
再令，则，可知，
故数列是以首项为，公比为的等比数列，则，
∴.
故选：C.
5．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　）

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．
【详解】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以 ，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．
当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．
故选B．

【点睛】本题考查直线与直线的垂直关系的应用，利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，属于中档题
6．已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（    ）
A．2014 B．2015 C．4028 D．4030
【答案】D
【分析】根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.
【详解】根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，
圆，圆，
相减可得直线的方程为：
圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，
，．

的所有项的和为．
故选：D
【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
7．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＜|PF2|，线段PF1的垂直平分线经过点F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（     ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【答案】B
【分析】设，不妨设点在第二象限，椭圆和曲线的焦点在轴上，且它们的长半轴为，实半轴为，半焦距为，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率和基本不等式，即可求解.
【详解】设，不妨设点在第二象限，
椭圆和曲线的焦点在轴上，且它们的长半轴为，实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可得，
由线段的垂直平分线过点，可得
又由点在第二象限，所以，即，所以，
且， 即，
又由椭圆和双曲线的离心率，可得，
则
，
当且仅当，即时，上式取得最小值.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和几何性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答熟练应用椭圆和双曲线的定义和几何性质，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了化简运算能力和变形能力，属于中档试题.
8．设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（    ）

A．到直线l的距离为a B．双曲线的离心率为
C．的外接圆半径为 D．的面积为9
【答案】B
【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的距离判断A选项；利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断B选项；求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断C选项；利用三角形的面积公式，即可求得△的面积，可判断D选项．
【详解】由题意，到准线的距离，又，∴，如图过向作垂线，垂足为，

由，为中点，则为△的中位线，所以，即是的中点，因为，，，，，因此到直线的距离为，故A错误；
在中，，又，得到，
解得，，，所以双曲线的离心率，故B正确；
，设△的外接圆半径，
因此，所以，故C错误；
△的面积．故D错误.
故选：B．

二、多选题
9．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（    ）
A．若公比为q，则
B．若，则
C．若数列的前项和，则
D．“”是“”的充分而不必要条件
【答案】AD
【分析】根据等比数列的前项和公式计算A后可判断其正误，利用基本量法计算BD后可判断其正误，利用前项和和通项的关系可判断C的正误.
【详解】设等比数列的公比为q.
对于A，，
而，故，
故A正确.
对于B，因为，而，故，故B错误.
对于C，因为，故，
因为是等比数列，故即，故，故C错误.
对于D，因为，
若，则，
取，则，但，
故“”是“”的充分而不必要条件，故D正确.
故选：AD
10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且则下列说法中正确的有（    ）

A． B．
C．平面 D．直线与所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】以为空间一组基底，
，


，
所以，A选项正确.
，
所以

，
所以，B选项错误.
依题意可知，四边形是菱形，所以，
由于，平面，
所以平面，C选项正确.
设直线与所成角为，
，，
，


，
所以，D选项正确.
故选：ACD
11．已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B，若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（    ）
A．为定值4 B．的面积为
C．直线PB，QB的斜率之积为定值 D．四边形不可能是矩形
【答案】AC
【分析】A.先判断四边形是平行四边形，再根据椭圆的定义求解即可；
B.先求出，，然后利用三角形的面积公式求解；
C.设出点P的坐标，利用斜率计算公式求直线PB，QB的斜率之积即可；
D.利用椭圆的对称性求的最大值，结合A选项即可得到结果.
【详解】A选项：根据对称性，连接OP，OQ；则，，易知四边形是平行四边形，

则，所以，故A正确；
B选项：由题意知，，
所以的面积为，故B不正确；
C选项：由题意得，设，则，
所以，故C正确；
D选项：因为，所以，
则，故椭圆上存在点P，使得，
（点拨：根据椭圆的对称性知，当点P位于椭圆的上顶点或下顶点处时，
最大，找到此特殊位置，判断最大角的情况，即可判断满足题意的点P是否存在）
又四边形是平行四边形，所以四边形可能是矩形，故D不正确.
故选：AC
12．如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（    ）

A．数列是等比数列 B．
C．存在正数，使得恒成立 D．恒成立
【答案】BD
【分析】设图中新构造出的线段的长度为，则，而，故根据这两个递推关系可求，再求出，逐项判断后可得正确的选项.
【详解】设图中新构造出的线段的长度为，则，其中，
故.
而，所以，
故
，
而也符合该式，故，
此时，，故不是等比数列，故A错误.
而，故D正确.
而，故，故B正确.
对任意给定的正数，当时，必有，
故C错误.
故选：BD.

