2022-2023学年江苏省南京市宁海中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市宁海中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.

【详解】由的图象可知，在上为增函数，

且在上存在正数，使得在上为增函数，

在为减函数，

故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，

故排除A，B.

由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.

故选：D.

【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.

2．函数的单调递增区间（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导，令求解.

【详解】解：因为，

所以，

令，解得，

所以函数的单调递增区间是，

故选：C

3．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.

【详解】，

，

故选：B

4．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为

A．1 B．-1 C． D．

【答案】C

【详解】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到直线的距离为，则．

由条件得，整理得．

所以，解得．选C．

5．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，再参变分离得到，再求导分析的单调性，进而得到函数图象，数形结合即可得实数a的取值范围

【详解】函数有两个零点，即有两根，又，故可转换为有两根，令， 则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时等号成立，故在上，单调递减；在上，单调递增，所以，又当与时，故实数a的取值范围为

故选：D

【点睛】本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单调性与最值，属于难题

6．在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意画出图形，利用抛物线定义与三角形三边关系即可求解.

【详解】依题意，可得出如下图形：

抛物线的方程为，

抛物线的焦点为，，准线方程为，

设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结，

则长即为点到轴的距离，可得，

根据抛物线的定义，得，

，

根据平面几何知识，可得，得.

当且仅当､､三点共线时等号成立，

，

当､､三点共线时，的最小值为，

即到轴的距离与到点的距离之和的最小值为.

故选：D.

7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.

【详解】设，则，

故为上的增函数，

而可化为即，

故即，所以不等式的解集为，

故选：A.

8．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系：，数列的前项和为，则的值为（    ）

A．454 B．450 C．446 D．442

【答案】A

【分析】由已知可得，进而根据已知可推出当时，.进而得出，求出前5项，相加即可得出答案.

【详解】由题意可得：.

又①，

当时，②，

①-②可得：，

所以.

又时，，可得，显然满足，

所以.

所以.

故选：A.

二、多选题

9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

D．若，则是钝角

【答案】ABC

【分析】对于A，根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据且P，A，B，C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义是空间的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的范围分析判断．

【详解】对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，

则这三个向量一定共面，所以A正确；

对于B，若对空间中任意一点O，有因为，

根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；

对于C，由于是空间的一个基底，则向量不共面

∵，则共面

∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C正确；

对于D，若，即，又，所以，所以D不正确．

故选：ABC．

三、单选题

10．函数，下列对函数的性质描述正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．若，则函数f（x）有极值点

C．若，函数在区间单调递减

D．若函数有且只有3个零点，则a的取值范围是

【答案】AD

【分析】利用函数的对称性即可判断选项A是否正确；对函数求导，分别就和进行讨论，即可判断选项B、C是否正确；函数有三个不同的零点，根据函数的单调性，可知函数的极小值小于0，极大值大于0，列出不等式组，求出a的取值范围，由此即可判断选项D是否正确．

【详解】对于选项A，因为，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，故选项A正确；

对于选项B，由，当时，，函数在定义域内为增函数，此时函数没有极值点，故选项B错误；

对于选项C，当时，由，解得． 又∵时，，所以函数在区间单调递增，故选项C错误；

对于选项D，由，

当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；

当时，由，解得．

又∵时，，时，，时，，

∴函数单调递增区间为和，单调递减区间为，

∴函数的极小值和极大值．

∵函数有三个不同的零点，

∴，即 ， 解得，故选项D正确．

故选：AD.

【点睛】方法点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

四、多选题

11．在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足PA=PB，则以下结论正确的是（    ）

A．点P的轨迹方程为(x－3)2+y2=8 B．△PAB面积最大时，PA=2

C．∠PAB最大时，PA= D．P到直线AC距离最小值为

【答案】ACD

【分析】根据可求得点轨迹方程为，A正确；

根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为，由此可确定面积最大时，由此可确定B不正确；

当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；

求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.

【详解】解：对于A：设，由得：，即，

化简可得：，即点轨迹方程为，故A正确；

对于B：直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆的半径，即为，

，面积最大为，此时，

，故B不正确；

对于C：当最大时，则为圆的切线，

，故C正确；

对于D：直线的方程为，则圆心到直线的距离为，

点到直线距离最小值为，D正确.

故选：ACD.

12．“已知函数，对于上的任意，，若______，则必有恒成立.”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】确定函数的奇偶性和单调性后再判断．

【详解】，是偶函数，

在上，是增函数，是减函数，因此是增函数，

因此，四个选项中只有CD能得出．

故选：CD．

五、填空题

13．已知数列为等差数列，.若数列也为等差数列，则___________.

