2022-2023学年山东省淄博市淄博第五中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省淄博市淄博第五中学高二上学期期末数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市淄博第五中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知直线，若，则实数的值为（    ）A．3 B．0或3 C．1 D．或1【答案】B【分析】直接由两直线垂直的条件求解．【详解】∵，∴，解得或．故选：B．【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件．两直线与垂直的充要条件是．2．双曲线的渐近线方程为（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．【详解】双曲线的渐近线方程为，即，故选：C.3．若抛物线上的点到焦点的距离为则（    ）A． B．2 C．6 D．【答案】D【分析】用焦半径公式解方程算出即可获解.【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离为4，所以，即，，所以故选：D.4．从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，则这三个数能作为锐角三角形三边长的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知，从7个整数中随机取3个不同的整数共有种组合，再列举出这三个数能作为锐角三角形三边长的所有情况，即可求出其概率.【详解】由题可知，从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，共有种组合，若要这三个数能作为锐角三角形三边长，设三角形的三边长为，且，由余弦定理可知，只需满足即可；三角形的三边长为4，5，6时，，满足题意；三角形的三边长为4，6，7时，，满足题意；三角形的三边长为4，7，8时，，满足题意；三角形的三边长为5，6，7时，，满足题意；三角形的三边长为5，7，8时，，满足题意；三角形的三边长为6，7，8时，，满足题意；所以，共6种组合满足题意；即能作为锐角三角形三边长的概率为.故选：C.5．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.【详解】∵在基底下的坐标为∴设在基底下的坐标为则对照系数，可得： 解得：∴在基底下的坐标为故选：C6．设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得点的坐标，然后根据列方程，化简求得离心率.【详解】由于为等腰三角形， 所以，.故选：A7．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两圆相交可得参数范围．【详解】因为圆与圆恰有2条公切线，所以解得故选：B．8．双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，点M为线段的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，，在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得，进而得解【详解】设，因为，所以，由双曲线定义知，则由双曲线定义知，则设，，因为，在中，①；在中，解得：，代入①式，得．点M为线段的中点，所以，因为，所以，又因为，所以，故选：B 二、多选题9．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（    ）A．A⊆D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【答案】ABC【分析】根据试验过程，分析出事件A、B、C、D的含义，对四个选项一一判断.【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D ，A∪C＝D.故A、C正确；因为事件B，D为互斥事件，所以B∩D＝.故B正确；对于D：A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故D错误.故选：ABC.10．给出下列命题，其中正确的命题是（    ）A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D．已知向量，，则在上的投影向量为【答案】CD【分析】选项A，因为，直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行；选项B，根据空间向量四点共面条件即可判断B；选项C，根据平面向量基底的定义可判断C；选项D，根据投影向量的公式即可判断D.【详解】选项A，由已知直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以，所以直线或，故A错误；选项B，因为，，根据空间向量四点共面条件可知，四点不共面，故B错误；选项C，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C正确；选项D，由，，在上的投影向量为，故D正确.故选：CD.11．下列说法错误的是（    ）A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为B．直线必过定点C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为【答案】ACD【分析】当在两坐标轴上的截距相等且等于0时可判断A；由含参直线方程过定点的求法计算可判断B；由可判断C；计算出端点处的斜率结合图形可判断D【详解】对于A：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为，又直线过点，则，即，此时直线方程为，故A错误；对于B：直线可变形为，由解得，即直线必过定点，故B正确；对于C：当倾斜角时，无意义，故C错误；对于D：直线即，经过定点，当直线经过点时，斜率为，当直线经过点时，斜率为，由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D错误；故选：ACD12．已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（    ）A． B．当时，的面积为C． D．的周长的最大值为【答案】AC【分析】对A：由方程求，进而求；对B：根据方程结合题意运算求解；对C：设直线，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D：根据椭圆定义分析求解.【详解】由椭圆方程，得，所以，所以，故A项正确；当时，点到的距离为2，所以的面积为，故B项错误；因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点，∵，则直线，联立方程，得到∴，∵在椭圆上，则，即∴同理，于是，故C项正确；设椭圆的右焦点为，当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为，如果不经过右焦点，则连接，，可知的周长小于，所以的周长的最大值为，故D项错误.故选：AC. 三、填空题13．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为___________.