2022-2023学年湖南省怀化市第三中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省怀化市第三中学高二上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省怀化市第三中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知，，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空间向量垂直的坐标表示进行计算即可.【详解】∵，∴，∴.故选：B.2．经过两点的直线的斜率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算作答.【详解】经过两点的直线的斜率.故选：D3．直线恒过定点（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由时，可得到定点坐标.【详解】当，即时，，直线恒过定点.故选：B.4．圆与圆的位置关系为（    ）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【答案】B【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】圆心，半径，圆心，半径，圆心距，所以两圆内切，故选:B.5．点 到直线的距离是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】点到直线的距离公式求解【详解】点 到直线的距离为： 故选：B.6．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的渐近线方程为进行求解.【详解】双曲线中，，故渐近线方程为，即.故选：7．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点的坐标为，若该抛物线上两点、的横坐标之和为，则弦的长的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角不等式可求得弦的长的最大值.【详解】设点、，则，当且仅当、、三点共线时，等号成立，故弦的长的最大值为.故选：A.8．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（    ） （参考数据：A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，，，利用求出的关系，然后根据的范围求角的范围.【详解】解：取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，根据题意，得，0，，，0，，，，，，，，设，，，则，，，，，，，0，，，，，， 记为直线与直线所成的角，则即为直线与直线所成的角，，点的轨迹在平面内是以为圆心，为半径的圆，，，又为锐角或直角，，，则直线与直线所成角的取值范围为，，故选：B． 二、多选题9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）．A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误.【详解】由题设，，A错误；，B正确；，C正确；，D错误.故选：BC10．下列四个命题中错误的有（    ）A．直线的倾斜角越大，其斜率越大B．直线倾斜角的取值范围是C．两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等D．过点的直线平行于直线【答案】AC【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系判断A，倾斜角的定义判断B，平行直线的充要条件判断C,直线方程的定义判断D.【详解】对于A，倾斜角为锐角对应的斜率为正数，倾斜角为钝角对应的斜率为负，所以锐角对应的斜率大于钝角对应的斜率，故A错误；对于B，直线的倾斜角的范围为，故B正确；对于C，两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在，故C错误；对于D，过点的直线方程为平行于直线，故D正确.故选:AC11．椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题，正确的是（    ）A．过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；B．椭圆上不存在点，使得；C．椭圆离心率为；D．为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为4.【答案】AC【分析】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断A；根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断B；直接法求离心率判断C；根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断D.【详解】由题设椭圆参数为，且、，对A：由椭圆定义知：，则△的周长为8，A正确；对B：当在y轴上时，，而，此时，且，易知，故，则存在点使得，故存在点使得，B错误；对C：椭圆的离心率为，C正确；对D：由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为，所以，故的最大距离为3，D错误.故选：AC.12．双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（    ）A．外心的轨迹是一条直线B．当变化时，外心的轨迹方程为C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上D．若分别是中点，则的外接圆过定点【答案】AD【分析】根据圆的性质，结合双曲线的渐近线方程、直线斜率的公式，通过解方程（组）、运用夹角公式逐一判断即可.【详解】因为已知的内心到轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2，所以的内心横坐标，双曲线方程：，，渐近线.设.当点在双曲线上时：设直线与双曲线交两点  当直线与双曲线相切时，此时切点满足：切线设直线与渐近线交两点  切点正是线段的中点，∴；线段中垂线是.中垂线与轴交于点，且.可设一方面，；另一方面，线段中点是考虑到∴，点    确系之外心！其轨迹是直线.选项A正确！依（1）设线段中点是线段中垂线是，即线段中垂线是，即∴，即外心的轨迹方程为.故选项B错！