2022-2023学年山东省潍坊市寿光现代中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省潍坊市寿光现代中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省潍坊市寿光现代中学高二上学期10月月考数学试题 一、单选题1．经过点，且方向向量为的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】直线的方向向量为，直线的斜率，直线的方程为，即.故选：A.2．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）A． B． C．或 D．l与斜交【答案】C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线l的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或，故选：C.3．不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将直线方程化为，令可得，，从而可得定点.【详解】直线，即，令，得，，可得它恒过一个定点.故答案为：.4．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（    ）A． B． C．5 D．7【答案】D【解析】求出，，利用与数量积为0，求解即可.【详解】，可得，，故选：D5．直线与直线平行，则m的值为（    ）A．1或 B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据两直线平行的条件可得关于m的方程，验证两直线是否重合，即得答案.【详解】当时，显然两直线不平行，故由题意可知： ，解得 或-2，当m=1时，两直线皆为，重合，不符合题意，故选：C.6．设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】如图，求出可得斜率的取值范围.【详解】由题设可得，因为直线与线段相交，则或，故选：D.7．已知两点到直线的距离相等，则（    ）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.【详解】（1）若在的同侧，则，所以，，（2）若在的异侧，则的中点在直线上，所以解得,故选:D.8．为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心到直线的距离，减去半径可得出的最小值.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线上的点的最小距离，故选：A．【点睛】结论点睛：若直线与圆相离，点是半径为的圆上的一点，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的取值范围是. 二、多选题9．关于直线，下列说法正确的有（    ）A．过点 B．斜率为C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1【答案】BC【分析】A. 当时，，所以该选项错误；B. 直线的斜率为，所以该选项正确；C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    D. 当时，，所以该选项错误.【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.故选：BC10．已知直线过点且与点、等距离，则直线的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】BC【分析】设所求直线的方程为，解方程 即得解.【详解】设所求直线的方程为，即，由已知及点到直线的距离公式可得，解得或，即所求直线方程为或，故选：BC.11．在下列四个命题中，错误的有（    ）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；B．直线的倾斜角的取值范围是；C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为；D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为【答案】ACD【分析】根据直线、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】倾斜角为时，直线的斜率不存在，A错误.直线的倾斜角的取值范围是，B正确.直线斜率是，但直线的倾斜角不是，C错误.倾斜角为时，直线的斜率不存在，D错误.故选：ACD12．若圆：与圆：的交点为，则（    ）A．公共弦所在直线方程为B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为D．在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆【答案】AD【分析】根据题意，依次分析选项：对于A，联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断A，对于B，由两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断B，对于C，分析圆的圆心和半径，分析可得圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断C，对于D，由于圆心在公共弦上，在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，即可判断D．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，即两圆相交，将两个圆的方程相减可得，即公共弦所在直线方程为，A正确；对于B，由A的分析可知，两圆相交，故的中垂线即为两圆圆心的连线，圆，其圆心为，圆，其圆心为，故直线的斜率为，其方程为，即线段中垂线方程为，B错误，对于C，圆，即，其圆心为，半径，圆心满足，即点在公共弦上，则公共弦的长即为圆的直径，即的长为，C错误；对于D，圆心在公共弦上，在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，D正确,故选：AD. 三、填空题13．直线l1的斜率为k1=，直线l2的倾斜角为l1的，则直线l1与l2的倾斜角之和为________.【答案】90°【分析】由已知求得两直线的倾斜角，由此可求得答案．【详解】解：因为l1的斜率k1=，所以倾斜角为60°.又l1的倾斜角为l1的，所以l2的倾斜角为30°，所以l1与l2的倾斜角之和为60°+30°=90°.故答案为：90°．14．设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．【答案】3【分析】考虑坐标轴截距为0和不为0，设出直线方程，待定系数法求解直线方程.【详解】当坐标轴截距为0时，设方程为，将代入得：，所以方程为；当坐标轴截距不为0时，设方程为，则有，解得：，或，从而方程为或所以满足题设的直线l的条数为3条.故答案为：315．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．【答案】【分析】令，由题可得，即得.【详解】令，则，代入，可得，∴，解得，即的取值范围为.故答案为；.16．已知圆的方程为：，直线：．若直线与圆和圆均相切于同一点，且圆经过点，则圆的标准方程为____________．【答案】【分析】由圆与直线相切得，直线与圆的方程联立求得切点坐标，设，由两点间的距离公式可得的圆心坐标和半径，从而得到答案.【详解】方程为：，圆心，半径为，因为圆与直线：相切，所以，解得，所以直线：，由得，得切点为，设，所以①，且②，由①②得，所以，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为.故答案为：. 四、解答题17．在中，已知，，.（1）求边所在的直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由直线方程的两点式可得；（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.【详解】（1），，边所在的直线方程为，即；（2）设到的距离为，则，，方程为：即：..18．直线过点且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为， 又因为直线过点，所以，即，所以直线的方程为； （2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为， 又因为该圆过点、，所以有，解得，所以圆心坐标为，半径，故圆的方程为.19．已知直线与直线 (1)若l1∥l2，求m的值；(2)若点在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据运算求解，注意检验防止出现重合；（2）先将点代入求出，再设直线l的方程求截距，运算求解即可.【详解】（1）若l1∥l2，则，解得或，当，则，满足题意；当，则，此时两直线重合，不满足题意；综上所述：.（2）若点在直线l2上，则，解得，即，由题意可知：直线l的斜率存在且不为零，设为，则直线l的方程为，可得直线l在轴上x、y的截距分别为、，∵，解得或，∴直线l的方程为或.20．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系.则，，，.可得，.所以，所以 （2）由（1）得到，，因此可得，.设平面的一个法向量为，则由得令，解得.同理，可求平面PDC的一个法向量.所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：.即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.21．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.【答案】（1），，；（2）【解析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.（2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l 的交点，即为所求.【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等故故即故故李叔叔负责区域边界的曲线方程为（2）圆心关于的对称点为则有，解得联立与，可得交点为王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．22．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，所以，即k的取值范围是.（ⅱ）设，由根与系数的关系：，所以.即直线OA,OB斜率之和为定值.