2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是，则等于A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】利用两条直线平行，及两条平行线间的距离公式，可得方程组，解之即可得到结论.【详解】直线与直线平行且两者之间的距离是，，(负值舍去)，.所以B选项是正确的.【点睛】本题考查两条平行线间距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.2．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.3．已知桌上放有3本语文书和3本数学书．小明现从这6本书中任意抽取3本书，A 表示事件“至少抽到1本数学书”，B表示事件“抽到语文书和数学书”，则＝（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用条件概率的公式求解.【详解】由题得,由条件概率的公式得.故选：D4．《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（    ）A．30种 B．54种 C．60种 D．64种【答案】B【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果.【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种，若白天一场，晚上一场，则有种，故放映这两部电影不同的安排方式共有48+6=54种.故选：B5．已知抛物线的焦点为，准线为，为上的点，过作的垂线，垂足为，，则（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】先由结合抛物线性质可得，再结合抛物线定义确定三角形为正三角形，即可求出答案．【详解】解：如图，设直线与轴交于点，则由抛物线，可知，又，故，且，又由抛物线定义，则三角形为正三角形故．故选：C．6．在的展开式中，常数项为（    ）A．27 B．28 C．29 D．30【答案】D【分析】根据二项式展开式通项公式即可求解．【详解】的展开式中，常数项为故选：D7．圆：和：，M，N分别是圆，上的点，P是直线上的点，则的最小值是　　A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求得圆关于的对称的圆的性质，然后将问题转化为三点共线的问题求解最值即可.【详解】圆关于的对称圆的圆心坐标，半径为3，圆的圆心坐标，半径为1，由图象可知当P，，，三点共线时，取得最小值，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即：．本题选择A选项.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，……．记作数列，若数列的前项和为，则＝（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由归纳推理及等比数列前项和可得：即在第11组中且为第11组中的第2个数，则，得解．【详解】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，．分组为（1），，，2，，，3，3，，，4，6，4，则第组个数且第组个数之和为，设在第组中，则，解得：，即在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，则，故选：C．【点睛】本题考查了归纳推理及等比数列前项和，属于中档题． 二、多选题9．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（    ）A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有4项【答案】CD【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是，所以令可得：.A：因为，所以展开式共有项，因此本选项说法不正确；B：因为，所以二项式系数最大的项是第4项和第项，因此本选项说法不正确；C：因为，所以所有二项式系数和为，所以本选项说法正确；D：由B可知：，当时，对应的项是有理项，故本选项说法正确，故选：CD10．若男女排成一排，则下列说法错误的是（    ）A．共计有种不同的排法 B．男生甲排在两端的共有种排法C．男生甲、乙相邻的排法总数为种 D．男女生相间排法总数为种【答案】BC【分析】利用排列计数原理可判断A选项；利用特殊元素优先考虑可判断B选项；利用捆绑法可判断C选项；利用列举法结合排列计数原理可判断D选项.【详解】对于A选项，共有种不同的排法，A对；对于B选项，男生甲排在两端，共有种不同的排法，B错；对于C选项，若男生甲、乙相邻，将甲、乙两人捆绑，形成一个“大元素”，此时共有种不同的排法，C错；对于D选项，男女生相间，共有两种情况：男女男女男女、女男女男女男，共有种不同的排法，D对.故选：BC.11．过点的直线与圆交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且，则（    ）A．面积的最大值为 B．面积的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BCD【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，求出，即可判断C；再由，求出面积的最大值即可得出判断出A，B；求的最小值转化为求的最小值即可得出判断出D.【详解】设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得，，则，当时，，故A错误，B正确.由，知，C正确.如图，过圆心C作于E，则E为MN的中点，又，则，即点E的轨迹为圆.因为，且， 所以的最小值为，故D正确.故应选：BCD.12．