【答案】3

【分析】根据等差数列的通项公式与中项公式即可求解.

【详解】依题意，

由数列为等差数列，设其公差为，且，

得，，

又数列也为等差数列，

则，即，

解得：.

.

故答案为：3.

14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____

【答案】

【解析】利用辅助角公式进行化简解析式，再借助正弦函数的单调递增区间进行求解即可.

【详解】由题意知，，

所以，

解得，

令可得，，

所以为函数的一个单调递增区间，

因为函数在上单调递增，所以.

故答案为：

【点睛】本题考查利用辅助角公式进行化简、利用正弦函数的单调区间求参数的取值范围；考查运算求解能力和整体代换的思想；熟练掌握辅助角公式和正弦函数的单调区间是求解本题的关键；属于中档题.

六、双空题

15．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，n，则＝_______；若＝2，则＝_______．

【答案】     4     220

【分析】当时，利用， 即可得到 ，取即可.

利用已知递推公式，结合首项可以求得，进一步做差可以得出的奇数项和偶数项分别成等差数列，分组后利用等差数列求和公式即可.

【详解】根据①，得②，

①﹣②得，

又时，，可得

故；

当＝2，，可得 ，

即可求得

．

故答案为：4；220

【点睛】本题主要考查了与的关系，数列的递推关系式，以及等差数列的定义和通项，属于中档题.

七、填空题

16．已知函数为定义在R上的增函数，且对，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______

【答案】

【分析】由，可得，则不等式可转化为对恒成立，根据函数为定义在R上的增函数，可得，通过分离参数，利用导数研究函数的单调性极值即可求得结果

【详解】因为，

所以，

因为不等式对恒成立，

所以对恒成立，

因为函数为定义在R上的增函数，

所以，得在上恒成立，

令，，则，

当时，，当时，，

所以 在上递增，在上递减，

所以当时，取得最大值，，

所以，

所以实数a的取值范围是，

故答案为：

八、解答题

17．记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．

【答案】（1）；（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．

试题解析：（1）设的公比为.由题设可得 ，解得，.

故的通项公式为.

（2）由（1）可得.

由于，

故，，成等差数列.

点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．

18．已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点．

(1)求与所成角的大小；

(2)求与平面所成角的余弦值．

【答案】(1)60°；

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；

【详解】（1）以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，，，

所以，，设与EF所成角的大小为，

则，

因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°．

（2）设平面的法向量为，与平面所成角为，．

因为，，所以，，

所以，令，得为平面的一个法向量，又因为，

所以，

所以．

19．已知公差大于0的等差数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前21项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件列方程组解得，，即得；

（2）由题可得，然后分组求和法可得，结合条件进而即得.

【详解】（1）根据题意，当时，，即①，

当时，，所以②，

设等差数列的公差为，

由①②得，解得，

所以；

（2）因为，则，

所以，

所以,

所以，又，

故.

20．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；

（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.

【详解】（1），，，

，又，

在处的切线方程为.

（2），

令，解得：，.

①当时，若和时，；若时，；

的单调递增区间为，；单调递减区间为；

②当时，在上恒成立，

的单调递增区间为，无单调递减区间；

③当时，若和时，；若时，；

的单调递增区间为，；单调递减区间为；

综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.

【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.

21．已知函数，.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，恒成立，求的取值范围；

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)，

【分析】（1）直接对函数求导，利用导函数的正负即可求出单调区间.

（2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可.

【详解】（1）当时，，，，

由，解得；由，解得，

所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（2），故，

当时，因为，所以，因此恒成立，

即在，上单调递增，所以（1）恒成立，

当时，令，解得，

当，，单调递增；

当，，单调递减，

于是，与恒成立相矛盾，

综上，的取值范围为，.

22．已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，面积最大值为，离心率

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线与椭圆交于两点，问:是否存在实数，使得恒成立.如果存在.求出的值.如果不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在实数．

【分析】（1）根据离心率公式，三角形面积公式以及关系列方程组求解即可求出方程；

（2）讨论直线斜率是否存在，从而设直线方程代入椭圆方程，结合韦达定理得出两根关系，利用弦长公式代入条件化简求解即可求出结果．

【详解】(1）由题意可得

解得.

故椭圆的标准方程为；

如图，由可知.

当直线的斜率不存在时，

，则

当直线的斜率存在时，设其斜率为，

则直线的方程为，

联立

整理得，

则

从而

故

由题意可得，

则

因为，

所以

综上，存在实数，使得恒成立．

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．