2022-2023学年江苏省镇江市扬中高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省镇江市扬中高级中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】可化为，即可得出斜率.

【详解】可化为，则

故选：C

【点睛】本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题.

2．设复数的共轭复数，若，则对应的点位于复平面内的（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z，再得到共轭复数对应的点的坐标得答案．

【详解】依题意有，则，

∴对应的点为，位于复平面内的第四象限.

故选：D

3．若两条直线与平行，则与间的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过平行的条件求出 , 然后利用平行线直接的距离公式求解即可.

【详解】两条直线 与 : 平行, 可得 , 则 与 间的距离是: .

故选: C.

4．在数列中，已知且，则其前项和的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用分组求和和等差数列求和公式即可求解．

【详解】依题意得

．

故选：B．

5．已知圆与圆交于两点，则线段的中垂线方程为 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据圆的标准方程得圆心坐标，然后分析出线段的中垂线就是直线，再根据两点式求出方程，化为一般式可得结果.

【详解】依题意可得，，

因为，，所以直线是线段的垂直平分线，

所以直线的方程为：，即.

故选：A

6．双曲线的一条渐近线方程：，则其离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的渐近线方程得出与的关系，即可求解出离心率.

【详解】双曲线的一条渐近线方程：，

，

双曲线的离心率为：，

故选：A.

7．函数在处的导数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式，结合导函数值的定义即可求解.

【详解】设，则，

，

所以，

所以.

故函数在处的导数为.

故选：D.

8．已知数列满足，若对任意正实数，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据数列的递推关系化简可得，再利用等差数列的通项公式及存在性问题，结合恒成立问题及解不等式即可求解.

【详解】由得，

，即，于是有，所以，即，

所以是首项为，公差为的等差数列，

所以，

由，得，所以，

由于，则，所以，可得，

因为，所以，即，

因为总存在，使得成立，即，

所以，即.

又，所以实数的最小值为.

故选：B.

【点睛】解决此题的关键是根据数列的递推关系得出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，结合存在性问题的处理办法及恒成立问题的处理办法即可求解.

二、多选题

9．若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则曲线为椭圆

B．若曲线为双曲线，则或

C．若曲线为椭圆，则椭圆的焦距为

D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则

【答案】BD

【分析】根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.

【详解】对于A，当时，即或，此时曲线为椭圆，故A错；

对于B，若曲线为双曲线，则，即或， 故B对；

对于C，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则椭圆的焦距为，

若曲线为焦点在轴上的椭圆，则椭圆的焦距为，故C错；

对于D，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D对.

故选：BD.

10．若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，在现代物理、准晶体结构.化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据已知条件及数列的项的定义，结合数列的前和的定义即可求解.

【详解】对于A，由得，故A正确；

对于B， ，

所以,故B正确；

对于C，由，得，故C正确；

对于D，

,故D错误.

故选：ABC.

11．已知复数，（，，，均为实数），下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．的虚部为

C．若，则 D．

【答案】BD

【分析】根据复数和复数的模的概念，判断选项正误.

【详解】对于A，复数不等比较大小，A项错误；

对于B，复数，是实部，是虚部，B项正确；

对于C，，所以，而，，不能得到，所以C项错误；

对于D，，，

，所以，D项正确；

故选：BD.

12．已知为坐标原点，抛物线的方程为的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是 （    ）

A．的最大值为6

B．的焦点坐标为

C．若，则直线的方程为

D．若,则面积的最小值为

【答案】ACD

【分析】对于A：利用抛物线定义，三角形三边关系即可求解；

对于B：根据抛物线的焦点性质即可求解；

对于C：联立直线方程与抛物线方程，消元后利用韦达定理，利用给定的条件即可求解；

对于D：先求出直线所过的定点，利用面积公式即可求解.

【详解】对于A：如图：

设的中点为，分别过作准线的垂线，

垂足分别为，因为到轴的距离为2，所以，

由抛物线的定义知，,

所以，

因为，

所以，所以的最大值为6.

故选项A正确；

对于B：由题知，抛物线的标准方程为，

所以焦点坐标为.

故选项B错误；

对于C：由得直线过点，

直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立方程得，化简得，

则有.

由于，所以，

可得，解得，所以，

所以，直线的方程为.

故选项C正确；

对于D：设，，由，

得，又，

所以，

由题知，，所以，

又，

故直线的方程为，

又，所以，

则有直线恒过点，

所以，

所以面积的最小值为16.

故选项D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．函数在区间内的平均变化率为______．

【答案】

【分析】先求,再求趋于0时，的值.

【详解】∵，

∴，即平均变化率为.

【点睛】本题考查平均变化率定义及其求法,考查基本求解能力,属基础题.

14．若抛物线的准线与圆相切，则___________.

【答案】或0

【分析】先求得抛物线的准线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得.

【详解】抛物线的准线方程为，

圆的圆心为，半径，

由于圆与准线相切，

所以，

解得或0.

故答案为：或0

15．有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的S型；感染病毒尚未康复的I型；感染病毒后康复的R型（所有康复者都对病毒免疫）.根据统计数据，每隔一周，S型人群有仍为S型，成为I型；I型人群中有仍为I型，成为R型；R型人群仍为R型，若人口数为A的人群在病毒爆发前全部是S型，记病毒爆发周后的S型人数为，I型人数为，则_____________（用和表示，其中）

【答案】

【分析】根据题意得到，，然后分别利用等比数列的定义及通项公式求解.

