高考物理模型全归纳 第28讲 功的理解、计算及其易错点

高考物理全归纳——模型专题

在高中物理教学中，引导学生认识、理解和建立“物理模型”，是培养学生创造性思维和创新能力的有效途径。

一、什么是物理模型

自然界中事物与事物之间总是存在着千丝万缕的联系，并都处在不断的变化之中。面对复杂多变的自然界，进行科学研究时，总是遵循这样一条重要的原则，即从简到繁，先易后难，循序渐进，逐次深入。

物理模型有三个类型：（1）物理研究对象的理想化（对象模型）；（2）物理条件的理想化（条件模型）；（3）物理过程的理想化（过程模型）

二、为什么要建立物理模型

1、帮助学生掌握学习方法      2、落实“过程与方法”的教学目标

3、提高学生解决问题能力

三、如何帮助学生的建立物理模型

（一）提高认识，重视过程：

对研究对象建立理想的物理模型和在研究物理过程中选择最简单的物理模型，在教学中是经常涉及到的，但学生总不能从中得到启示。

（二）概括总结，触类旁通：

新课程提出高中阶段应给学生更多的空间，让学生较独立地进行科学探究，培养学生的自主探究、自主学习、自已解决问题的能力。

第28讲 功的理解、计算及其易错点

(全国卷Ⅱ)如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力(　   )

A．一直不做功          B．一直做正功

C．始终指向大圆环圆心  D．始终背离大圆环圆心

解：AB、大圆环是光滑的，则小环和大环之间没有摩擦力；大环对小环的支持力总是垂直于小环的速度方向，所以大环对小环没有做功，故A正确，B错误；
CD、小环在运动过程中，在大环的上半部分运动时，大环对小环的支持力背离大环圆心，运动到大环的下半部分时，支持力指向大环的圆心，故C错误，D正确。
故选：AD。

一.知识回顾

1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。

2．物理意义：功是能量转化的量度。

3．做功的两个必要因素

(1)作用在物体上的力。

(2)物体在力的方向上发生的位移。

4．公式：W＝Flcosα。

(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。

(2)该公式只适用于恒力做功。

(3)功是标量。

5．功的正负及物理意义

6.定性判断力是否做功及做正、负功的方法

(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。

(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角θ——常用于曲线运动的情形。

(3)根据动能的变化判断：动能定理描述了合力做功与动能变化的关系，即W合＝ΔEk，当动能增加时合力做正功，当动能减少时合力做负功。

(4)根据功能关系或能量守恒定律判断。

7．一对作用力与反作用力的功

8．一对平衡力的功

一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一定是数值相等、一正一负或都为零。

9.总功

(1)先由W＝Flcosα计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋……。

(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcosα计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。

10.易错点提示

使用W＝Flcosα应注意的几个问题

(1)位移l

①“l”应取作用点的位移。

②“l”的取值一般以地面为参考系。

(2)力F

①力的独立性原理，即求某个力做的功仅与该力及物体沿该力方向的位移有关，而与其他力是否存在、是否做功无关。

②力只能是恒力。此公式只能求恒力做功。

(3)α是表示位移l与力F两个矢量箭尾相连时两矢量之间的夹角。

二.例题精析

例1．如图所示，光滑的斜劈放在水平面上，斜面上用固定的竖直板挡住一个光滑球，整个装置沿水平面向左以速度v匀速运动，以下说法中正确的是（　　）

A．挡板对球的弹力不做功 B．挡板对球的弹力做负功 

C．斜面对球的弹力不做功 D．斜面对球的弹力做负功

【解答】解：AB.球的位移水平向左，挡板对球的弹力水平向右，则挡板对球的弹力做负功，故A错误，B正确；

CD.斜面对球的弹力垂直斜面向上，与位移夹角为锐角，则斜面对球的弹力做正功，故CD错误。

故选：B。

例2．如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，当斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s时，物体相对斜面静止，则下列说法中错误的是（　　）

A．摩擦力做功为零 B．合力做功为零 

C．摩擦力做负功 D．弹力做正功

【解答】解：功是力乘以力的方向上的位移，若力与位移夹角为钝角，做负功，锐角做正功，垂直不做功，摩擦力与位移夹角为钝角，做负功，弹力与位移夹角是锐角，做正功，合力为零，不

做功，故A错误，BCD正确。

本题选择错误选选项，故选A。

故选：A。

例3．如图所示，物块放在四分之一圆弧台面上，与台面一起以速度v向右做匀速直线运动，在通过一段位移的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．重力对物块不做功 B．支持力对物块不做功 

