2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高二上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定方程求出直线的斜率即可求得倾斜角作答.

【详解】直线的斜率，由斜率的定义得直线的倾斜角为，

所以所求倾斜角为.

故选：A

2．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.

【详解】由题知，圆的圆心，半径.

因为，所以点在圆上，

所以过点的圆的切线与直线垂直，

设切线的斜率，则有，

即，解得.

因为直线与切线垂直，

所以，解得.

故选：B.

3．若入射光线所在直线的方程为，经直线反射，则反射光线所在直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先在直线上取和，分别求其关于的对称点，再利用点斜式求反射光所在直线即可。

【详解】对直线，令，解得，

设，关于直线的对称点为，

则，解得，即，

对直线，令，解得，

设，关于直线的对称点为，

则，解得，即，

，

直线：，即。

故选：C

4．过点的直线与圆交 于，两点，当时，直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题分析出圆心C到直线的距离为1，然后分斜率不存在与存在两种情况进行讨论.

【详解】由题意得，则圆心到直线的距离为1，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线与圆相切，不合题意，舍去；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

则，解得.

故选：A.

【点睛】本题考查直线的斜率的求法，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题.

5．圆 上的点 关于直线 的对称点仍在圆 上， 且该圆的半径为 ， 则圆 的方程为（    ）

A． B．

C． 或  D． 或

【答案】D

【分析】先判断圆心在直线上，设圆心的坐标为，由半径，列出方程，求出的值，即可得到答案．

【详解】解：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，

所以圆心在直线上，

设圆心的坐标为，

因为该圆的半径为，

则，

解得或，

所以圆心为或，

则圆的方程为或．

故选：D．

6．直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于，从而可得关于的不等式，即可求得结论.

【详解】，设圆心到直线的距离为，则，

，，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查利用弦长求直线斜率的取值范围，一般转化为弦心距进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

7．已知圆：，过圆内一点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由最长弦为过点E的直径和最短弦为垂直于直线OE求解.

【详解】如图所示：

由题意可得为圆的直径，，

易得，，

∴，

∴四边形的面积为.

故选：D..

8．直线与圆相交于不同的，两点其中，是实数，且是坐标原点，则点与点距离的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】过点作，垂足为，由得，又，故，则点与点距离为区域内的点到点的距离，画图即可求解．

【详解】如图，过点作，垂足为，

，，

，

又，，即．

则点与点距离为区域内的点到点的距离，

设，如图，，

因此点与点距离的取值范围为．

故选：D．

二、多选题

9．（多选）已知直线的方程为，则下列判断正确的是（    ）．

A．若，则直线的斜率小于0

B．若，，则直线的倾斜角为90°

C．直线可能经过坐标原点

D．若，，则直线的倾斜角为0°

【答案】ABD

【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.

【详解】对于A选项，若，则直线的斜率，A正确；

对于B选项，若，，则直线的方程为，其倾斜角为90°，B正确；

对于C选项，将代入中，显然不成立，C错误；

对于D选项，若，，则直线的方程为，其倾斜角为0°，D正确．

故选：ABD．

10．已知的三个顶点的坐标分别为、、，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】根据三角形的三点坐标，确定坐标原点到三边的距离，以及到三个顶点的距离，结合题中条件，即可确定圆的半径，从而可得圆的方程.

【详解】依题意，直线的方程为，化为一般式方程：，

点到直线的距离，

又直线的方程为，直线的方程为，

因此点到直线的距离为，到直线的距离为，

当以原点为圆心的圆与直线相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；

此时圆的半径为，所以圆的方程为；

又，，，

由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点，

即圆的半径为，则圆的方程为.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键在于，根据三角形与圆的交点个数，分圆与三角形一边相切，或圆过三角形的一点这两种情况进行讨论，即可求出结果.

11．已知圆和直线，则（    ）

A．直线l与圆C的位置关系无法判定

B．当时，圆C上的点到直线l的最远距离为

C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，

D．如果直线l与圆C相交于M、N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆

【答案】BCD

【分析】对于A，由于直线恒过定点，所以判断此定点与圆的位置关系即可，对于B，求出圆心到直线的距离再加上圆的半径即可，对于C，由题意可得只要圆心到直线l距离为1即可，对于D，设MN的中点为P，由垂径定理知，从而可得结论

【详解】由，得，所以圆心，半径为2，

选项A：由直线l的方程可得，，则直线l恒过定点，此点在圆C内，故直线l与圆C相交．故A错误．

选项B：时，直线l的方程为，即．设圆心到直线l距离为d，则，所以圆C上的点到直线l的最远距离为．故B正确．

选项C：当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心到直线l距离为1，由，得．故C正确．

选项D：直线l恒过定点，设MN的中点为P，由垂径定理知，故点P的轨迹是以为直径的圆，故D正确．

故选：BCD

12．如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则（    ）

A．曲线与轴围成的图形的面积等于

B．与的公切线的方程为

C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为

D．所在的圆截直线所得弦的长为

【答案】BC

【分析】由题知曲线Ω与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故此可写出各段圆弧所在圆的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项即可.

