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2022-2023学年吉林省吉林市田家炳高级中学高二上学期期末数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年吉林省吉林市田家炳高级中学高二上学期期末数学试题(解析版),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省吉林市田家炳高级中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1.已知数列是等比数列,且,,则公比( )A. B.2或 C. D.或【答案】B【分析】根据等比数列的通项公式,代入解方程即可.【详解】因为等比数列的通项公式所以,,又因为,即所以.故选:B2.已知直线,直线,且,则的值为( )A. B. C.-2或-1 D.【答案】C【分析】若两直线,平行,则且或,求解的值.【详解】因为,所以且,解得:或,且,综上:的值为或.故选:C3.已知直线和圆相交,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较,解不等式,即可求解.【详解】圆可化为,圆心为,半径为圆心到直线的距离由直线与圆相交可知,解得所以实数的取值范围为故选:B4.在数列中,,,,则( )A. B. C. D.【答案】A【分析】对变形可得,所以为以为首项,公差为的等差数列,即可得解.【详解】在中,, 由可得,所以为以为首项,公差为的等差数列,所以,所以,故选:A.5.已知为椭圆的焦点,M为椭圆上一点,垂直于x轴,且,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】在直角中,由得到的等量关系,结合计算即可得到离心率.【详解】由已知,得,则,又在椭圆中通径的长度为,,故,即,解得故选:C6.为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为A. B. C. D.【答案】B【分析】由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出,由PF=4以及抛物线的定义列式可得,即,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,再由三角形的面积公式可得.【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,设,则,解得,将 代入可得,所以△的面积为=.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P点的坐标;②利用OF为三角形的底,点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.7.已知双曲线(,)的右焦点为,若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据直线与双曲线的位置关系,结合图形,得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系,求得结果.【详解】已知双曲线(,)的右焦点为,若有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,∴,离心率,∴.故选:A.【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的位置关系的问题,解决该题的关键是结合图形,得到其斜率所满足的关系,属于基础题目.8.在直角坐标系内,已知是以点为圆心的圆上的一点,折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点(异于点)重合,两次的折痕方程分别为和,若圆C上存在点,使得,其中点、,则的最大值为A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【详解】由题意,是 上一点,折叠该圆两次使点 分别与圆上不相同的两点(异于点)重合,两次的折痕方程分别为和,∴圆上不相同的两点为B 的中点为圆心半径为1,的方程为 过的圆的方程为,∴两圆外切时, 的最大值为 故选B. 二、多选题9.下列说法错误的是( )A.直线必过定点B.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为C.经过点,倾斜角为的直线方程为D.已知直线和以,为端点的线段相交,则实数k的取值范围为【答案】BCD【分析】A选项由含参直线方程过定点的求法计算即可;B选项没有考虑直线过原点的情况,故错误;C选项,由倾斜角与斜率的关系即可判断;D选项计算出端点值后,由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧,故错误.【详解】A选项,直线方程变形为,令,解得,即原直线必过定点,A正确;B选项,当直线l过原点时,也满足在两坐标轴上的截距相等,此时直线l的方程为,B不正确;C选项,当时,无意义,故C不正确;D选项,直线经过定点,当直线经过M时,斜率为,当直线经过N点时,斜率为,由于线段MN与y轴相交,故实数k的取值范围为或,D不正确.故选:BCD.10.设{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且S7<S8,S8=S9>S10,则下列结论正确的是( )A.d<0 B.a9=0 C.S11>S7 D.S8、S9均为Sn的最大值【答案】ABD【分析】由题意可得数列的前8项为正数,第9项为0,从第10项开始为负数,各个选项验证可得答案.【详解】解:∵S7<S8,∴a8>0,∵S8=S9,∴a9=0,则a9-a8=d<0,故选项A,B正确;S11-S7==11a1+55d-7a1-21d=4a1+34d<0,∵a9=a1+8d=0,∴a1=-8d∴4a1+34d=-32d+34d=2d<0∴S11<S7,故C错误.易知数列的前8项为正数,第9项为0,从第10项开始为负数,故选项D正确;故选:ABD.11.下列结论正确的是( )A.若圆:,圆:,则圆与圆的公共弦所在直线的方程是B.圆上有且仅有3个点到直线l:的距离都等于1C.曲线:与曲线:恰有三条公切线,则 D.若实数 满足,则的最大值为【答案】ABD【分析】将两圆的方程相减即可得出两圆公共弦所在直线的方程,进而判断选项A;根据直线与圆心的距离与半径的大小关系即可判断选项B;根据两圆的的位置关系求得参数的值即可判断选项C;可看作圆上的点和点连线的斜率,利用直线和圆相切求得直线斜率,即可判断选项D.