三、填空题
13．已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的最大值为 _________ .
【答案】##
【分析】根据题设易知过定点，过定点且，则在以为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆的圆心距，根据动点分别在两圆上知最大值为圆心距与两个半径的和.
【详解】由题设，恒过定点，恒过定点，
又，即，垂足为，
所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
故轨迹方程为，
而的圆心为，半径为3，
所以，而、分别在圆、圆上，故的最大值为.
故答案为：
14．已知等比数列的公比，且，则使成立的正整数的最大值为___________.
【答案】4
【分析】根据等比数列通项代入等式化简得，再分别求出数列和的前项的和，代入不等式即可求出的范围，则得到其最大值.
【详解】由等比数列的公比，可得，可得:，
则，且，
由为等比数列，可得是以为首项，公比为的等比数列，
则原不等式等价为:，
因为，
代入整理得:，，
则，则，即，
由，所以正整数的最大值为4，
故答案为：4.
15．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为____．

【答案】
【分析】根据题意，可知，即求的最小值.在侧面内找到满足平面且最小的点即可.
【详解】由题得，取中点H，中点G，连结，，GH，，平面，，平面，平面平面，平面，故平面，又平面，则点F在两平面交线直线GH上，那么的最小值是时，，则为最小值.
【点睛】本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【分析】首先根据定义求出、，再利用余弦定理求出，最后利用所给直线斜率，即可求解离心率.
【详解】由题意可知，，且，所以，，所以由余弦定理得，设斜率为，则所以，所以，可得，所以双曲线离心率.
故答案为：

四、解答题
17．解答下列问题：
(1)已知向量，求在上的投影向量的模.
(2)已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，求双曲线的离心率的取值范围.
【答案】(1)；
(2).

【分析】(1) 设与的夹角为，则，为在上的投影向量，根据计算即可；
(2)由题意可得点到直线的距离，由，可得，即可得，从而得，即有，再根据离心率的计算公式即可得答案.
【详解】（1）解：设与的夹角为，
则，
设为在上的投影向量，
则有=
（2）解：由题意可知，
取双曲线的渐近线，即，
则点到直线的距离，
当时，为边长为的正三角形，
又因为，
所以，
即，
即，
所以，
整理得：，
即有，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以双曲线的离心率的范围为.
18．如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，，>．

（1）建立适当的空间坐标系，求出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．
【答案】（1）点E坐标是（1，1，1）（2）点F的坐标是（1，0，0）
【详解】试题分析：
(1)由题意，分别以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，结合空间中点的坐标，设P（0，0，2m），则（1，1，m），结合平面向量夹角公式得到关于m的方程，解方程可得点E坐标是（1，1，1）；
(2)由题意，设F（x，0，z），结合平面向量的法向量和直线的方向向量得到关于坐标的方程组，求解方程组可得即点F是AD的中点．
试题解析：
（1）分别以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图，则
（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

设P（0，0，2m），则（1，1，m），
∴　（-1，1，m），＝（0，0，2m）
∴　，．
∴　点E坐标是（1，1，1）；
（2）∵平面PAD，　∴　可设F（x，0，z）
＝（x-1，-1，z-1），  又EF⊥平面PCB，　                                                
∴　 ，-1， 2，0，=0，解得, ；
又∵　∴　，-1，0，2，-2
∴　点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．
19．设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）由题意得：；
当时，，又，；
当且时，，
整理可得：，
，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
（2）由（1）得：，
.
20．如图，四棱锥中，平面平面，，四边形是正方形.

（1）直线与平面是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（2）若二面角的平面角为60°，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）直线与平面不垂直，证明过程见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为．
【分析】（1）分别取、的中点、，连接，，，证明平面，可得，再证明，由直线与平面垂直的判定可得平面，即得直线与平面不垂直；
（2）由已知可得平面，得到，，即二面角的平面角为，设，分别求出与的面积，由等体积法求得点到平面的距离为，可得直线与平面所成角的正弦值为．
【详解】（1）直线与平面不垂直
证明如下：分别取、的中点、，连接，，，
，，
又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，，
又正方形中，，且，
，
又，平面，
过同一点只能作唯一平面垂直于，
直线与平面不垂直．
（2）平面平面，，
平面平面，平面，
又、平面，，，
二面角的平面角为，
设，的面积为，
的面积为，
取的中点，连接，，，
由（1）知，平面，
设点到平面的距离为，
，即，
得，
，直线与平面所成角的正弦值为．

21．已知数列满足，且，数列满足，设的前项和为．
(1)求数列的通项公式；求数列的前项和；
(2)设，记数列的前项和为对恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）对变形得到，得到是等差数列，求出通项公式，利用裂项相消法求和；
（2）得到，利用错位相减法求出，判断出在上单调递增，求出，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，所以（常数），
故数列是以为公差的等差数列，且首项为，
所以，故．
因为，
所以．
（2）．
所以，
所以，
两式相减得，，
所以．
由，
知在上单调递增，
所以，所以，解得.
22．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，.
【分析】（1）根据的面积为和离心率为，列等式可解得，从而可得椭圆的方程；
（2）设的坐标分别为，通过直线方程得点的横坐标，
设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理可得点的横坐标的乘积为定值.
【详解】（1）由已知，的坐标分别是，由于的面积为，
①，又由，化简得②，
①②两式联立解得：或（舍去），，
椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，的坐标分别为
则直线的方程为，令，得点的横坐标，
直线的方程为，令，得点的横坐标，
，
把直线代入椭圆得，
由韦达定理得，
∴，是定值．
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.