2022-2023学年山东青岛四区县高二上学期期末考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东青岛四区县高二上学期期末考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东青岛四区县高二上学期期末考数学试题 一、单选题1．已知点，在直线上，则直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知可求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可解出答案.【详解】显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，倾斜角为.由已知可得，直线的斜率，又，所以，则.故选：B.2．现有随机选出20个数据，统计如下，则（    ）A．该组数据的众数为1.02 B．该组数据的极差为1.12C．该组数据的中位数为0.87 D．该组数据的80%分位数为1.02【答案】D【分析】观察数据特征可知众数为 ，极差是1.13，中位数是0.845，80%分位数为1.02即可选出正确选项.【详解】由题可知出现了三次，而只出现了两次，根据众数定义可知该组数据的众数为 ，故A错误；根据极差定义可知，该组数据的极差为，所以B错误；由中位数定义可知，该组数据的中位数为，即C错误；由于，所以该组数据的80%分位数是第16个和第17个数的平均数，即，所以D正确；故选：D3．若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支【答案】D【分析】设，.由已知可得，根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】设，，则.则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支.故选：D.4．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（    ）A．估计该地农户家庭年收入的平均值超过7.5万元B．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入不低于8.5万元C．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为4%D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至7.5万元之间【答案】A【分析】根据频率分布直方图,即可结合选项逐一计算平均值以及所占的比重.【详解】对于A，估计该地农户家庭年收入的平均值为,故A正确，对于B，家庭年收入不低于8.5万元所占的比例为，故B错误，对于C，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为，故C错误，家庭年收入介于4.5万元至7.5万元之间的频率为，故D错误．故选：A5．圆与圆的公切线条数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆相交，即可得出答案.【详解】由圆方程，可得圆心，半径；由圆方程，可得圆心，半径.所以，，且，所以两圆相交，公切线条数为2.故选：C.6．已知动点在椭圆上，点到定点的距离记为，到定直线的距离记为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的标准方程和两点间的距离公式即可求解.【详解】设点，则，，所以.故选：C.7．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】由题可知，，所以.故选：A.8．已知为坐标原点，过椭圆内部一点分别做轴和轴的平行线，并分别交椭圆于，两点和，两点，已知，，，.则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知，结合椭圆的对称性可得出，，.将坐标代入椭圆方程即可得出、、，即可得出结果.【详解】不妨设点在第一象限，，则，.如图，根据椭圆的对称性可知，，.即，，所以，，所以，所以，.因为在椭圆上，所以有，解得，所以，所以.故选：B. 二、多选题9．由一组样本数据，，…，得到新样本数据，，…，，其中，，为常数，记两组样本数据的样本平均数分别为，，标准差分别为，，则（    ）A．两组样本数据的样本极差相同 B．C．两组样本数据的样本众数不相同 D．【答案】BC【分析】根据前后数据变化对比即可求解.【详解】两组样本数据的样本极差不一定相同，只当时极差相同，故A错误；，所以，故B正确；显然不同时成立，否则两个样本为同一样本，因此两组样本数据的样本众数不相同，故C正确；，故D错误.故选：BC10．已知双曲线，点，在上，的中点为，则（    ）A．的渐近线方程为 B．的右焦点为C．与圆没有交点 D．直线的方程为【答案】CD【分析】对于AB，利用双曲线的性质即可求解；对于C，联立双曲线与圆的方程即可；对于D，利用点差法出直线的方程，再检验即可求解.【详解】对于AB，由双曲线可得，所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确；对于C，联立消可得，代入，解得无实数根，所以与圆没有交点，故正确；对于D，设，则，，两式相减，得，因为的中点为，所以等式可得，易得直线的斜率存在，故可得，则直线为即，联立双曲线的方程和直线，消去x，可得，此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，故直线l的方程为，故正确.故选：CD11．有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机取一把试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，记第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙又混进去，记第二次才能打开门的概率为，则（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据样本空间和满足条件的事件个数即可求解.【详解】根据题意，，.故选：AD12．已知圆与轴交于点，，动点在圆上，则（    ）A．点到点的距离的最小值为4B．圆和圆关于直线对称C．动点到点的距离是它到点距离的倍，则的轨迹是圆D．若点，，则【答案】BCD【分析】根据点到圆心的距离可求解A,根据点关于线的对称可求解B,根据直接法求解轨迹方程可判断C,根据圆的三角换元可求解D.【详解】连接,所以,因此点到点的距离的最小值为，故A错误，由于,设点关于直线对称的点为，所以且，解得，故圆关于直线对称的圆的方程为，故B正确,设，,由得，故的轨迹是圆，故C正确，设，所以，故，故D正确，故选：BCD 三、填空题13．某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为50的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为___________.【答案】26【分析】求出高二女生人数，根据分层抽样可得，解方程即可得出答案.【详解】设女生应抽取的人数为.由已知可得，高二年级女生人数为，所以，根据分层抽样可得，解得.故答案为：26.14．直线过点且其一个方向向量为，直线的参数方程为（为参变数），若，则直线与之间的距离为___________.【答案】【分析】根据方向向量求出直线的方程，消去参数得到的普通方程，根据两直线平行得到，从而求出的普通方程为，利用两平行线距离公式求出答案.【详解】由题意得：直线为，消去参数得到的普通方程为，则，故的普通方程为，则直线与之间的距离为.故答案为：.15．