2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．下列四个命题为真命题的是

A．“若，则互为相反数”的逆命题；

B．“全等三角形的面积相等” 的否命题；

C．“若，则无实根”的逆否命题；

D．“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；

【答案】A

【分析】根据四种命题的定义依次得到四个选项中的命题，并判断真假，从而得到结果.

【详解】选项的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题；

选项的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，不全等三角形的面积也可以相等，为假命题；

选项的逆否命题为“若有实根，则”，当有实根，则，解得，可知为假命题；

选项的逆命题为“若三角形的三个内角相等，则该三角形是不等边三角形”，显然为假命题.

本题正确选项：

【点睛】本题考查四种命题的求解和辨析，关键是能够准确的根据原命题求解出其他三个命题，属于基础题.

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】考虑两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.

【详解】若，则；

若，则无意义，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

3．焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则m的值等于（    ）

A．8 B．5 C．5或3 D．5或8

【答案】A

【分析】根据椭圆焦距的计算列式得出答案.

【详解】焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，

则，解得，

故选：A.

4．执行如图所示的程序框图，若输入的为-4，则输出的值为（    ）

A．0.5 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】进入循环体，依照循环条件，依次执行命令，直到满足条件时退出循环，代的值计算即可.

【详解】，进入循环体，依次执行命令有，，，退出循环，得

故选：C

5．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则PF的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】根据已知条件，建立方程，求出参数，再利用两点间的距离公式或焦半径公式求解.

【详解】方法一：由题意可知，解得，即，

又焦点，所以．

方法二：由题意可知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，

则，解得，即，则由抛物线的定义可得，．故A，B，C错误.

故选：D.

6．十二律为我国古代汉族的乐律学名词，是古代的定音方法，分为“黄钟、太簇、姑冼、蕤宾、夷则、无射”六种阳律以及“大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟”六种阴律．现从“太簇、蕤宾、夷则、大吕、中吕、应钟”六种音律中任选两种，则至少有一种来自阴律的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】六种音律中有3个阴律，3个阳律，直接借助组合数计算即可.

【详解】“太簇、蕤宾、夷则、大吕、中吕、应钟”中有3个阴律，3个阳律，

故至少有一种来自阴律的概率为，

故选：D.

7．已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案．

【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，

又由圆，可得圆心为，半径，

则圆心到直线的距离为，则，可得，

故选C．

【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

8．已知，则（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值.

【详解】因为，所以，

则当时，当时，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

当时函数有极大值，无极小值.

故选：C

9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（    ）

A．抛一枚硬币，出现正面朝上

B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上

C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

【答案】D

【分析】由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，依次分析各选项对应的概率，看是否符合即可

【详解】由折线图可知，频率在0.3到0.4之间

选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错；

选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为，不符合，故B错；

选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为，不符合，故C错；

选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D对

故选：D

10．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则

A．1020 B．1010 C．510 D．505

【答案】D

【详解】阶幻方共有个数，其和为阶幻方共有行，每行的和为，即，故选D.

11．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．

二、多选题

12．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中错误的是（    ）

A．曲线过坐标原点

B．曲线关于坐标原点对称

C．曲线关于坐标轴对称

D．若点在曲线上，则的面积不大于

【答案】BCD

【分析】动点坐标为，根据题意可得曲线的方程为，对各个选项逐一验证，即可得出结论．

【详解】解：由题意设动点坐标为，则，

即，

即曲线的方程为，

若曲线过坐标原点，将点代入曲线的方程中可得与已知矛盾，

故曲线不过坐标原点，故A错误；

把方程中的被代换，被代换，方程不变，

故曲线关于坐标原点对称，故B正确；

因为把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称，

把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称，

故曲线关于坐标轴对称，故C正确；

若点在曲线上，则，

，当且仅当时等号成立，

故的面积不大于，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知函数，曲线在点处的切线方程为_______．

【答案】

【分析】求出函数在处的导数值，即切线斜率，再求出，即可由点斜式求出切线方程.

【详解】，，

，即切线斜率为，

又，

切线方程为，即.

故答案为：.

14．若200辆汽车通过某段公路时的速度频率直方图如图所示，则速度在区间内的汽车大约有______辆．

【答案】

【分析】由频率分布直方图求出频率，即可估计数量.

【详解】解：由频率分布直方图可知所对应的频率为，

所以速度在区间内的汽车大约有（辆）.

