2022-2023学年内蒙古自治区通辽市开鲁县第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年内蒙古自治区通辽市开鲁县第一中学高二上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，求出集合的具体范围，然后利用交集的定义即可求解.
【详解】因为集合，又集合，
由交集的定义可得：，
故选：.
2．若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数除法运算可求得，根据共轭复数定义可得结果.
【详解】，.
故选：C.
3．下列命题正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，使得”
B．若，则
C．若函数在上具有单调性，则
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】D
【分析】A. 利用含有一个量词的命题的否定的定义判断； B.根据指数函数、对数函数和幂函数的值域判断； C.利用二次函数的单调性判断； D.利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】A. 命题“，使得”是存在量词命题，则其否定是全称量词命题即：“，都有”，故错误；
B.若，则，所以，故错误；
C.若函数在上具有单调性，则或，解得或，故错误；
D. 不等式解得或，所以 “”是“”的充分不必要条件，故正确
故选：D
4．以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．的最小值为2
C．的最小值为2
D．若正实数a，b满足a+b=1，则的最小值为4
【答案】B
【分析】利用基本不等式可判断BD的正误，根据反例及取等条件可判断AC的正误.
【详解】对于A，取，则，故的最小值不是2，故A错误；
对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确.
对于C，，因无实数解，故等号不可取，
故的最小值不是2，故C错误.
对于D，，
若的最小值为4，则存在正数，使得，
即，解得，
而，故即，当且仅当时等号成立，
故不成立即的最小值不为4.
故选：B.
5．已知的内角所对的边分别为，则的面积为（ ）
A．B．C．27D．36
【答案】C
【分析】根据余弦定理求出，再根据求出，再根据面积公式求解.
【详解】由余弦定理得：
即即，即
所以，又因为，所以
所以的面积为
故选：C
6．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．40B．70C．90D．100
【答案】D
【分析】利用等差数列的前项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
因为，，所以，解得：，
所以，
故选：.
7．设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义求出，然后在中利用余弦定理即可求解.
【详解】由椭圆的定义可知：，因为，
所以，在中，由余弦定理可得：
，
化简整理可得：，所以，
故选：.
8．三角形的三边所对的角为，，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时，D．若，，则面积为
【答案】C
【分析】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出；对于B，由面积为，求出，由余弦定理得到，再根据基本不等式可求出周长的最小值；对于C，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出，再根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】对于A，由，得，
得，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，故A说法正确；
对于B，因为面积为，所以，所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故的周长的最小值为.故B说法正确；
对于C，当，时，由余弦定理得，
所以，得，
解得或（舍），故C说法不正确；
对于D，若，，由正弦定理得，
得，
所以面积为，
因为，
所以面积为.故D说法正确.
故选：C
9．已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．4
【答案】B
【分析】利用时，整理原式得到，即数列为等差数列，然后根据等差数列的通项公式和前项和公式得到，然后利用换元法和对勾函数的单调性求最小值即可.
【详解】因为，所以当时，，两式相减得，整理得，
因为数列为正项数列，所以，则，数列为等差数列，公差为2，
当时，，解得或-1（舍去），
所以，，则，
令，则，函数在上单调递增，
所以当，即时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
10．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知到准线的距离等于点到焦点的距离，进而问题转化为求点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点的距离减去圆的半径.
【详解】抛物线的焦点为，
圆的圆心为，半径，
根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，
进而推断当三点共线时，
到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值为，故选C.
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于中档题. 与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
11．已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．8B．C．D．与有关
【答案】C
【分析】根据椭圆：可求得a，由椭圆的定义可得，，并且，进而即可求得的周长．
【详解】由椭圆：，则，即，
又椭圆的定义可得，，且，
所以的周长为．
故选：C．
12．设双曲线的右顶点为，左、右焦点分别为，，是在第一象限的一点，满足，，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，可得∽，则.根据条件得出线段长度，即可得到，从而求出答案.
【详解】
如图，由已知得，，，
所以，.
和均为等腰三角形，
且，所以，
所以∽，
所以有，即，所以，.
故选：C.
二、填空题
13．设，满足约束条件，则的最小值是__________.