【详解】解：由题意得：，则是以为公比，以为首项的等比数列，

所以，

又，即，

则，

，

所以是以为公比，以为首项的等比数列，

所以，

所以，

故答案为：

16．过双曲线（）的左焦点作直线与双曲线交两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是______________.

【答案】

【分析】求出直线垂直于x轴时线段AB长，再根据这样的直线有且仅有两条列出不等式，求出的范围作答.

【详解】令双曲线半焦距为c，则，由解得，即双曲线的通径长为，而双曲线实轴长为，

由于过左焦点作直线与双曲线交两点，使得的直线有且仅有两条，

则当直线与双曲线两支相交时，，解得，，

当直线与双曲线左支相交于两点时，，解得，，

所以离心率的取值范围是.

故答案为：

【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

四、解答题

17．在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.

已知等差数列的前项和为，且___________，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】（1）若选择①，根据等差数列的性质可知，联立方程，求和，再根据等差数列通项公式，列首项和公差的方程组，即可求得通项公式；若选择②，根据等差数列的通项公式和前项和公式，列式求首项和公式，即可求得通项公式；若选择③，利用数列与的关系，求数列的通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.

【详解】解：（1）若选择①，

由与

解得：或（由于，舍去）

设公差为，则，解得

所以数列的通项公式为

若选择②，

设公差为，由，得；

则，解得

所以数列的通项公式为

若选择③，

因为

解得

所以数列的通项公式为

（2）由题意得：

所以

18．已知圆，点.

(1)求过点的圆的切线方程；

(2)求的最小值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据已知条件及点与圆的位置关系的判断方法，利用直线的点斜式方程及直线与圆的相切的条件，结合点到直线的距离公式即可求解；

（2）根据圆的方程求出范围，利用代入法和不等式的性质即可求解.

【详解】（1）由，得，

所以圆的圆心坐标为，半径，

所以,

所以点在圆外，

当切线的斜率不存在时，切线方程为，圆心到切线的距离为，所以，符合题意，

当切线的斜率为，则切线的方程为，即，

由圆心到切线的距离等于圆的半径，得

，解得，

所以，

故过点的圆的切线方程为或.

（2）由（1），得，即，解得，

由，得，

所以，

因为，所以，

故的最小值为.

19．已知函数.

(1)求曲线在处切线方程；

(2)若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；

（2）设切点坐标，然后利用导数的几何意义得到斜率，进而得到直线的方程.

【详解】（1），所以，所以，，

所以切线方程为：，整理得.

（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，

则切线方程为：，

又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，

所以切线方程为：，整理得.

20．已知双曲线经过点，其渐近线方程为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点的直线与曲线分别交于点和（点和都异于点），若满足，求证：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由渐近线方程和双曲线过点，求出的值，求出双曲线方程；

（2）先考虑直线斜率存在时，设出其方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用得到或，排除不合要求的情况，求出所过定点，再考虑直线斜率不存在时，设，则，由求出或1，去掉不合要求的情况，证明出结论.

【详解】（1）由题意得：，渐近线方程为，

故，故双曲线标准方程为；

（2）当直线斜率存在时，

设直线，

联立双曲线方程得：，

则要满足，且，

解得：且，

设，则，，

，

其中，

即，

所以，

整理得：，解得：或，

当时，直线，此时过点，则两点有一点与重合，不合题意，舍去；

当时，此时直线，恒过点，满足要求，

当直线斜率不存在时，设，则，

且，

此时

，

解得：或1，

因为点和都异于点，故时不合要求，舍去，

故，此时直线经过点，

综上：直线过定点，定点坐标为.

【点睛】处理定点问题的思路：

（1）确定题目中的核心变量（此处设为），

（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，

（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，

①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；

②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.

21．已知数列满足.

(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

(2)若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解.

【答案】(1)证明见解析，

(2)8

【分析】（1）根据等差数列的定义，证明为常数，由等差数列通项公式得，从而求得；

（2）不等式即为，从而可确定的个数，即，

然后由错位相减法求得，结合是递增数列，通过估值法得出不等式的最大正数解．

【详解】（1）由取倒数得

，即，所以为公差为的等差数列，

.

（2）当时，，

所以这样有个,故，，

，

，

两式相减得：，

所以,又因为为递增数列.

又因为，，

，

所以最大正整数解为8.

22．如图，已知点分别是椭圆的左右焦点，是椭圆上不同的两点，且（），连接，且，交于点.

(1)当时，求点的横坐标；

(2)若的面积为，试比较与的大小，说明理由.

【答案】(1)

(2)，理由见解析

【分析】（1）设点、的坐标，利用和点、均在椭圆上建立方程，然后解出方程即可；

（2）先利用基本不等式得出（），再检验当时是否满足题意，进而求出点、、的坐标，最后求出即可

【详解】（1）易知，，设点，

可得：，

，可得：

又点在椭圆上，可得：，

解得：

故点的横坐标为

（2）由基本不等式，可得：（）

当且仅当时，取得等号

设点，，当时，可得：

可得：

又点在椭圆上，可得：，

解得：，或，

不妨设，，可得：

可得：

同理，当，时，也有：

故，可得：

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．