2022-2023学年山东省青岛市青岛第五十八中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省青岛市青岛第五十八中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知为等差数列的前项和，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】设等差数列的公差为，由条件列方程求，根据通项公式求.

【详解】设等差数列的公差为，因为，得，

即，解得，

所以，则，

故选：D.

2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（    ）

A．28 B．26 C．24 D．20

【答案】A

【分析】根据题意利用等差等比中项公式得到方程组，解之即可；

【详解】依题意，设这四个数分别为，

则，解得或，

所以这四个数为0、4、8、16或15、9、3、1，则这四个数的和为28．

故选：A．

3．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．7 B．9 C．81 D．3

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果.

【详解】依题意可得，

又，所以，

所以.

故选：D

4．下列说法中正确的是（    ）

A．等比数列中的某一项可以为 B．常数列既是等差数列，也是等比数列

C．若是等比数列，则不一定是等比数列 D．若，则a，b，c成等比数列

【答案】C

【分析】根据等比数列的定义可知等比数列中任意一项都不为来验证四个选项.

【详解】A根据等比数列的定义可知等比数列中任意一项都不为，所以A不正确；

B若常数数列,是等差数列，不是等比数列，所以B不正确；

C若是等比数列，设，则所以不是等比数列，故C正确；

D设满足，但是a，b，c不成等比数列，所以D不正确.

故选：C

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地，求每天走的路程.”在这个问题中，此人前三天一共走的路程为（    ）

A．192里 B．288里 C．336里 D．360里

【答案】C

【分析】利用等比数列的求和公式即可得到结果.

【详解】记每天走的路程里数为，由题意可得是公比为的等比数列，

由等比数列的求和公式可得，解得

所以里

故选:C

6．一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和数列的公和为3，前项和为，若，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据定义，将表示为首项和公和的关系，即可求解.

【详解】根据等和数列的定义可知，，

得.

故选：C

7．已知数列满足：，m为正整数，，若，则m所有可能的取值为（　　）

A．{4，5} B．{4，32}

C．{4，5，32} D．{5，32}

【答案】C

【分析】，可得，代入公式，依次推论得到，直至，即可求的值.

【详解】因为，由递推公式，可知

∵，

当为偶数时，，解得，当为奇数时，，解得，舍去，所以，

当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得，舍去．

∴，

当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得．

当时，当为偶数时，，解得；当为奇数时，，

解得，舍去．

当时，当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得，舍去．

当时，当为偶数时，，

解得；当为奇数时，，解得．

当时，当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得，舍去．

综上可得．

故选：C．

8．对于给定的正整数，设集合，，且∅．记为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据 的定义，推出 的表达式，再计算即可.

【详解】根据题意知A为集合的非空子集，满足的集合只有1个，即；

满足的集合有2个，即{2}，{1，2}；

满足的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；

满足的集合有个，所以，

则，

两式相减得，所以 ，所以；

故选：D.

二、多选题

9．已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据题意，分情况进行讨论，然后利用等差中项的性质即可求解.

【详解】若公比有，，，

此时，故公比，

由题意，

化简有，两边同时乘以，可得：；

两边同时乘以，可得：

故有或，

选选：AB.

10．下面是关于公差的等差数列的几个命题，其中正确的有（    ）

A．数列递增

B．数列是递增的等差数列

C．若，为的前项和，且为等差数列，则

D．若，则方程有唯一的根

【答案】ABD

【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据说明A正确，然后逐一写出B、C、D所对应的通项公式，．

【详解】解：、设等差数列的首项为，公差，则，

所以数列是递增数列，故选项符合题意；

、，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．因为，所以该数列是递增的等差数列，故选项符合题意；

、由得到．

由为等差数列可设：．

即．

所以当恒成立时，，，．

所以，或．

当时，．当时，．综上所述，或．故选项不符合题意；

、由，，得，，即

又因为数列递增，所以当时，单调递减，

当时，单调递增．所以最小值是或，所以．

由当时，．故当且仅当时，，故选项符合题意．

故选：．

【点睛】本题解答的关键是等差数列通项公式及前项和公式的应用，以及等差数列下标和性质的应用；

11．数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．已知，则使得成等比数列的充要条件为

B．若为等差数列，且，则当时，的最大值为2022

C．若，则数列前5项的和最大

D．设是等差数列的前项和，若，则

【答案】CD

【分析】对于A：利用等比中项求出，即可判断；对于B：由等差数列的性质求出即可判断；对于C：先判断出为等差数列，利用二次函数的性质即可判断出时，取得最大值；对于D：利用等差数列的分段和性质直接求解.