故答案为：

15．命题“,使”是假命题,则实数m的取值范围为______．

【答案】

【分析】原命题为假命题,即命题的否定为真命题,即,使,只需,解出即可.

【详解】解:由题知原命题为假命题,所以命题的否定为真命题,

即,使,

所以有,

解得:.

故答案为:

16．在矩形中，，，现向该矩形内随机投一点，则的概率为_________.

【答案】

【分析】由已知求出矩形的面积，以及使成立的点的对应区域面积，利用几何概型求值.

【详解】解：由题意，，

矩形的面积为，如图，

使成立的区域为以为直径的半圆，面积为，

由几何概型公式得到向该矩形内随机投一点，则的概率为：.

故答案为：.

【点睛】本题考查几何概型中的面积型及圆的面积公式，属于中档题.

四、解答题

17．2021年广东新高考将实行“”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共选六科参加高考.其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对后四科选择没有限定.

（1）小明随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；

（2）小明、小吴同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，求他们选课相同的概率.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用列举法,列举出偏理方向和偏文方向的所有情况,即可求得小明选择偏理方向且选择了生物学科的概率.

（2）利用列举法,列举出两个人选择偏理方向且带有生物学科的所有可能,即可求得两人选课相同的概率.

【详解】（1）由题意知,选六科参加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六种选择；

偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六种选择.

由以上可知共有12种选课模式.

小明选择偏理方向又选择生物的概率为.

（2）小明选择偏理且有生物学科的可能有：（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,生）三种选择,

同样小吴也是三种选择；两人选课模式有：[（物,政,生）,（物,政,生）]、[（物,政,生）,（物,地,生]、[（物,政,生）,（物,化,生）]、[（物,地,生）,（物,政,生）]、[（物,地,生）,（物,地,生）[（物,地,生）,（物,化,生）]、[（物,化,生）,（物,政,生）]、[（物,化, 生）,（物,地,生）[（物,化,生）,（物,化,生）]

由以上可知共有9种选课法,两人选课相同有三种,

所以两人选课相同的概率.

【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,利用列举法写出所有可能即可求解,属于基础题.

18．命题p：曲线表示一个圆；命题q：指数函数在定义域内为单调递增函数.

（1）若为假命题，求实数m的取值范围；

（2）若为真，为假，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）所给方程化为圆的标准方程，根据p为真命题知，解不等式即可；（2）由指数函数的单调性求出当p为真命题时m的取值范围，根据题意知p，q中有且仅有一个为真命题，分类讨论求参数m的范围.

【详解】（1）方程即为，

由为假命题，知p为真命题，则，

解得或，

则m的取值范围是.

（2）由（1）可知，p为真命题时m范围为：或，

当q为真命题时，解得，

由为真，为假，则p，q中有且仅有一个为真命题.

当p为真，q为假时m的范围为：，

当p为假，q为真时m的范围为：，

综上所述，m的取值范围是.

19．给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.

（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；

（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.

【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有，证明见解析

【解析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；

（2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果.

【详解】解：（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合.

又因为抛物线的准线方程为：，

所以条件④不适合题意，

当选择条件③时，，

此时适合题意，

故选择条件①③时，可得抛物线的方程是；

（2）假设总有，

由题意得直线的斜率不为，

设直线的方程为，

由得

设，

所以恒成立，，，

则，

所以，

所以，

综上所述，无论如何变化，总有.

【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

20．已知函数

(1)若在点处切线的倾斜角为，求的值；

(2)若，求的单调区间.

【答案】(1)

(2)单调增区间为：， ；单调减区间为:

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；

（2）求出函数导数，解相应不等式，可得函数的单调区间.

【详解】（1）由，可得，

故由在点处切线的倾斜角为得，

即；

（2）时，，，

令，则 或 ，

令，则 ，

故的单调增区间为：， ；单调减区间为: .

21．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．

【答案】（1）；(2)．

【详解】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.

（II）设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意可得.

易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.

详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．

所以，椭圆的方程为．

（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，

点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，

从而，即．

易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．

当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．

所以，的值为．

点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．已知，函数．

(1)求函数的极值：

(2)若函数无零点，求的取值范围．

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求导后，根据的正负可得的单调性，由极值定义可求得结果；

（2）根据单调性可知，则只需，解不等式即可.

【详解】（1）由题意得：定义域为，；

令，解得：，

则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

的极小值为，无极大值.

（2）由（1）知：的极小值即为的最小值，即；

若无零点，则，即，，解得：，

则的取值范围为.