2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高二上学期10月阶段调研数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高二上学期10月阶段调研数学试题

一、单选题

1．焦点在x轴的椭圆的焦距是4，则m的值为（    ）

A．8 B．3 C．5或3 D．20

【答案】A

【分析】根据焦点的位置可得的取值范围，结合焦距可求的值.

【详解】因为焦点在x轴，故，而焦距是4，故即，

故选：A.

2．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线平行列出方程，求出：或1，验证后均符合要求，从而得到“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.

【详解】当时，与的斜率相等，故平行，充分性成立，

若“直线与直线平行”，则满足，

解得：或1，经验证，：或1时，两直线不重合，故：或1，两直线平行，故必要性不成立.

故选：A

3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ）

A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0

【答案】D

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

【详解】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；

当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.

综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.

4．已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.

【详解】由，得，

∵直线与圆相离，

∴解得．

∴实数m的取值范围是，

故选:D．

5．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点和为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先由得到与，再由的最大值得，进而求得，，故可得到椭圆C的方程.

【详解】由已知，得，故，

∵，即，

∴，得，故，

所以椭圆C的方程为.

故选：D.

6．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解

【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以．

由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率．

故选：A

7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ）

A．4 B．10 C．5 D．

【答案】C

【分析】由题意可知两条动直线经过定点、，且始终垂直，有，利用勾股定理求出，再利用基本不等式求得答案.

【详解】由题意可知，动直线经过定点，

动直线即，经过定点，

因为，所以动直线和动直线始终垂直，

又是两条直线的交点，

则有，，

故（当且仅当时取“” ，

故选：C．

8．在平面直角坐标系中，已知圆，是直线上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，使得，则线段长度的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【分析】设圆的切线为、，由得，即，

再求得的取值范围，求得点的坐标，即可求得的最大值．

【详解】由题意，圆心到直线的距离为

（半径）

故直线和圆相交；

当点在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角，

当且仅当两条线均为切线时，

才是最大的角，

不妨设切线为，，则由，

得，

；

当时，，

设，

，

解得：，

设，

如图，之间的任何一个点，圆上均存在两点，使得，

线段长度的最大值为

故选：C

二、多选题

9．下列说法中正确的是

A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等

B．方程能表示平面内的任何直线

C．圆的圆心为，半径为

D．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是

【答案】BD

【分析】由两直线平行于轴排除；根据直线平行或不平行于坐标轴，可确定方程均可以表示出来，知正确；整理得到圆的标准方程，进而确定圆心和半径，排除；由直线不过第二象限可构造不等式组求得结果，知正确.

【详解】对于，若两条直线均平行于轴，则两条直线斜率都不存在，错误；

对于，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为，为直线两点式方程；当直线平行于轴，则原方程可化为；当直线平行于轴，则原方程可化为；

综上所述：方程能表示平面内的任何直线，正确；

对于，圆的方程可整理为，则圆心为，错误；

对于，若直线不经过第二象限，则，解得：，正确.

故选：.

【点睛】本题考查直线和圆部分相关命题的辨析，涉及到直线方程的应用、根据直线所过象限求解参数范围、由圆的方程确定圆心和半径等知识，属于基础知识的综合考查.

10．已知． 则下列说法中， 正确的有（    ）

A．若在内， 则

B．当时， 与共有两条公切线

C．若与存在公共弦， 则公共弦所在直线过定点

D．， 使得与公共弦的斜率为

【答案】BC

【分析】根据点与圆的位置关系判断方法判断A，通过判断圆与圆的位置关系确定与的公切线的条数，通过将两圆方程相减确定两圆的公共弦的方程，判断C，D.

【详解】因为，

所以：，：，

则，，，，则，

由在内，可得，即，A错误；

当时，，，，，所以，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；

，得，即，令解得所以定点为，C正确；

公共弦所在直线的斜率为，令，无解，所以D错误，

故选：BC．

11．已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ）

A．椭圆的离心率的取值范围是

B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是

C．存在点使得

D．的最小值为1

【答案】BCD

【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D.

【详解】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，

所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；

当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；

设椭圆的上顶点为，，，由于，

所以存在点使得，故C正确；

，

当且仅当时，等号成立，

又，

所以，故D正确．

故选：BCD

12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（    ）

A．椭圆的离心率为

B．面积的最大值为

C．到的左焦点的距离的最小值为

D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则

【答案】ABD

【分析】由条件可得，由此可求椭圆的离心率，由此判断A，由条件可得为圆的直径，确定面积的表达式求其最值，由此判断B，由条件确定的表达式求其范围，由此判断C，结合点差法判断D.

【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，

所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；

因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确；

设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以，

则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确；

由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以，

故D正确

故选：ABD．

【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质

过椭圆上任意不同两点，作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：

性质1：．

性质2：平分切点弦．

性质3：的最大值为，的最小值为．

三、填空题

13．已知点关于直线的对称点为，则直线的方程为______________________________

【答案】

【分析】求出线段的中垂线方程即可．

【详解】，其中垂线的斜率为，又中点为，∴直线方程为，即．

故答案为：．

【点睛】本题考查点的对称性，考查求两点的对称轴方程．掌握对称的性质即可求解．

14．已知为圆C：上任意一点，则的取值范围为________

【答案】

【分析】求的取值范围表示圆上的点与点连线的斜率的取值范围，画出图形，可知当直线与圆相切时斜率取到最值，利用点到直线的距离公式计算即可.