（3）对来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是，进而化简得∴把代入并化简得：考虑到不在渐近线上得，故∴，这不可能！垂心不能在上，同理不能在上，选项C错误；（4）设共圆！的外接圆过定点原点，选项D对.故选：AD【点睛】关键点睛：正确地进行数学运算，应用夹角公式是解题的关键. 三、填空题13．在正方体中，，则__________．【答案】【分析】根据即可得出答案.【详解】解：在正方体中，因为，，所以．故答案为：2.14．与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．【答案】【分析】先求出同心圆的圆心，在利用两点间的距离公式的应用求出所求圆的半径，由此即可求出结果．【详解】圆，即所以所求圆的圆心坐标为，半径为 所以圆的方程为．故答案为：．15．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为______．【答案】##【分析】根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答.【详解】依题意，，而平面的法向量为，所以点P到平面的距离.故答案为： 四、双空题16．过抛物线（）的焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，，为抛物线C上一动点，抛物线的方程为______；的最小值为______.【答案】     ；     .【分析】设直线方程并联立抛物线方程求，，应用弦长公式列方程求，即可得抛物线方程，由的几何意义，将问题转化为到直线距离最小，应用点线距离公式求最小值即可.【详解】由题设，，则，联立抛物线可得，所以，，故，所以，由有，则，故抛物线方程.由表示上点到直线与y轴距离之和，如上图，，要使目标式最小，只需共线且到直线距离最小，即，所以.故答案为：1； 五、解答题17．在中，，，且，求：(1)求的值；(2)求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得，由已知条件利用余弦定理得，解方程得到a的值，进而可求b得值. (2)由已知条件，利用同角三角函数的基本关系可求得值，进而根据三角形的面积公示可计算得解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，，所以，由余弦定理得，因为，，所以，化简得，解得 或，当时，，与题意不符合;当时，，符合题意.所以.（2）因为，，所以，所以的面积18．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解.【详解】（1）∵四边形是正方形，∴．又∵平面平面，平面平面，且平面∴平面．（2）由，得，∴．    建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，，．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．则，令，则，∴．，令，则，∴，∴．∴平面与平面夹角的余弦值为．19．已知直线的方程为(1)若与直线平行，求的值；(2)若在轴，轴上的截距相等，求的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值；（2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程.【详解】（1）因为与直线平行，所以且，解得：.（2）当时，：，不满足题意.当时，与轴，轴的交点分别为，因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得.故的方程为或.20．已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由双曲线定义得到，结合离心率得到，求出，得到双曲线的标准方程；（2）先分析得到直线的斜率不为0，设出直线的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据为直径的圆过原点，得到，从而列出方程，代入两根之和，两根之积，得到，再由弦长公式求出答案.【详解】（1）由双曲线的定义可得，解得：.因为双曲线的离心率为，所以，解得.因为，所以.故双曲线的标准方程为（2）当直线的斜率为0时，此时两点为双曲线的顶点，故以为直径的圆不过原点，不合题意，舍去；直线的斜率不为0，则设直线，联立整理得，则，故.因为以为直径的圆过原点，所以，所以所以，即，化简整理得，即，则，故.【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中以为直径的圆过原点，所以，从而由向量数量积为0列出方程，注意考虑直线的斜率存在和不存在两种情况.21．已知曲线C是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合．(1)求曲线C的方程；(2)设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点，使得为定值 【分析】（1）设点，根据距离之比等于常数列出等式，即可得到曲线方程；（2）设直线l方程为，点，联立曲线C的方程，利用韦达定理可以求出，由于为定值可知，可求出参数t的值，即可得定点坐标和定值，当斜率不存在时，也符合题意.【详解】（1）设点，由题意可知，则有，整理得，故曲线C的方程为.（2）设直线l方程为，点，，联立，得，所以，因此若，即时，，所以定值为，当斜率不存在时，直线l为，联立可求得，，所以，符合题意.故存在定点，使得为定值.22．已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据长轴长求出，再代入，求出，得到椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，先根据根的判别式求出的取值范围，再根据点落在以线段为直径的圆的外部，则，列出不等式，求出的取值范围；（3）先设出直线的方程，求出点S坐标，同理求出点T为，根据向量关系得到，结合的范围求出的范围.【详解】（1）因为，所以；又点在图像上即，所以，所以椭圆的方程为；（2）由（1）可得设直线，设、，由得，解得或①∵点在以线段为直径的圆的外部，则，又②解得或    由①②得（3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.令，解得，所以点S坐标为；同理点T为.所以，，.由，，可得：，，所以， 由（2）得，，所以  ，因为，所以，，故的范围是.【点睛】对于直线与圆锥曲线结合，求解取值范围问题，通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，求出答案.