已知，是双曲线的两个顶点，的离心率为，为上一点，记直线，的斜率分别为，，则___________.【答案】2【分析】根据斜率公式以及点在双曲线上即可代入化简求值.【详解】不妨设双曲线方程为，由题意可知，设，则，故答案为：2 四、双空题16．数列的前项和为，，，则（1）___________；（2）___________.【答案】          【分析】根据代入化简得，进而根据是等差数列即可求解通项，由裂项求和即可求解.【详解】由得，进而，所以为等差数列，且公差为1，又首项为，所以，，故答案为：， 五、解答题17．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长.(1)求的方程；(2)若直线过的右焦点与交于，两点，，求直线的方程.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出a，b即可求解.（2）根据直线和双曲线的联立以及即可求解.【详解】（1）根据题意，，，所以，所以.（2）双曲线C的半焦距，显然直线l不垂直于y轴，设直线方程为，联立直线方程和椭圆方程：，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得.所以直线的方程为：.即或.18．在“①，；②，”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.已知正项等比数列的前项和为，满足___________.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）若选①由，作商整理可得，可解出.进而求出，即可得出表达式；若选②由，作商整理可得，可解出.进而求出，即可得出表达式；（2）由（1）知，由，，两式作差整理即可得出.【详解】（1）解：若选①，：设公比为，显然.因为，，因为，两式作商可得，整理可得，解得或（舍去），将代入可得，所以；若选②，：设公比为，显然.由已知可得，，因为，两式作商可得，整理可得，解得或（舍去），将代入可得，，所以.（2）解：由（1）知，，则.所以，，，两式作差可得，，所以.19．已知为坐标原点，圆的圆心在轴上，倾斜角为135°的直线与圆相交于，两不同点，且的中点的坐标为，.(1)求圆的标准方程；(2)求过点与圆相切的直线的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先利用点斜式得到直线，利用垂直可得到直线，继而得到的坐标，然后用垂径定理可求出半径，即可求解；（2）分直线的斜率是否存在，利用圆心到切线的距离等于半径即可【详解】（1）因为在直线上，所以直线的方程为，因为，所以直线的方程为，因为圆的圆心在轴上，所以点的坐标为，设圆的半径为，又因为解得，所以，圆的标准方程为.（2）若该直线斜率不存在，则其方程为，显然符合题意；若该直线斜率存在，设其方程为，设点到该直线的距离为，因为该直线与圆相切，所以，解得:，该直线为即，综上，过点与圆C相切的直线的方程为或.20．某学校为举办甲､乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一､方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从该校全体男生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率，从全体女生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率；(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(3)将该校学生支持方案一的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和500名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小.【答案】(1)从该校全体男生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为，从全体女生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为(2)(3)理由见解析 【分析】（1）计算出全体男生人数，从而估计其支持方案一的概率，同理计算出全体女生人数，估计出其支持方案一的概率；（2）分两种情况，支持方案一的这2人均为男生和支持方案一的这2人中1男1女，分别求出相应的概率，相加得到结果；（3）先计算出，分别计算出该校一年级男生和女生中支持方案二的大约人数，从而得到一年级学生中支持方案二的概率，由得到.【详解】（1）全体男生共有200+400=600人，其中支持方案一的有200人，故从该校全体男生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为，全体女生共有300+100=400人，其中支持方案一的有300人，故从全体女生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为；（2）支持方案一的这2人均为男生，此时概率为，支持方案一的这2人中1男1女，此时概率为故估计这3人中恰有2人支持方案一的概率为；（3），理由如下：由样本的频率估计总体概率，该校学生支持方案一的概率估计值为，该校一年级男生中支持方案二的约有人，该校一年级女生中支持方案二的约有人，假设一年级学生中支持方案二的概率为，则，因为，则，故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应高于平均概率，即.21．已知数列，，.(1)求数列通项公式；(2)若数列满足：.（i）证明：；（ii）证明：.【答案】(1)(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）根据递推公式将等式两边分别取倒数即可证明是等差数列，即可写出数列通项公式；（2）利用数列与的关系式，可写出的表达式，利用等比数列放缩即可证明（i）中的结论，再利用（i）得到的结论即可证明（ii）.【详解】（1）由题意可知，，将两边同时取倒数可得，，即，又，所以，数列是以为首项，公差的等差数列，即，得，所以数列通项公式为（2）（i）由可知，，所以两式相减得当时，，所以；（ii）所以22．已知为坐标原点，圆的圆心为点，点与关于原点对称，关于直线的对称点恰在圆上，直线与直线交于点，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设不经过的直线与曲线交于两个不同点，，直线，，的斜率依次成等差数列，记点到直线的距离为，直线上两点，的纵坐标之差为，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件及圆的标准方程，利用对称性及线段的垂直平分线，结合椭圆的定义及椭圆中的关系即可求解;（2）将直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理及等差中项的定义，结合点到直线的距离公式、弦长公式及基本不等式即可求解.【详解】（1）由圆，得圆心的坐标为，因为点与关于原点对称，所以，，由题意可知，,所以，所以点的轨迹为以为焦点，实轴长为的椭圆，所以，解得，所以，故曲线的方程为.（2）设，则，消去，整理得，所以，因为，所以，整理得，，若，则直线经过点，不合题意，所以即，因为，所以，解得.则，令，则所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问利用线段的垂直平分线的性质及椭圆的定义，第二问将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及等差中项，根据点到直线的距离公式及弦长公式，再利用换元法及基本不等式积定和最小即可.