【详解】由题意，表示圆上的点与圆外的点连线的斜率.

把圆化为标准式，

圆心，半径.

设过点的直线方程为，即.

当直线与圆相切时，斜率取得最值.

由，解得或.

所以的取值范围为.

故答案为：.

15．如图，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为_____

【答案】

【分析】由已知的内切圆的面积为得出半径，从而求出的面积，再由面积，即可求出.

【详解】因为的内切圆的面积为，

所以的内切圆半径，

面积

所以面积，

所以

故答案为

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，三角形内切圆的性质，三角形的面积公式，属于中档题.

16．把椭圆的长轴分成2018等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于2017个点，是椭圆的一个焦点，则这2017个点到的距离之和为______.

【答案】

【分析】若设过2017等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于2017个点分别为，由椭圆的定义与椭圆的对称性，得到，结合和题中的数据，可得答案.

【详解】解：由题意可知，若设过2017等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于2017个点分别为，

是椭圆的一个焦点，设椭圆的另一个焦点为，

则根据椭圆的对称性，得，

同理，……，，

又因为 ，

所以

故答案为：10085

【点睛】此题考查了椭圆的标准方程、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题.

四、解答题

17．已知圆的圆心在轴上，且经过点.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.

【答案】（1）（2）或

【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；

（2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.

【详解】解：（1）设的中点为，则，

由圆的性质得，

所以，得，

所以线段的垂直平分线方程是，

设圆的标准方程为，其中，半径为，

由圆的性质，圆心在直线上，化简得，

所以圆心，，

所以圆的标准方程为；

（2）由（1）设为中点，则，得，

圆心到直线的距离，

当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；

当直线的斜率存在时，设的方程，即，

由题意得，解得；

故直线的方程为，

即；

综上直线的方程为或.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.

18．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，

（1）求顶点的坐标；

（2）求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先设，根据题意得到，再解方程组即可.

（2）首先设，得到，从而得到，解方程得到，再求出和点到直线的距离，即可得到答案.

【详解】（1）设，因为直线与直线垂直，且点在直线上，

所以，解得，故.

（2）设由题知：，

所以，解得，即.

，直线，即：.

，

点到直线的距离，

所以.

【点睛】本题主要考查直线的方程，同时考查点到直线的距离公式，属于中档题.

19．圆：与：相交于A、B两点.

(1)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；

(2)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程；

（2）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，求出该圆的圆心和半径可得圆的方程.

【详解】（1）因为圆的圆心不在直线上，所以所求圆不是圆，

故可设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），

即,

则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，

解得，故所求方程为.

（2）因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

所以直线的方程为，即，

由题意可知以线段AB为直径的圆的面积最小，

由两个圆的方程相减可得直线的方程为，

联立，解得，则所求圆的圆心为，

圆心到直线的距离，

所以，所以所求圆的半径为.

故面积最小的圆的方程为.

20．如图，已知的圆心在原点，且与直线相切.点P在直线上，过点P引的两条切线、，切点为A、B.

(1)求四边形面积的最小值；

(2)求证：直线过定点.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）连接OA，OB，求出圆C的方程和，数形结合即得解；

（2）求出以OP为直径的圆的方程，再求出两圆的公共弦方程即得证.

【详解】（1）解：依题意得：圆心（0，0）到直线x+3y+40的距离d＝r，

∴，

∴圆C的方程为x2+y2.

如图，连接OA，OB，

∵PA，PB是圆C的两条切线，

∴ OA⊥AP，OB⊥BP，

∴.

∴当PO取最小值为8时，.

（2）证明：由① 得，A，B在以OP为直径的圆上，

设点P的坐标为（8，b），，

则线段OP的中点坐标为（4，），

∴以OP为直径的圆方程为，

即x2+y2﹣8x﹣by＝0.

∵AB为两圆的公共弦，

∴由得直线AB的方程为，b∈R，

即8（x）+by＝0，

则直线AB恒过定点（，0）.

21．已知动圆M经过定点，且与圆相内切．

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和．

【答案】(1)

(2)0

【分析】（1）设动圆圆心，半径为r，利用椭圆的定义可得到动圆圆心M的轨迹方程.

（2）设出AB直线方程和PQ直线方程，分别与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式表示出，即可得到斜率之和.

【详解】（1）设动圆圆心，半径为r，

由题意得：

得．

所以圆心M的轨迹是以，为焦点的椭圆，且

故轨迹C方程为．

（2）设，，，AB直线方程为，

，，PQ直线方程为，

联立相消得，

同理，又，

，又，．

22．在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，为椭圆的右顶点，过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交为，设直线的斜率分别为，

（1）求椭圆的离心率；

（2）求的值；

（3）求证：为定值.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【分析】（1）根据椭圆离心率的公式直接求解即可；

（2）设，则，然后根据两点间的斜率公式表示出，进一步化简整理即可求出结果；

（3）分别将直线与椭圆联立，依次表示出点的横坐标，然后根据线段的比与横坐标的关系转换为关于的关系，进一步化简即可求出结果.

【详解】（1）；

（2）设，则，，因此，且，所以；

（3）设直线，

联立，

则

联立，

则

而,

设直线，

联立，则

,

,

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．