2022-2023学年江苏省连云港市赣榆区赣马高级中学高二上学期10月第一次检测数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市赣榆区赣马高级中学高二上学期10月第一次检测数学试题

一、单选题

1．过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据平行直线方程的关系设直线方程，由条件确定待定系数即可.

【详解】因为所求直线与直线平行，故可设其方程为.，

又点在直线上，

所以，所以，

所求直线的方程为.

故选：A．

2．已知直线与平行，则的值是（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】C

【分析】当时求出两直线方程，检验是否平行；当时，根据两直线平行的性质求出k的值并检验，进而得出结果.

【详解】由两直线平行得，当时，两直线分别为和，显然两直线平行；

当时，由，解得；

而当时两直线重合.

综上所述，k的值为0.

故选：C

3．直线截圆所得的弦长（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】方法一：先求圆心坐标及圆的半径，再求圆心到直线的距离，结合直线与圆的相交弦长公式求弦长.

方法二：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点距离公式求弦长；

方法三：联立直线与圆的方程，利用设而不求法结合弦长公式求弦长.

【详解】（方法1：几何法）圆的半径r＝，圆心坐标为，

圆心到直线的距离，

所以.

（方法2：两点距离公式）由，消去得，

解得或，直线与圆的交点坐标为，，

则．

（方法3：韦达定理）由，消去得，

方程的判别式，设，

由韦达定理得，，，

所以．

故选：C．

4．两圆与的位置关系是（    ）

A．相交 B．内含 C．外切 D．内切

【答案】D

【分析】求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距与半径之差和半径和的关系，可得两个圆相交．

【详解】两圆方程可化为，圆心分别为，半径分别为，

因为，

所以两圆内切．

故选：D．

5．已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围．

【详解】直线过定点，且，

由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，

解得，

故选：B．

6．双曲线的焦距等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程已知，，结合可得结果.

【详解】在双曲线中，，，

∴，

即焦距为，

故选：C.

7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题可知曲线表示一个半圆，然后利用数形结合即得.

【详解】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆，

当直线与半圆相切时，，则，此时直线为，

当直线过点时，，此时直线为，

要使直线与曲线有两个交点，则b的取值范围是．

故选：C．

8．满足条件，的面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以AB所在的直线为轴，AB中垂线为轴建系，得到点C的轨迹求解.

【详解】解：以AB所在的直线为轴，AB中垂线为轴建立如图所示直角坐标系：

则，设，且，

由得：，

化简得，

所以点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（除去点），

所以，当时，等号成立，

所以面积的最大值是，

故选：D．

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．直线过定点

B．直线在y轴上的截距为

C．点（1，3）到直线的距离为1

D．直线x＝－2与 x－y＋1＝0的夹角为

【答案】BC

【分析】A. 令求解判断；B. 令求解判断；C.利用点到直线的距离公式求解判断；D.根据的倾斜角判断.

【详解】A. 令，得 ，此时 ，所以直线过定点，故错误；

B. 令，得，所以直线在y轴上的截距为，故正确；

C.点（1，3）到直线的距离为，故正确；

D.易知的倾斜角为，则直线x＝－2与的夹角为，故错误，

故选：BC

10．已知直线和圆：，则（    ）

A．直线与圆相交

B．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，

C．当时，圆上的点到直线的最远距离为

D．若直线与圆相交于两点，则的中点的轨迹是圆的一部分

【答案】ACD

【分析】对于A项,求出直线恒过定点，判断定点与圆的位置关系可得.对于B项，圆心到直线的距离为对于C项，因为圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加半径对于D项，设点，过圆心作直线的垂线，垂足为，无论取何值，都满足，并且为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆.

【详解】圆：化为标准方程为：

把直线变形为

对于A项，根据直线方程的点斜式可得直线恒过定点

又因为把点代入圆的左边可得

所以点在圆内部，所以直线与圆相交.故A正确.

对于B项，如图与直线距离为的点的轨迹是与直线平行且距离为的两条直线，

根据题意得

故圆心到直线的距离为，

所以

所以，故B不正确.

对于C项, 当时

又因为圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加半径

圆心到直线的距离为：

圆上的点到直线的最远距离为，故C正确.

对于D项，设点，过圆心作直线的垂线，垂足为

无论取何值，都满足，

并且为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，

设的中点为，则圆

且直线不过点，若过点，则为点，不符合要求。

根据垂径定理可得，点也是的中点，则的中点的轨迹是圆的一部分，故D正确.

故选：ACD

11．已知直线，圆，点在直线上运动，直线分别与圆切于点．则下列说法正确的是（    ）

A．最短时，弦直线方程为

B．最短时，弦长为

C．的面积最小值为

D．四边形的面积最小值为

【答案】BC

【分析】先证明四点共圆，再求最短时该圆的方程，由此求其与圆的公共弦方程和，由此判断A，B，再结合三角形面积公式判断C，D.