【答案】【分析】根据抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再结合图形可求出结果.【详解】由，得，准线方程为：，过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时，等号成立.故答案为：14．已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则___________．【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解.【详解】圆的圆心为，由题可知圆心到直线距离，则.故答案为：415．如图，空间四边形中，，，，且，，则____________．【答案】【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解.【详解】如图，因为，，所以，，又因为，，，所以.故答案为：.16．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以为坐标原点, 射线所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系．令两正方形边长均为2．则,,,设异面直线与所成的角为,．【解析】异面直线所成的角． 四、解答题17．柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么(1)写出试验的样本空间．(2)求事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）列举出所有可能的情况即可得到样本空间；（2）列举出事件所有可能的结果，利用古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）记第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，则样本空间为.（2）由（1）知：，，，.18．如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E是PD的中点.（1）证明：平面PAB；（2）求直线CE与平面PAB间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接､，易证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由平面，知点到平面的距离即为所求，由线面垂直的判定定理证平面，以为原点，建立空间直角坐标系，可证，从而求得，，写出点､的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，由点到平面的距离即可得解.【详解】（1）证明：取的中点，连接､，为的中点，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）平面，点到平面的距离即为所求.设，取的中点，连接､，则四边形为矩形，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，､平面，平面，，平面，∴，平面，平面平面，以为原点，､分别为､轴，在平面内，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， 在中，，又，，，，又是的点， ，，，设平面的法向量为，则， 令，则，，，点到平面的距离，故直线与平面间的距离为.19．已知直线l：x+2y-2=0．试求：（1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；（2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程．【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析: (1)设出点关于直线的对称点坐标,根据两点间线段的中点在直线上与两点所在直线与直线互相垂直,由中点坐标公式和两直线垂直斜率乘积为可得关于对称点坐标的方程组,解得点的坐标;(2)设出直线上任一点的坐标,利用此点关于的对称点与直线的方程,可得所求的直线方程.试题解析：（1） 设点关于直线的对称点为，则线段的中点在对称轴上,且.∴即的坐标为.(2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上,反之也成立.由将的坐标代入直线的方程得.∴直线的方程为.点睛:点关于直线的对称点,一般利用的中点在直线上且的连线与直线垂直建立方程组 ;直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.20．已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．【答案】(1)(2)为定值，求解过程见详解 【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得，所以椭圆的方程为；（2）设，联立得，，，，即，，原点到直线的距离，所以，所以的面积为定值.21．已知双曲线(1)过点的直线与双曲线交于两点，若点N是线段的中点，求直线的方程；(2)直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2). 【分析】（1）设，，采用“点差法”可求得直线的斜率，即可求得答案；（2）根据直线l：与双曲线有唯一的公共点M，联立方程可得到，从而求得点M坐标，由此表示出过M且与l垂直的直线方程，求得，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设，，则 ，两式相减得，即，因为点是线段的中点，所以，即直线的斜率为1，所以直线的方程为，即,联立方程组,得，满足，故直线的方程为（2）联立方程组,得，因为直线l：与双曲线有唯一的公共点M，根据双曲线的对称性可知都不等于0， ，得，则,则,所以M的坐标为，其中，因为过点M且与l垂直的直线方程为，令，得，令，，所以，故点的轨迹方程为：.【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.22．已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.(1)求抛物线的方程；(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.【答案】(1)；(2)16. 【分析】（1）根据给定条件求出，设出点P的坐标，结合抛物线定义列式计算作答.（2）设出直线AB、CD的方程，求出点H坐标，进而求出，由面积建立函数关系，借助均值不等式求解作答.【详解】（1）抛物线的焦点，准线，为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，由，解得，设，则点，于是由得：，解得，所以抛物线的方程为：.（2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：，由消去x并整理得：，设，则，于是得弦AB中点，，同理得，因此，直角面积，当且仅当，即时取“=”，所以面积的最小值为16.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以是斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.