已知双曲线且，设直线与双曲线在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，记的面积为，则下列说法正确的是（    ）A．双曲线的渐近线方程为 B．C．数列为等差数列 D．【答案】ACD【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程，设点，求出到两渐近线的距离，从而得到，即可得到的通项公式，再根据等差数列的前项和公式计算可得；【详解】解：因为双曲线的方程为且，所以渐近线方程为，设点，则且，记到两条渐近线的距离分别为，则、，则，故因此为等差数列，故，故选：ACD. 三、双空题13．已知三点共线，则______，直线的倾斜角为_________．【答案】     3     【分析】由三点共线得斜率相等即可求解.【详解】直线斜率为，斜率为，因为三点共线，所以，则，由得 所以直线的倾斜角为故答案为：3； 四、填空题14．若的展开式中第4项的系数是160，则______.【答案】1【分析】根据给定的二项式直接求出第4项，结合已知系数计算作答.【详解】的展开式中的第4项为，依题意，，解得，所以.故答案为：115．在等比数列中，若，，则_____．【答案】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：．∵在等比数列中，，∴原式．故答案为：【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.16．已知双曲线）的左､右焦点分别是是双曲线右支上的两点，.记的周长分别为，若，则双曲线的右顶点到直线的距离为___________.【答案】【分析】根据题意，结合双曲线的定义爹【详解】解：根据双曲线的定义，.所以，故双曲线右顶点，因为，所以在上，在上，即直线方程为：，所以双曲线的右顶点到直线的距离为故答案为： 五、解答题17．（1）计算：；（2）已知，求的展开式中的系数.（用数字作答）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据排列数和组合数公式即可求出；（2）根据二项式系数的性质或者二项展开式的通项公式即可求出．【详解】（1）；（2）的展开式中的系数和为：．或者，所以的系数为．18．已知数列的前项．(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据数列的通项公式与和前 项和公式的关系，即可求出结果；（2）由（1）可得，进而可得，再根据裂项相消法即可证明结果.【详解】（1）解：由①，所以，当时，②，由①-②，则当时，，上式亦满足，综上.（2）解：由，所以所以.19．已知的展开式中，前三项系数成等差数列.（1）求含项的系数；（2）将二项式的展开式中所项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．【答案】（1）7；（2）.【分析】（1）利用二项式定理求出前三项的系数的表达式，利用这三个系数成等差数列并结合组合数公式求出的值，再利用二项式展开式通项可求出项的系数；（2）利用二项展开式通项求出展开式中有理项的项数为，总共是项，利用排列思想得出公共有种排法，然后利用插空法求出有理项不相邻的排法种数，最后利用古典概型概率公式可计算出所求事件的概率．【详解】（1）∵前三项系数、、成等差数列．，即．∴或 (舍去）   ∴展开式中通项公式T，，，8． 令，得，                                  ∴含x2项的系数为 ；（2）当为整数时，．                        ∴展开式共有9项，共有种排法．                       其中有理项有3项，有理项互不相邻有种排法，           ∴有理项互不相邻的概率为【点睛】本题考查二项式定理指定项的系数，考查排列组合以及古典概型的概率计算，在处理排列组合的问题中，要根据问题类型选择合适的方法求解，同时注意合理使用分类计数原理和分步计数原理，考查逻辑推理与计算能力，属于中等题．20．已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.(1)求抛物线的方程；(2)求的面积.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据抛物线的准线方程，即可容易求得抛物线方程；（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，利用OM的斜率为，结合韦达定理，即可求得直线的方程，再用面积公式即可求得结果.【详解】（1）由准线方程为知，，故；则抛物线方程为.（2）由题知直线的斜率显然不为0，又其过点              故设直线l的方程为，，  联立抛物线方程，化简得则，            由线段的中点为知，，，代入韦达定理知，，整理得：，解得，故直线的方程为  则.故的面积为.21．设数列的前项和为，满足，．(1)求，的值．(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和．【答案】(1)见解析；(2). 【分析】（1）由，求解即可；（2），当时，，两式相减得，进而得，检验，从而得，进而利用分组求和即可.【详解】（1）∵，∴，∴，．（2）∵，∴当时，，两式相减得，即，∴．又由，，得，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，，∴．22．已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上．（1）求E的方程；（2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由椭圆的定义可得，再由，结合即可求解.（2）讨论直线l的斜率是否存在，当直线l的斜率存在，设其方程为，将直线与椭圆联立，，利用韦达定理即可求解.【详解】解：（1）由题意可知，∴，而，∴，∴椭圆E的方程为．（2）①若直线l的斜率不存在，易得，②若直线l的斜率存在，设其方程为，，，则，联立得，且，，要使上式为常数，必须且只需，即，此时易知恒成立，且，符合题意．综上所述，．