2022-2023学年湖南省临澧县第一中学高二下学期入学考试（永通班）数学试题（解析版）

临澧县第一中学2022-2023学年高二永通班下学期入学考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 点为抛物线的准线上一点，直线交抛物线于M，N两点，若的面积为20，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】C

【详解】由题意不妨设，则的面积为，解得.

故选：C

2. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【详解】因为圆的圆心为，半径为，

所以，的中点为，

则以为直径的圆的方程为，

所以为两圆的公共弦，

因此两圆的方法作差得所在直线方程为，即.

故选：B.

3. 若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.

4. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【详解】是等比数列       

是等差数列       

本题正确选项：

5. 已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】B

【详解】由题意可得，即，

渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，

焦点为，，由双曲线的定义可得，

由圆可得，半径，，

连接，交双曲线于，交圆于，

此时取得最小值，且为，

则的最小值为.

故选：B.

【点睛】本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.

6. 已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是

A.  B.  

C.  D.

【答案】D

【详解】因为…，

所以…，

故即，其中.

而令，则，故，.

，

故

，

故恒成立等价于即恒成立，

化简得到，因为，故.

故选D.

7. 已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的值是（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

【答案】D

【详解】设，则①，

利用向量加法法则知，则

即，

故②，

设，

则，

③，

由②③得，即，

又，所以，即，即

所以双曲线离心率值是3

故选：D

8. 已知函数的定义域为，对任意的实数，，当时，且数列满足，且，则下列结论成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【详解】依题意，对任意的实数，等式成立，

令得，所以或，

又当时，所以，所以，

令，则，因为当时，不妨令，则，所以对任意 有，

任取，则，

因为，所以，所以，即，单调递减，

所以有唯一解，

又数列满足，所以，

又因为，所以，，，

由数列的递推关系知数列为以3为周期的数列，

所以，，，

，，

，

当时，所以，，

所以，，

又，

所以

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（    ）

A. －2 B. 4 C. 0 D. 6

【答案】AD

【详解】设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A（a，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．

故选：AD.

10. 已知抛物线焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A. 点的坐标为

B. 若直线过点，则

C. 若，则的最小值为

D. 若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】BCD

【详解】解：抛物线，即，

对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；

对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，

由，消去整理得，，，故B正确；

对于C，若，则直线过焦点，

所以，

所以当时，

的最小值为抛物线的通径长，故C正确；

对于D，，，即点纵坐标为，

到轴的距离为，故D正确.

故选：BCD.

11. 无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（    ）

A. 可能为等差数列

B. 可能为等比数列

C. 中一定存在连续三项构成等差数列

D. 中一定存在连续三项构成等比数列

【答案】ABC

【详解】当时，．

当时，．

当时，上式＝．

所以若是等差数列，则

所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．

故选：A B C

12. 已知双曲线且，设直线与双曲线在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，记的面积为，则下列说法正确的是（    ）

A. 双曲线的渐近线方程为 B.

C. 数列为等差数列 D.

【答案】ACD

【详解】解：因为双曲线的方程为且，所以渐近线方程为，设点，则且，记到两条渐近线的距离分别为，则、，

则，故

因此为等差数列，故，

故选：ACD.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若函数f（x）＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：函数定义域为，导函数为，使得存在垂直于y轴的切线，即有解，可得有解，因为，所以，当且仅当““时等号成立，所以实数a的取值范围是

考点：导数的应用

14. 已知正项等比数列满足，则的最小值为__________．

【答案】

【详解】设该等比数列的公比为，

，

因为数列是正项等比数列，

所以，且，

所以，

令，

于是有，

当且仅当取等号，即时取等号，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

15. 在平面直角坐标系中，若圆：上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是______.

【答案】

【详解】圆：的圆为，半径为1，它关于直线的对称圆的圆心为，半径仍然为，

圆的圆心为，半径为

，

由题意，解得．

故答案为：．

16. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）．若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设，的面积分别为，，则______．

【答案】##0.5625

【详解】

由题意知，，直线方程为.设，.

联立直线方程与抛物线的方程，解得或.

因为点A在第一象限，所以，，

直线方程为，点坐标为.

因为，所以轴.

所以，

，

所以.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列的前项的和为，且满足.

（1）求数列的通项公式及；

（2）若数列满足，求数列的前项的和.

【答案】（1），；（2）.

【详解】（1）由得：，即，

由得：，两式相减得: ，

即，即数列是以1为首项，2为公比等比数列， 

则，

则；  

（2）由（1）知：，则，

则当时，

，

当时，

，

则.

18. 已知函数()．

（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；

（2）证明：当时，．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【详解】（1）的定义域为，，

若函数有两个极值点，则有两个变号零点，

等同于，

即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，

令，的定义域为，则，令，解得，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递减，

则为的极大值，也为最大值，

当时，，

当时，，

当时，且为正数，

则的图像如图所示，则此时；

（2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可，

则，令，

则，

当时，，，，

则，则在时单调递增，

又，

∴时，，则在时单调递增，

∴当时，即当时，．

19. 在等差数列中，已知公差，是与的等比中项

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的通项公式；

（3）令，数列的前项和为.

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，

∴数列的通项公式为.

（2）∵①

∴②

②－①得：，，故．

（3），

∴，

令，①

则②

①－②得： ，

∴

∴．

∴数列的前项和

20. 已知双曲线：一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．

（1）求双曲线的标准方程与离心率；

（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．

【答案】（1），离心率为   

（2）

【小问1详解】

由题意知焦点到渐近线的距离为，

则

因为一条渐近线方程为，所以，

又，解得，，

所以双曲线的标准方程为，

离心率为．

【小问2详解】

设直线：，，，

联立

则，

所以，

由

解得或（舍去），

所以，

：，令，得，

所以的面积为

21. 已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）

【详解】（1）的定义域为，，

显然，令，则，解得，

当时，，即函数在上单调递减，

当时，，即函数在上单调递增.

（2）令，

则当时，恒成立，

求导得，且，

①当时，令，即，

则时，恒成立，

∴在上是增函数，且，∴不符合题意；

②当时，，则时，恒成立，

∴在上是增函数，且，∴不符合题意；

③当时，，则时，恒有，即在上是减函数，

所以时，，

所以，解得，故.

综上，的取值范围是.

22. 如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q.

（1）当且时，求直线l的方程；

（2）当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）或   

（2）存在，

【小问1详解】

椭圆的方程，由题可得；

由，结合，得，

椭圆的标准方程：；

当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，

故设直线l的方程为，代入椭圆方程

整理得，设，，

，；

，

解得.则直线l的方程为或.

【小问2详解】

当直线l的斜率不存在时，直线l与y轴重合，

由椭圆的对称性可知直线与直线平行，不符合题意；

由题意可设直线的方程：代入椭圆方程，

得；设，，

，；

①

直线的方程为②

则直线的方程为③

由②③得

由①代入，得，

解得，即；且知；（常数）

即点P与点Q横坐标之积为定值4.故存在常数