【详解】对于A：因为，所以使得成等比数列等价于，即，解得：.故A错误；

对于B：因为为等差数列，且，

所以由等差数列的性质可得：，

所以.故B错误；

对于C：因为，所以，，所以为等差数列.

所以的前项和为.

由二次函数的性质可得：当时，取得最大值.故C正确；

对于D：在等差数列中，设.

因为，所以，且.

由等差数列的分段和性质可知：也构成等差数列，

所以，解得：，所以.故D正确.

故选：CD

12．年，意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列，其递推公式可以表示为，（），则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】根据递推关系对四个选项逐一分析判断即可.

【详解】由题意可知，，，， AB正确；

因为，，，……，，，

各式相加得，

所以，C错误；

因为

，D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．数列满足，（），则_____________．

【答案】

【分析】通过计算出等的值可以发现数列是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出的值．

【详解】

由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环，

所以

【点睛】在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算．

14．已知等差数列的首项为2，公差为9，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式是__________.

【答案】

【分析】根据等差数列的性质得，即可求解的公差，进而可求解通项.

【详解】设数列，的公差分别为，，由题意可知，且，

所以，

故，

故答案为：

15．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则____.

【答案】

【分析】根据数列与的性质确定数列是以为首项，为公差的等差数列，从而可得通项，即可得的值.

【详解】解：数列与分别是以为公差，为首项的等差数列，

则新的数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，

故.

故答案为：.

16．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.

【答案】6250

【分析】根据等额本息还款法，列出方程，利用等比数列前项和即可求解.

【详解】设每年还款的金额为，由题意可知：，所以

故答案为：6250

四、解答题

17．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且.

（1）证明：{an}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）an＝2n＋1.

【分析】（1）讨论n=1时，a1＝S1，求出a1；n≥2时，＝－，将式子进行变形化简，进而得出an－an－1是一个常数；

（2）由（1），通过即可求得.

【详解】（1）证明：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝3或a1＝－1(舍去).

当n≥2时，＝－＝－，

所以，

因为，所以.

所以数列{an}是以 3为首项，2为公差的等差数列.

（2）由（1）知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.

18．在数列中，，，．

(1)设，求证：数列是等比数列；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用，化简可知，进而可知数列是首项为、公比为的等比数列；

（2）通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论．

【详解】（1）证明：

又

数列是首项为、公比为的等比数列；

（2）由（1）可知，即，

.

19．已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，

（2）由错位相减法即可求和.

【详解】（1）设数列的公差为，则

解得

∴．

（2）依题意，知数列的通项公式为．

由（1）知，

∴，

，①

①×3得，②

①-②得

，

∴．

20．数列{an}满足：，点在函数的图象上，其中k为常数，且.

(1)若，，成等比数列，求k的值；

(2)当时，求数列的前项的和

【答案】(1)2；

(2).

【分析】（1）通过合理代值，解出， ，则得到，解出即可.

（2）通过累加法得到.

【详解】（1）由可得，，，

所以，，.

又，，成等比数列，，即，

又，故.

（2）时，，，，…，

，

.

21．已知为数列的前n项和，.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求前项的和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知数列是等比数列，公比为，首项为，进而得；

（2）结合（1）得，进而分组求和即可.

【详解】（1）解：因为，

所以，当时，，解得，

当时，，，

所以，即，

所以，数列是等比数列，公比为，首项为，

所以，数列的通项公式为.

（2）解：由（1）知，

所以，

记前项的和为，

所以，

.

22．已知函数满足，若数列满足：.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；

（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.

【详解】（1）因为,

由①,

则②,

所以可得：，

故，.

（2）由（1）知，，则时，，

所以

      .

又由对一切恒成立,可得恒成立,

即有对一切恒成立.

当时,取得最大值，所以；

故实数的取值范围是.