【详解】圆的圆心的坐标为，半径，

由已知，

由切线的几何性质可得，

所以四点共圆，为圆的直径，且，

当最小时，最小，

又到直线的距离，

故，当且仅当时等号成立，

所以当时，最小，此时的方程为，

联立可得，所以点的坐标为时，最小，

此时线段的中点坐标为，，

所以过点的圆的方程为，即，

由方程与方程相减可得，

所以最短时，弦直线方程为，A错误；

当最短时，弦直线方程为，

圆心到直线的距离，

所以，即弦长为，B正确；

的面积，又，

所以，所以的面积最小值为，C正确；

四边形的面积，所以四边形的面积最小值为，D错误；

故选：BC .

12．设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．以线段为直径的圆与直线相切

B．△面积的最大值为

C．

D．离心率

【答案】ACD

【分析】由题可得，然后结合条件逐项分析即得.

【详解】由椭圆可得，，

所以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为1，

所以线段为直径的圆到直线的距离为，故A正确；

由题可得△面积的最大值为，故B错误；

所以，故C正确；

椭圆的离心率为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知直线，则其倾斜角为_______．

【答案】##

【分析】由题可得直线的斜率为，然后根据斜率与倾斜角的关系即得.

【详解】因为直线，

所以直线的斜率为，

设倾斜角为，则，又，

所以.

故答案为：.

14．双曲线=1的焦距是_____.

【答案】8

【分析】根据双曲线中a、b、c的关系即可求得c，进而得到焦距．

【详解】根据双曲线中a、b、c的关系，可知 ，即

所以

则焦距为

【点睛】本题考查了双曲线方程的简单应用，双曲线中a、b、c的关系，属于基础题．

15．若直线l：x－2y＋8＝0上存在一点P到两点A（2，0），B（－2，－4）的距离之和最小，则点P的坐标为________．

【答案】

【分析】先求得点A关于l：x－2y＋8＝0的对称点A1，再联立直线A1B与直线x－2y＋8＝0求解.时

【详解】解：设点A关于l：x－2y＋8＝0的对称点为A1（m，n），

则，解得，故A1（－2，8）．

则直线A1B的方程为x＝－2．

如图所示：

当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，最小，

将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为．

故答案为：

16．如图，分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且，，则椭圆的标准方程是________．

【答案】

【分析】由已知设椭圆方程为，由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程.

【详解】由已知可得所求椭圆的焦点在上，中心为原点，故可设其方程为，

设椭圆的半焦距为，则，，，，

所以直线的方程为，直线的斜率为

将代入，解得，又点在第二象限，所以，

所以直线的斜率为

由题意得，即，解得，

所以椭圆方程为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知的三个顶点分别为，，，求：

(1)AB边中线所在的直线方程；

(2)的外接圆的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据中点坐标公式求出AB中点的坐标，利用直线方程的点斜式可得AB边中线所在的直线方程；

（2）设出外接圆的一般方程：，利用待定系数法确定、、，再把圆的一般方程化为圆的标准方程即可.

【详解】（1）设AB中点为，，，，直线CM斜率，由点斜式得AB边中线方程为：.

（2）设外接圆的一般方程为： ，把，，三点坐标代入圆的一般方程得：

，解得，

所求圆的一般方程为：，化为标准方程为：.

18．

(1)若实数m满足的方程表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围；

(2)若实数m满足的方程表示双曲线，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】利用对椭圆与双曲线的标准方程的理解得到关于的不等式组，解之即可.

【详解】（1）由题意得，解得，

故实数m的取值范围是．

（2）由题意得，即，解得或，

故实数m的取值范围是．

19．已知直线.

(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；

(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.

【答案】(1)；

(2)，直线的方程为.

【分析】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k的取值范围.

(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.

【详解】（1）方程可化为，

要使直线不经过第四象限，则，

解得，

所以k的取值范围为.

（2）由题意可得，

由取得，

取得，

所以，

当且仅当时，即时取等号，

此时，直线的方程为.

20．椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，焦距为2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若AB⊥x轴，求△ABF2的面积．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）由ABF2的周长为8得到a，再由焦距为2得到c求解；

（2）由椭圆方程与直线AB方程联立，求得AB的坐标求解.

【详解】（1）由题意知，4a＝8，所以a＝2，

由焦距为2，所以c＝1，所以，

所以椭圆C的方程为．

（2）设直线AB的方程为x＝－1，

由，x＝－1联立，得，      

解得y1＝，y2＝－，          

所以＝c·|y1－y2|＝3.

21．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确0.01m，参考数据 ）

【答案】

【分析】建立坐标系，确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．

【详解】以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，

建立平面直角坐标系，如图所示．

设桥拱圆的圆心，半径为，

则圆的方程为．

依题意得，解得，．

圆的方程为,

当时，,

，因为水位暴涨了，

所以船身要降低，才能顺利地通过桥洞．

22．已知椭圆的离心率为，上顶点为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程；

（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值．

【详解】（1）由离心率，则，

又上顶点，知，又，可知，，

∴椭圆E的方程为；

（2）设直线l：，设，，

则，整理得：，

，即，

∴，，

∴，

即，解得：或（舍去）

∴