2022-2023学年湖南省临澧县第一中学高二下学期入学考试数学试题（解析版）

高二数学入学考试试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由题意知①，

双曲线的渐近线方程得，又因为一条渐近线方程是，

所以②，又因③，

由①②③解得：，，

所以双曲线的方程为： ，

故选：C

2. 已知为抛物线上一点，则到其焦点的距离为

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【详解】把代入抛物线方程得：2=2p，

∴p=1.

∴抛物线的焦点为F(0,).

∴抛物线的准线方程为y=−.

∴A到准线的距离为1+=.

∴AF=.

故选A.

3. 若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】∵，∴，解得或，

时，两直线方程为，即，，符合，

当时，两直线方程，即，，不符合，

故选：B.

4. 已知数列的首项，，则（    ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【详解】由题意可知，，即

∴是以为首项、为公差的等差数列

∴，，

故选：A

5. 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.

详解：因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

化简可得，故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

6. 设函数的导函数是，若，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】因为，所以，

所以，所以，

所以，所以.

故选：A

7. 已知数列、满足，，，则数列的前项和为．

A.  B.  

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】解：因为，

∴数列是等差数列，且公差是，是等比数列，且公比是，

又∵，

∴，

∴，

设，

∴，数列是等比数列，且公比为，首项为，

由等比数列的前项和的公式得：其前项的和为.

故选：C.

8. 已知、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】设，，，由题意得，，

由双曲线定义得，∴,

所以，所以，所以，所以，

由余弦定理得，

，

当时，面积的最大值是，

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足、、，则下列结论中错误的是（    ）

A  B.

C. 是数列中的最大值 D.

【答案】ABD

【解析】

【详解】分以下几种情况讨论：

①若，则，，此时，不合乎题意；

②若，对任意的，，且有，可得，

可得，此时，与题干不符，不合乎题意；

③由上可知，对任意的，，且有，可得，

此时，数列为单调递减数列，则，由可得.

对于A选项，由上可知，A选项错误；

对于B选项，由于数列为正项递减数列，所以，，则，B选项错误；

对于C选项，由上可知，正项数列前项都大于，而从第项起都小于，

所以，是数列中的最大值，C选项正确；

对于D选项，，，D选项错误.

故选：ABD.

10. 已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（　　）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为1，

由于直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，

可知，，

所以，

所以圆心到直线的距离等于，

再利用点到直线的距离公式可得：

圆心到直线的距离，

解得：，所以实数的值为1或.

故选：AB．

11. 已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【详解】（1）当时，设，则，设，如图所示：

双曲线的渐近线方程为，即

在中，，设，

又，所以，

又双曲线中，所以，

所以，，，，

则，，，

代入得，

即，解得，则，

（2）当时，设，，设，如图所示：

则，，

在中，，设，

又，所以，

又双曲线中，所以，

所以，，，，

则，，，

则，

则，

代入得，即，解得，则，

故选：AB.

12. 设为数列的前项和，若()等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．下列命题正确的是（    ）．

A. 等差数列可能为“和等比数列”

B. 等比数列可能为“和等比数列”

C. 非等差等比数列不可能为“和等比数列”

D. 若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则

【答案】ABD

【解析】

【详解】若等差数列的公差为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对

若等比数列的公比为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对

若数列满足，则是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，但它是“和等比数列”，C错

正项数列是公比为的等比数列，∴，

则

故数列是首项为，公差为的等差数列，又数列是“和等比数列”，

则

又为非零常数，则，即，即，D对

故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝________.

【答案】73

【解析】

【详解】∵Sn＝n2－16n，

∴当n＝1时，a1＝－15，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－16n－[(n－1)2－16(n－1)]＝2n－17，

令an≤0，解得n≤8，

则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝－a1－a2－a3－－a8＋a9＋a10＋a11

＝15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＝73.

故答案为：73

14. 已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则_______

【答案】

【解析】

【详解】由题意得内切圆的半径，设，

因此的面积为，

设，则，

∵满足条件的点恰好有两个，∴为椭圆短轴端点，即，

∴，而，∴，∴.

故答案为：.

【点睛】易错点点睛：容易误将看成长半轴长导致错误.

15. 若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为________.

【答案】0或

【解析】

【详解】由直线，

即，

得到直线恒过点，

又因为直线将圆的周长分为2:1的两部分，

则直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，

圆心到直线的距离为，

设直线方程为：，即

，

由点到直线距离公式有：，

则，解得或，

故答案为：或.

16. 已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，则的通项公式为_________；若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项的和为_________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【详解】∵数列是首项为，公差为的等差数列，

∴，得到，

当时，，

当时，，又，∴，

∴，当时，，

当时，、、…、，当时，、、…、，

当时，、、…、，当时，，

故数列的前项的和为：

．

故答案为：，.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0．x 2+y 2-10x-12y+m=0．

（1）m取何值时两圆外切？

（2）m取何值时两圆内切？

（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

【答案】（1）（2）（3）直线方程为 4x+3y-23=0，弦长为

【解析】

【详解】试题分析：（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，求得m的值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长

试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，

两圆的圆心距d= =5，两圆的半径之和为 + ，

由两圆的半径之和为 + =5，可得 m=．

（2）由两圆的圆心距d= ="5" 等于两圆的半径之差为|- |，

即| - |=5，可得 - ="5" （舍去），或 - =-5，解得m=．

（3）当m=45时，两圆的方程分别为 （x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，

把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0．

第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d==2，可得弦长为

考点：1．两圆相切的位置关系；2．两圆相交的公共弦问题

18. 已知数列和都是等差数列，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，∴，，

则，，，

又数列是等差数列，∴，

化简得，解得，

则；

（2）由（1）可知，

当时，，，符合，

当时，，

，

综上，当时，．

19. 已知数列满足，，(且)．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2），．

【解析】

【详解】（1）当时，，

当时，

，

∴数列是以为首项，为公差的等差数列；

（2）由（1）知，，

即，

∴当时，,,,

∴利用累加公式可得：

，

又当时，，满足上式，

∴，．

20. 已知椭圆C:离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【小问1详解】

由题设得，解得，，，

所以椭圆方程为.

【小问2详解】

由，得，

由，得.

设、，则，，

所以点的横坐标，纵坐标，

所以直线的方程为.

令，则点的纵坐标，则，

因为，所以点、点在原点两侧.

因为，所以，所以.

又因为，，

所以，解得，所以.

21. 已知数列满足，，数列满足，．

（1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；()；（2）．

【详解】（1）∵当时，，                      

又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列，             

∴，

∴()；                        

（2）∵，

∴，                

当时，当时，                                

∴，

当时符合，∴，                                               

∴，                 

∴

．

22. 已知点是圆上任意一点（是圆心），点与点关于原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线经过，与抛物线交于两点，与交于两点．当以为直径的圆经过时，求．

【答案】(1)；（2）.

【解析】

 (1)根据中垂线的性质，,这样，转化为椭圆的定义，根据定义写出椭圆方程；

（2）设直线方程，斜率存在时和椭圆方程联立，利用韦达定理写出根与系数的关系，然后根据以为直径的圆经过时，有，代入坐标关系，最后根据直线方程，根据根与系数的关系求，最后代入抛物线的焦点弦长公式.

试题解析：解：（I）由题意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，

从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，

∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆

其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，

∴椭圆方程为：

（Ⅱ）当直线l 与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），

此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1．不满足条件．

当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x﹣1）

由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．

设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，

因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（﹣1，0）

所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0

所以解得k2=，

由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0

因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k≠0，

设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4==2+，x3x4="1"

所以|A1A2|=x3+x4+p=2++2=．