2022-2023学年江西省上饶市高二上学期期末教学质量测试数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省上饶市高二上学期期末教学质量测试数学试题

一、单选题

1．下列与直线平行的直线的方程是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.

【详解】直线斜率为，纵截距为，

A选项：直线斜率为，纵截距为，符合；

B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；

C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；

D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；

故选：A.

2．展开式中的系数为（    ）

A． B． C．20 D．10

【答案】D

【分析】直接由二项式定理求解即可.

【详解】由二项式定理直接可得展开式中的系数为

故选：D.

3．在平面直角坐标系中，圆与圆，则两圆的位置关系是（    ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】B

【分析】求出两圆的圆心和半径，通过计算两圆心的距离与半径和或差的大小来判断两圆的位置关系.

【详解】圆，圆心，半径，

圆，

即，圆心，半径，

所以两圆心距离，

故两圆的位置关系是外切

故选：B.

4．为进一步强化学校育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，上饶市某校开设了传统文化、思维拓展、趣味体育、建筑美育、劳动教育五门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则甲同学选修劳动教育的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据古典概型概率计算公式以及排列数、组合数的计算求得正确答案.

【详解】6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，

基本事件有种，

由于选修劳动教育的人数可能是人或人，

所以甲选修劳动教育包括的基本事件有，

所以甲同学选修劳动教育的概率为.

故选：B

5．已知双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据，求出即可得渐近线方程.

【详解】由已知可得，则，

所以双曲线的渐近线方程为，即.

故选：C.

6．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合长方体、锥体体积公式求得正确答案.

【详解】，A选项正确.

，B选项正确.

，C选项正确.

，D选项不正确.

故选：D

7．某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（    ）

A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84

【答案】A

【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.

【详解】此人是癌症患者的概率为.

故选：A

8．是抛物线上一点，点，是圆关于直线的对称曲线上的一点，则的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义、线对称的性质、圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.

【详解】由题意可知曲线是半径为1的圆，设圆心，圆的圆心坐标为，

则有，显然是抛物线的焦点，

该抛物线的准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，

当在线段上时，有最小值，最小值为，

所以当在线段上时，如下图所示：有最小值， 最小值为，

故选：C

【点睛】关键点睛：利用抛物线的性质通过转化思想进行求解是解题的关键.

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．

B．事件为必然事件，则事件、是互为对立事件

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，则恰有1人射中的概率为0.12

【答案】AC

【分析】根据组合数的性质可判断选项；根据互斥事件与对立事件的定义可判断选项；由正态分布的性质可判断选项；由相互独立事件和对立事件的概率计算可判断选项.

【详解】对于，由组合数的性质可得：，故选项正确；

对于，事件为必然事件，若互斥，则事件是对立事件；若不互斥，则事件不是互为对立事件，故选项错误；

对于，设随机变量服从正态分布，若，则正态分布曲线关于直线对称，则，故选项正确；

对于，甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，恰有1人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，由相互独立事件和对立事件的概率计算可得：恰有1人射中的概率为，故选项错误，

故选：.

10．在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（    ）

A．

B．该正方体的内切球的表面积为

C．

D．平面截正方体所得的截面是五边形

【答案】ABD

【分析】根据线线垂直（线面垂直）、线线平行、内切球、正方体的截面等知识求得正确答案.

【详解】A选项，设是的中点，连接，

由于，所以，

所以，即，

根据正方体的性质可知，

由于平面，所以平面，

由于平面，所以，A选项正确.

B选项，正方体内切球的半径为，表面积为，B选项正确.

C选项，根据正方体的性质可知，，

所以与不平行，C选项错误.

D选项，延长，交的延长线于，连接，交于，连接，

延长，交的延长线于，连接，交于，连接，

由此得到的五边形，即时平面截正方体所得图象，所以D选项正确.

故选：ABD

11．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的可能取值为0，1，2，3 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.

【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；

分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，

其分布列为，

则，故B错误；

，故C正确；

，故D正确；

故选：ACD.

12．若，，点满足，记点的轨迹为曲线，直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的是（    ）

A．的最小值为

B．直线恒过定点

C．的最小值为0

D．当最小时，直线的方程为

【答案】ABC

【分析】由题知，点的轨迹曲线为，对于A，即可判断；对于B，设，根据条件得到直线，由，得，即可判断；对于C，根据条件得到，为全等的等腰直角三角形，得，即可判断；对于D，求出四边形的面积，得到A和B的坐标,即可判断.

【详解】设，因为，，点满足，

所以，

即，化简得，

所以点的轨迹曲线为，圆心为，半径.

对于A，因为直线，为上的动点，

过点作曲线的两条切线，，切点为，，

设圆心到直线l的距离为d,

所以，故A正确；

对于B，设，则，

所以，

以为圆心，为半径的圆的方程为

，①

因为为，②

由①，②相减,得直线，即，

由，得，所以直线恒过定点，故B正确；

对于C，因为，，

根据几何性质可知，，

在中，，

因为，所以，

所以此时，为全等的等腰直角三角形，

所以，，即有，

所以，所以的最小值为0，故C正确；

对于D，因为四边形的面积为

，

此时四边形为正方形，，

所以直线的方程为，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知向量，向量，若，则实数为______.

【答案】

【分析】直接由数量积为零列方程求解.

【详解】,

，解得.

故答案为：.

14．共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.

【答案】

【分析】利用捆绑法并且内部不排序，直接全排列解答即可.

【详解】必须相邻且在的右边,可将捆绑在一起并且不用排序，

则6人的排列方法种数共有种.

故答案为：.

15．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为______.

【答案】##

【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案.

【详解】如图所示正四棱锥，，则平面.