【详解】，，所在圆的方程分别为，，.

曲线与轴围成的图形为一个半圆､一个矩形和两个圆，其面积为，故A错误；

设与的公切线方程为（，），则，

所以，，所以与的公切线的方程为，

即，故B正确；

由及两式相减得，

即公共弦所在直线方程，故C正确；

所在圆的方程为，圆心为，

圆心到直线的距离为，

则所求弦长为，故D错误.

故选：BC

三、填空题

13．与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程为______．

【答案】

【分析】设所求直线方程为，求出横截距和纵截距即得解.

【详解】设所求直线方程为．

令，得；令，得．

∴，∴，

∴所求直线的方程为．

故答案为：

14．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．

【答案】

【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.

【详解】设直线的方程为，则点，

由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，

则，解得或，所以，

因为，故.

故答案为：.

15．若圆C与x轴和y轴均相切，且过点（1，2），则圆C的半径长为______．

【答案】1或5．

【分析】根据题意可知，圆心在y＝x或y＝﹣x上，分别设圆心为（a，a），（a，﹣a），写出圆的方程并代入（1，2），进行计算即可.

【详解】根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝﹣x上，

当圆心C在y＝x上时，设圆心C的坐标为（a，a），

此时圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，

将（1，2）代入可得：（1﹣a）2+（2﹣a）2＝a2，即a2﹣6a+5＝0，解可得a＝1或5，

此时圆的半径为1或5，

当圆心C在y＝﹣x上时，设圆心C的坐标为（a，﹣a），

此时圆的方程为（x﹣a）2+（y+a）2＝a2，

将（1，2）代入可得：（1﹣a）2+（2+a）2＝a2，即a2+2a+5＝0，无解

综上所述，圆的半径为1或5.

故答案为：1或5．

16．设圆圆.点分别是圆 上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】在直接坐标系中，画出两个圆的图形和直线的图象，根据圆的性质，问题就转化为|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，运用几何的知识，作出C1关于直线y＝x对称点C，并求出坐标，由平面几何的知识易知当C与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|取得最小值，最后利用两点问题距离公式可以求出最小值.

【详解】

可知圆C1的圆心（5，﹣2），r＝2，圆C2的圆心（7，﹣1），R＝5，如图所示：

对于直线y＝x上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，

则问题可转化为求|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，    

即可看作直线y＝x上一点到两定点距离之和的最小值减去7，

又C1关于直线y＝x对称的点为C（﹣2，5），

由平面几何的知识易知当C与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|取得最小值，

即直线y＝x上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2|

∴|PA|+|PB|的最小值为

＝﹣7．

【点睛】本题考查了求定直线上的动点分别到两个圆上的动点的距离之和最小值问题，考查了数形结合思想，利用圆的几何性质转化是解题的关键，利用对称思想也是本题解题的关键.

四、解答题

17．设直线l过点A（-1，3），且和直线平行．

(1)求直线l的方程；

(2)设l与x轴相交于点B，求直线l绕点B逆时针旋转90°所得的直线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用点斜式可得直线l的方程为：．

（2）设l与x轴相交于点B（3，0），直线l绕点B逆时针旋转90°所得的直线方程的斜率为：．利用点斜式即可得出．

【详解】（1）解：由题意得：

直线l和直线平行

直线l的方程为：，解得：．

（2）l与x轴相交于点B（3，0）

直线l绕点B逆时针旋转90°所得的直线方程的斜率为：．

直线方程：，化简得：．

18．已知圆M与直线相切于点，圆心M在x轴上.

（Ⅰ）求圆M的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线l与圆M交于A，B两点，且，求直线l的方程.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【分析】（Ⅰ）.利用圆心在x轴上可设圆的方程为，再根据与点相切列出两个关于的方程，求解方程得到，；（Ⅱ）.因为直线与圆相交弦长，从而得到圆心到直线l的距离，再利用点到直线的距离公式求得直线的斜率.

【详解】（Ⅰ）由题可知，设圆的方程为，

由直线与圆相切于点，

得，解得，，

∴圆的方程为.