【答案】1
【分析】先根据条件画出可行域，要使的最小值，即直线在轴上的截距最小，通过图象可知，直线经过可行域上的点时，截距最小.求出点坐标，即可得到.
【详解】，满足约束条件的可行域如图阴影部分所示：
把变形为，得到斜率为，在轴上截距为的一族平行直线.
由图可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最小.
解方程可得点的坐标为..
故答案为：1.
14．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.
【答案】
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，
利用点到直线的距离公式可得：，
故答案为：.
15．一道单选题，现有甲、乙、丙、丁四位学生分别选择了A，B，C，D选项．他们的自述如下，甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”；丙：“我没选对”；丁：“乙选对了”．其中有且仅有一位同学说了真话，则选对正确答案的同学是______．
【答案】丙
【分析】根据甲、乙两人有且只有一人说的是真话，以及四位同学中有且仅有一位同学说了真话，推出丙说的是假话，即答案为，这样可得出结果.
【详解】因为是单选题，即四个选项中有且只有一个正确，
根据甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”，可知甲和乙有且只有一人说的是真话，
又四位同学中有且仅有一位同学说了真话，所以丙说的是假话，即答案为，
所以丙同学选对了，此时也满足丁说的是假话.
故答案为：丙.
16．数列满足，其前项和为若恒成立，则的最小值为________________________．
【答案】
【分析】由裂项公式得，结合叠加法求得，可进一步判断的取值范围.
【详解】，
则，因为恒成立，所以，即的最小值为
故答案为：
三、解答题
17．设函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)已知，，的最小值为2，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，即可解得；（2）先利用绝对值三角不等式得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可证明.
【详解】（1）当时，不等式即为.
去掉绝对值号可得：
或或，
解得：或或，
即为
所以不等式的解集为.
（2）（
当且仅当时取“＝”）.
所以
∵，，∴.∴，
∴，
（当且仅当，即，时取“＝”）.
18．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过化简得，则，结合 解得；
（2）根据余弦定理得，则，则转化为求的范围，根据正弦定理得，求出，则，则，则得到答案.
【详解】（1）因为，即，
所以，
即，
所以，
因为，，
所以，同理得，
所以或（不成立），
所以，结合得．
（2）由余弦定理得，，
所以，则，
由正弦定理得，，
因为，，，，
所以，，
所以，．
19．已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
20．如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量方法即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）首先求得两平面的法向量，用向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值.
【详解】（1）连接，如下图所示，
由于是直三棱柱，易知，
又因为，且，
所以平面
M、N分别是的中点，所以，因此平面；
又平面，所以；
易知，所以，
满足，由勾股定理可知，，
又因为，所以平面，
又平面，
所以，.
（2）由（1）可知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易得，
；
设平面的一个法向量为，
则，令得，，即；
设直线与平面所成的角为，
所以；
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）知，平面的一个法向量为，
易知，平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角（锐角）为，
所以，；
所以，平面与平面所成角的余弦值为.
21．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．
(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；
（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；
（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
【答案】(1)小吃类16家，玩具类4家；
(2)（i）中位数为342.9，平均数为352.5；
（2）128.
【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可；
（2）（i）根据中位数和平均数的定义计算即可；
（ii）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.
【详解】（1），，
所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.
（2）（i）根据题意可得，解得，
设中位数为，因为，，所以，解得，
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.
（ii）,
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求证：轴上存在定点，使得直线与直线的斜率之和为零.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）对直线的斜率是否存在，进行分类讨论：当直线的斜率存在时，设直线：.设轴上存在定点，利用“设而不求法”表示出，求出；再由对称性判断出直线的斜率不存在时符合题意.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，所以椭圆的方程为.
（2）设.
当直线的斜率存在时，设为，则直线：.
联立，消去可得：.
所以.
设轴上存在定点，则，.
因为，所以，
所以，即，
整理得：，
所以，
所以，解得：.
即.
当直线的斜率不存在时，由对称性可知：，关于轴对称，由，可知直线与直线关于轴对称，所以直线与直线的斜率之和为零.符合题意.
综上所述：轴上存在定点，使得直线与直线的斜率之和为零.