设正四棱锥外接球的半径为，则，

设正四棱锥底面边长为，高为，则①，

由整理得②，

由①②解得，

由于平面，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，

.

故答案为：

16．已知直线与椭圆在第二象限交于两点,且与轴、轴分别交于两点,若,,则的方程为______.

【答案】

【分析】设出点坐标,根据直线与椭圆交于第二象限,可得坐标的正负,过点向轴作垂线,垂足为,过点向轴作垂线,垂足为,由可得,将坐标代入可得,用点差法将上式及斜率公式代入即可得,又有,可得,两式联立即可得两点坐标,进而求出直线方程即可.

【详解】解:由题知,

设,,,

所以直线的斜率为,

过点向轴作垂线,垂足为,

过点向轴作垂线,垂足为,如图所示:

因为,轴,轴,

所以,

所以有,

即,解得:,

因为在上,

所以,两式相减可得:

,

即,

两边同时除以,将代入可得:

,即①,

因为,所以②,

①②联立可得: ,

因为,所以,

即,

根据截距式直线方程可得:

,化简可得:.

故答案为：.

【点睛】思路点睛:该题考查直线与椭圆的综合问题,属于难题,关于解析几何中有关中点和直线斜率的题的一般思路为:

(1)设出点的坐标;

(2)根据中点坐标和斜率公式建立等式;

(3)将点分别代入圆锥曲线中,两式相减;

(4)将中点坐标及斜率代入,化简即可得到等式.

四、解答题

17．求下列问题的排列数:

(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;

(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.

【答案】(1)480

(2)504

【分析】(1)先将另4人进行全排列,再将甲乙插空排列即可;

(2)甲不排排头,先让乙排排头,则甲和另4人无限制,全排有种,当乙不排排头,乙不排排尾,先给乙找位置,再给甲找位置,另4人全排,根据分步和分类的加法乘法原则,计算结果即可.

【详解】（1）解:由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人,

将4人全排共种,

4人排好后留下5个位置,将这5个位置分给甲乙,有种,

所以男生甲和女生乙不能相邻共种

（2）由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾,

当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为种,

当乙不排排头,因为乙不能排排尾,

所以乙只能排中间4个位置中,共种,

因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外,

还有4个位置,选一个位置给甲,有种,

此时还有另4人,没有限制,全排列有种,

故当乙不排派头时有种,

所以男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾共计:

种.

18．已知圆过点，，.

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设出圆的一般方程，代入已知点列方程组求解即可；

（2）设出直线方程，利用垂径定理列方程求解即可.

【详解】（1）设圆的方程为，

则，解得，

所以圆的方程为，

即；

（2）当过点的直线斜率不存在时，此时，弦长为，不符合题意；

当过点的直线斜率存在时，

设直线l的方程为，即，

所以，解得或，

所以直线的方程为或，

即或.

19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面.

(1)证明：平面；

(2)若，求二面角的平面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明来证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的平面角的余弦值.

【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以，

又因为底面是正方形，所以，

且，平面，平面.

所以BD⊥平面PAC ．

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得：，，，，

所以，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则，得，取，

，得，取，

所以，

由图可知二面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.

20．已知为原点，线段的端点在圆上运动.

(1)求线段长度的取值范围；

(2)点在线段上，且，求动点的轨迹方程.

【答案】(1)|OA|

(2)

【分析】（1）根据点和圆的位置关系求得正确答案.

（2）设出的坐标，然后利用代入法求得的轨迹方程.

【详解】（1）圆的圆心为，半径，

则，

由于，

所以||；

（2）设,,由点在线段上，且，可得，

则有可得，

因为点在圆上，代入得，

整理可得点的轨迹方程为.

21．伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善．据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一．小王每天17∶00—18∶00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球两种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表所示：

(1)已知小王第一天打篮球，则他第三天做哪项运动的可能性较大？

(2)已知小王参加这两种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：

问：要让小王前三天参加体育运动能量消耗总数的期望较大，小王第一天该参加哪项体育运动？（请用数据说明）

【答案】(1)打篮球

(2)打篮球

【分析】（1）根据小王第一天打篮球，先求出第二天分别参加运动项目的概率，再由此分别计算第三天分别参加运动项目的概率，再通过比较大小，即可求解；

（2）分两种情况讨论，小王第一天打篮球或打羽毛球，确定前三天的运动项目安排方法，写出运动能量消耗总数的所有可能取值，分别求出对应的概率，再结合期望公式，通过比较大小，即可求解．

【详解】（1）设分别表示打篮球，打羽毛球运动项目，分别表示第天进行运动项目的概率，

小王第一天打篮球，

小王第二天所做运动项目的概率分别为：，

小王第三天所做运动项目的概率分别为：，

，

，故小王第三天打篮球的可能性较大．

（2）若小王第一天打篮球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1500，1400，1300，

，

，

，

故(卡)；

若小王第一天打羽毛球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1400，1300，1200，

，

，

，

故(卡)，

，故小王第一天应该参加打篮球体育运动．

22．已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)点，在椭圆上，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.

【答案】(1)

(2)证明详见解析，定点坐标

【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得椭圆的方程.

（2）根据直线的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及求得定点坐标.

【详解】（1）由题意可得：，解得：

故椭圆方程为：.

（2）设点，

若直线斜率存在时，设直线的方程为：，

代入椭圆方程消去并整理得：，

可得，，

因为，所以，即，

根据,

有

整理可得：

，       

所以，

整理化简得，

则有，

得或，

若，则直线MN的方程为：，恒过，

若，则直线MN的方程为：，过A点，舍去.

所以直线MN过定点P，

当直线MN的斜率不存在时，可得，

由得：，

得，结合，

解得： 或（舍去），此时直线MN方程为,过点P.

综上，直线MN过定点P.