（Ⅱ）由题意知直线的斜率一定存在，设l为，即，

因为，所以圆心到直线l的距离，

∴，∴

∴直线l为

即为或.

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

19．如图所示，已知是以AB为底边的等腰三角形，点，，点C在直线：上．

（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；

（2）设直线CD与y轴交于点，求的面积．

【答案】（1）；（2）1．

【分析】（1）根据中点坐标公式求出点坐标，根据得出直线斜率，最后根据点斜式可得直线方程；

（2）联立直线方程求出点坐标，通过两点式得出的方程，求出点到的距离以及的长，最后求面积即可.

【详解】（1）因为是以AB为底边的等腰三角形，

所以E为AB的中点，所以，

因为，所以

所以直线CE：，即

所以AB边上的高CE所在直线的方程为；

（2），解得，所以，

所以直线AC：，即，

又因为，所以点D到直线AC的距离，

又，所以.

【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

20．已知直线：，圆：.

（1）平行于的直线与圆相切，求直线的方程；

（2）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，求的面积的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）本小题利用直线与圆相切即是建立方程解题即可.

（2）本小题利用圆上的点到直线的距离的范围来判断面积的取值范围，再解题即可.

【详解】解：（1）∵ ∥，∴ 设直线：，

∵ 与圆相切，∴ 圆心到直线的距离等于，

∴ ，解得：或，

∴ 直线：或

（2）∵ 直线分别与轴、轴交于、两点，

∴ 、，则

又圆心到直线的距离，

∴ 即，

∴

∴ 的面积的取值范围：.

【点睛】本题考查直线与圆相切等价于，圆上的点到直线的距离的范围，是中档题.

21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，﹣2)，B(4，0)，圆C经过点(0，﹣1)，(0，1)及(，0)．斜率为k的直线l经过点B．

（1）求圆C的标准方程；

（2）当k＝2时，过直线l上的一点P向圆C引一条切线，切点为Q，且满足PQ＝，求点P的坐标；

（3）设M，N是圆C上任意两个不同的点，若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，求k的取值范围．

【答案】（1）；（2）P(3，﹣2)或(，)；（3）或．

【分析】（1）设圆的一般方程，将三个点坐标代入，即得结果,再配方化为标准方程；

（2）设P(x，y)，根据切线长以及两点间距离公式列方程，再根据点P在直线上。联立方程组解得结果；

（3）根据垂径定理列出以MN为直径的圆上点满足的条件（一个实心圆），再根据直线与圆位置关系列不等式解得结果.

【详解】（1）设圆C的方程为，

因为圆C经过点(0，﹣1)，(0，1)及(，0)

所以，解得，

所以圆C的方程为：，其标准方程为，

（2）设P(x，y)，由PQ与圆C切于点Q，得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝PA，

所以，整理得，

又点P在直线l：上，

由，得或

所以P(3，﹣2)或(，)，

（3）设以MN为直径的圆的圆心为K，T是该圆上任意一点

则K为MN中点，设CK＝d，则圆K的半径为

因为，所以，

因为M，N是圆C上任意两个不同的点，所以d∈[0，)，

对于任意d∈[0，)，，所以0≤CT2≤4，

故点T总在以C(﹣1，0)为圆心，2为半径的圆上或其内部，

故直线l：y＝k(x﹣4)，即kx﹣y﹣4k＝0，与该圆无公共点，

所以，解得或．

【点睛】本题考查圆的方程、切线长、动点轨迹、直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.

22．已知圆的圆心与点关于直线 对称，且圆与轴相切于原点．

(1)求圆的方程；

(2)过原点的两条直线与圆分别交于两点，直线的斜率之积为 ，为垂足，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；P（2，0）

【分析】（1）设M（a，b）．则由题意可得，解方程组求出，从而可求出圆的方程，

（2）设OA所在直线方程为，与圆的方程联立，可求出点的坐标，同理可求出点的坐标，则可表示出直线的方程，化简后可得直线AB过定点C（4，0），由于OC为定值，且△ODC为直角三角形，OC为斜边，从而可得为定值，进而可求出点的坐标

【详解】（1）（1）设M（a，b）．

则．

解得．

所以该圆的半径为3，．

所以圆M的方程为；

（2）设OA所在直线方程为，

联立

得，

同理把k换做－，可得

所以AB所在直线方程为）．

当时，可得，

故直线AB过定点C（4，0）．

由于OC为定值，且△ODC为直角三角形，OC为斜边，

所以OC中点P满足为定值，

由于O（0，0），C（4，0），故由中点坐标公式可得P（2，0），

故存在点P（2，0），使得|DP|为定值．