【详解】对于A,圆:即 ,圆:即,故两圆圆心距满足 ,两圆相交,将两方程相减可得:,也即圆与圆的公共弦所在直线的方程是,故A正确;对于B,圆的圆心到直线l:的距离,所以圆上有且仅有3个点到直线l:的距离都等于1,故B正确;对于C,曲线:可化为,曲线:可化为,若曲线表示圆,则有,因为曲线:与曲线:恰有三条公切线,所以两圆相外切,则,解得:,满足,故C错误;对于D,设,即可看作圆上的点和点连线的斜率,整理为,当直线与圆相切时,圆心到该直线的距离,即 ,可得,解得,所以 ,即最大值为,最小值为 ,D正确,故选:12.双曲线的方程为,左、右焦点分别为,过点作直线与双曲线的右半支交于点,,使得,则( )A. B.点的横坐标为C.直线的斜率为或 D.的内切圆半径是【答案】BCD【分析】根据双曲线的定义得到方程组,求出、,即可判断A,再由等面积法求出,代入双曲线方程求出,即可判断B,再求出直线的斜率,即可判断C,利用等面积法求出内切圆的半径,即可判断D;【详解】解:如图所示,由题意知,解得,故A不正确;在中,由等面积法知,解得,代入双曲线方程得,又因为点在双曲右支上,故,故B正确;由图知,,由对称性可知,若点在第四象限,则,故C正确;的内切圆半径,故D正确.故选:BCD. 三、填空题13.已知双曲线的上、下焦点分别为,,P是双曲线上一点且,则双曲线的标准方程为______.【答案】【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程,根据双曲线定义得到,得到,即可求出双曲线方程.【详解】由题意得:双曲线的焦点在轴上,设双曲线方程为,因为,故,又双曲线的上、下焦点分别为,,故,故,故双曲线的标准方程为:,故答案为:14.过点且与⊙C:相切的直线方程为_______________【答案】【解析】点在圆C上,利用圆心到直线距离等于半径求解.【详解】⊙C:化为标准方程为,圆心为,半径为4.由,所以在圆C上.由直线,则圆心到直线的距离为4,所以直线满足条件.故答案为:15.已知数列满足,,则数列的前100项和______.【答案】【分析】叠加法求解,再裂项相消法求和即可.【详解】∵,∴时,.∴(),当时也满足上式,∴()∴,()∴数列的前项和()所以数列的前100项和.故答案为:.16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点,P为椭圆与双曲线的一个公共点,椭圆与双曲线的离心率分别为,且,则的最小值为______.【答案】##【分析】根据题意得到等量关系,结合余弦定理得到,利用求出,进而得到的最小值.【详解】由题意P为椭圆与双曲线的一个公共点,不妨设点P在双曲线右支上,为左焦点,为右焦点,则,,,,解得:,,由,得,解得:,因为,解得,必满足,因为,即,所以,即,所以,解得:,故,故的最小值为,故答案为: 四、解答题17.已知等差数列的前项和为,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2). 【分析】(1)设公差为,根据列出关于首项和公差的方程组,求得首项和公差,根据等差数列通项公式即可求;(2)利用分组求和法求即可.【详解】(1)设公差为,由得,,解得,∴;(2)由得,∴.18.已知圆C的圆心在第一象限且在直线上,点、点均在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)由直线上一点P向圆C引切线,A,B是切点,求四边形PACB面积的最小值.【答案】(1);(2). 【分析】(1)由题可得的垂直平分线方程,进而可得圆心坐标,即得;(2)先求得,通过求的最小值可得得的最小值.【详解】(1)由,,可得的垂直平分线为,又点、点均在圆C上,圆C的圆心在直线上,由,可得,即圆心,又,所以圆的方程为;(2)由(1)得,圆的圆心为,半径,所以四边形的面积为,所以当最小时,最小,又到直线的距离为,即的最小值为,所以四边形面积的最小值为.19.已知点,圆,点在圆上运动,的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程;(2)直线与曲线交于两点,且中点为,求直线的方程.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由椭圆的定义求解,(2)由点差法得直线斜率后求解,【详解】(1)由题可知,则由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点,且长轴长为的椭圆,∴,∴∴的轨迹方程为:(2)设,∵ 都在椭圆上,∴ ,,相减可得,又中点为,∴ ,∴ ,即直线的斜率为,∴直线的方程为,即,因为点在椭圆内,所以直线与椭圆相交于两点,满足条件.故直线的方程为.20.已知等差数列的前项和为,且 .数列的前项和满足,且.(1)求数列和的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1),(2) . 【分析】(1)设等差数列的公差为d,根据题意列出方程组,求得,可得;利用可得,相减可得,说明数列为等比数列,即可求得;(2)利用(1)的结论求得的表达式,利用错位相减法即可求得数列的前n项和.【详解】(1)设等差数列的公差为d,∵,则 ,解得 ,∴ ;数列的前项和满足,且,故,则,由可得,可知 ,故,而适合该式,故为等比数列,则;(2)由(1)得,故 ,则 ,两式相减得 ,故.21.已知抛物线C:的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A、B(A在第一象限),与x轴的交点为P.如图(1)若,求l的方程;(2)若,求【答案】(1);(2)3. 【分析】(1)根据抛物线的定义可得,设直线的方程,联立抛物线的方程,利用韦达定理结合条件即得;(2)利用韦达定理及弦长公式结合条件可得,进而即得.【详解】(1)由题可得,设,,所以,所以,设直线,由,可得,则,从而,得,所以的方程为;(2)由,可得,所以.,因为,所以,,可解得 ,所以.22.已知椭圆的离心率为,依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点F为E的右焦点,,直线l交E于P,Q(均不与点A重合)两点,直线的斜率分别为,若,求△FPQ的周长【答案】(1);(2) 【分析】(1)由题设可得基本量的方程组,求出其解后可得椭圆的方程;(2)设直线,由题设条件可证明该直线过定点,根据椭圆的定义可求周长.【详解】(1)因为椭圆的离心率为,故,故,因为依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为,故,所以,故,故椭圆方程为:.(2)设直线,,则,,故,故,由可得,故,整理得到,又,故,故或,此时均满足.若,则直线,此时直线恒过,与题设矛盾,若,则直线,此时直线恒过,而为椭圆的左焦点,设为,故的周长为.