专题08 一元二次方程（课件+学案）-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件（全国通用）

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中考数学一轮复习08 一元二次方程
1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
3. 一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、化简后为–1= x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意，故选A．【答案】A.
【例2】（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m＋n的值是 .
【解答】解：把x＝1代入方程mx2＋nx－1＝0得m＋n－1＝0，解得m＋n＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【例3】（4分）（2021•广东14/25）若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）的两根x1，x2满足-3＜x1＜-1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 ．
【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）的两根x1，x2满足-3＜x1＜-1，1＜x2＜3，∴满足条件的方程可以为：x2-2=0（答案不唯一），故答案为：x2-2=0（答案不唯一）．
【例4】【（2022•遂宁）已知m为方程x2＋3x－2022＝0的根，那么m3＋2m2－2025m＋2022的值为（ ） A．－2022 B．0 C．2022 D．4044
【解答】解：∵m为方程x2＋3x－2022＝0的根，∴m 2＋3m－2022＝0，∴m3＋3m＝2022，∴原式＝m3＋3m2－m2－3m－2022m＋2022＝m (m2＋3m)－(m2＋3m)－2022m＋2022＝2022m－2022－2022m＋2022＝0．故选：B．
1. 解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.2. 常用方法：（1）直接开平方法：对于形如x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（p≥0）的方程，直接开平方．（2）配方法：将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解．
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为 （ ）．（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0的形式，进而得到x-a =0或x-b=0来求解．
3. 选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解.
【例5】（3分）（2019·安徽省15/23）解方程：（x﹣1）2＝4．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【例6】（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0配方后得到方程(x＋3)2＝2c，则c的值为（ ） A．－3 B．0 C．3 D．9
【解答】解：x2＋6x＋c＝0，x2＋6x＝－c，x2＋6x＋9＝－c＋9，(x＋3)2＝－c＋9．∵(x＋3)2＝2c，∴2c＝－c＋9，解得c＝3，故选：C．
【例7】（2022•甘肃）用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是（ ） A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6
【解答】解：x2－2x＝2，x2－2x＋1＝2＋1，即(x－1)2＝3．故选：C．
【例9】（2022•临沂）方程x2－2x－24＝0的根是（ ） A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4 C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
【解答】解：x2－2x－24＝0，(x－6)(x＋4)＝0，x－6＝0或x＋4＝0，解得x1＝6，x2＝－4，故选：B．
1．一元二次方程根的判别式：
叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式．常用字母“ ”表示．
b2－4ac
2. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：
【例10】（2022•河南）一元二次方程x2＋x－1=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【例11】（2022•辽宁）下列一元二次方程无实数根的是（ ）A．x2＋x－2＝0 B．x2－2x＝0 C．x2＋x＋5＝0 D．x2－2x＋1＝0
【例12】（2022•辽宁）若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＋3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【例13】（3分）（2021•河南7/23）若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．
【例14】（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝(3＋2)(3－2)－1＝5－1＝4．若x * k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
2. 用根与系数的关系求值时的常见转化：
【例15】（2022•湖北）若一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根是x1，x2，则x1·x2的值是 ．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根，∴x1·x2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
【例16】（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2－x－2022＝0的两个实数根，则代数式x13－2022 x1＋x22的值是（ ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12－x1－2022＝0，即x12－2022＝x1，∵x1，x2是方程x2－x－2022＝0的两个实数根，∵x1＋x2＝1，x1x2＝－2022，则原式＝x1 (x12－2022)＋x22＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1x2＝1＋4044＝4045．故选：A．
【例17】（2022•湖北）若关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1，x2，且(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，则m＝（ ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【例18】（3分）（2020•青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，x2=5．请你写出正确的一元二次方程 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可．【解答】解：根据题意得2×3=c，1+5=-b，解得b=-6，c=6，所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0．故答案为x2-6x+6=0．
1. 列一元二次方程解应用题的步骤：列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、找、设、列、解、验、答七步.
2. 常见类型：列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系：①增长率＝ ×100%；②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为a(1+x) 2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为a(1–x)，第三年的产值为a(1–x) 2．
（2）利润等量关系：①利润＝售价-成本；②利润率＝利润成本×100%.③总利润=单件的利润×数量．（3）面积问题：充分利用各种图形对应的面积公式.
【例19】（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A．8(1＋2x)＝11.52 B．2×8(1＋x)＝11.52 C．8(1＋x)2＝11.52 D．8(1＋x2)＝11.52
【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，第一个月的销售额为8万元，第二个月的销售额为8(1＋x)万元，第三个月的销售额为8(1＋x)2万元，∴8(1＋x)2＝11.52，故选：C．
【例20】（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ） A．8 B．10 C．7 D．9
【例21】（2022•青海）如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是(11－2x)cm，宽为(7－2x)cm，然后根据长方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得：(11－2x) (7－2x)＝21，故答案为：(11－2x) (7－2x)＝21．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽．
【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x－100)吨，依题意得：x＋2x－100＝800，解得：x＝300， ∴2x－100＝2×300－100＝500．答：4月份再生纸的产量为500吨．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，依题意得：1200(1＋y)2•a (1＋y)＝(1＋25%)×1200(1＋y)•a ， ∴1200(1＋y)2＝1500．答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程（或一元二次方程）是解题的关键．
巩固训练及详细解析见学案．