C．摩擦力对物块做负功 D．圆弧台面对物块做正功

【解答】解：ABC、物块与台面向右匀速运动过程中，处于平衡状态，受力如图所示

重力与位移夹角90°，对物块不做功，支持力与位移夹角大于90°，对物块做负功，摩擦力与位移夹角小于90°，对物块做正功，故A正确，BC错误；

D、圆弧台面对物块的作用力，即支持力与摩擦力的合力，方向竖直向上，故圆弧台面对物块不做功，故D错误。

故选：A。

例4．如图所示，木块B上表面是水平的，当木块A置于B上，一起沿光滑斜面由静止开始下滑，下滑过程中A与B保持相对静止，且斜面体相对地面静止。A和B在下滑过程中（　　）

A．地面对斜面体的摩擦力水平向右 

B．A和B一起匀速下滑 

C．B对A的摩擦力做负功 

D．A对B不做功

【解答】解：木块A、B一起沿光滑斜面下滑，设加速度为a，斜面的倾角为θ，两木块的质量分别为mA、mB；

对AB系统，由牛顿第二定律得：（mA+mB）gsinθ＝（mA+mB）a，解得：a＝gsinθ；

A、由于光滑斜面受B的压力使斜面有向右的运动趋势，故地面对斜面的静摩擦力f不为零，地面对斜面体的摩擦力水平向左，故A错误；

B、A和B整体具有沿斜面向下的加速度，向下做匀加速运动，故B错误；

C、由图可知，A所受的摩擦力水平向左，A的位移沿斜面向下，两方向夹锐角，故摩擦力做正功，故C错误；

D、A受力如图2所示，设摩擦力f与支持力N的合力F与水平方向夹角为α，

竖直方向，由牛顿第二定律得：mAg﹣N＝mAay，水平方向，由牛顿第二定律得：f＝mAax，A的加速度：a＝gsinθ，

竖直分加速度：ay＝asinθ＝gsinθsinθ，水平分加速度：ax＝acosθ＝gsinθcosθ

合力F与水平方向夹角的正切值：tanα，联立解得：tanαtan（θ），则：α+θ，B对A的作用力方向垂直斜面向上，

由牛顿第三定律可知，A对B的作用力方向垂直斜面向下，而B的位移方向沿斜面向下，两者互相垂直，由功的公式知道，A对B的作用力对B不做功，故D正确。

故选：D。

三.举一反三，巩固练习

1. 如图所示，质量为m的木块放在倾角为α的斜面上与斜面一起水平向左匀加速运动，木块（　　）

A．所受的摩擦力对木块一定做负功 

B．所受的摩擦力对木块可能做正功 

C．所受的支持力对木块可能不做功 

D．所受的支持力对木块一定不做功

【解答】解：木块与斜面一起水平向左匀加速运动，假设加速度为a0时，摩擦力刚好为零，则有

Ncosα＝mg

Nsinα＝ma0

解得a0＝gtanα

可知当加速度小于gtanα时，摩擦力沿斜面向上，摩擦力对木块做负功；

当加速度大于gtanα时，摩擦力沿斜面向下，摩擦力对木块做正功；

支持力方向一定垂直于斜面向上，与速度方向的夹角为锐角，支持力一定对木块做正功，故B正确，ACD错误；

故选：B。

2. 将一质量为m的小球竖直向上抛出，小球上升h后又落回地面，在整个过程中受到空气阻力大小始终为f，则关于这个过程中重力与空气阻力所做的功，下列说法正确的是（　　）

A．重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为﹣2fh 

B．重力做的功为0，空气阻力做的功也为0 

C．重力做的功为0，空气阻力做的功为﹣2fh 

D．重力做的功为0，空气阻力做的功为0

【解答】解：A、重力在整个过程中大小方向均不变，故整个过程中重力所做功等于重力与整个过程位移的乘积，而整个过程位移为0，故整个过程中重力做功为0，故A错误；

BCD、因空气阻力与物体运动方向总是相反的，故整个运动过程中f不是恒力，需分段处理：上升阶段中阻力恒定，做功﹣fh，下降阶段阻力也恒定，做功为﹣fh，故整个过程中阻力做功﹣2fh，故C正确，BD错误。

故选：C。

3. （多选）如图，一光滑大圆环固定在水平桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个

小环.小环从大圆环的最高点由静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力（　　）

A．始终背离大圆环圆心 B．始终垂直速度方向 

C．一直变大 D．一直不做功

【解答】解：AC、从开始下降到最低点的过程中，小环受到的支持力先背离大圆环圆心向外，后指向大圆环圆心，支持力的方向发生变化，中间有支持力为零的时刻，所以大圆环对小环的作用力不是一直变大，故AC错误；

BD、大圆环是光滑的，则小环和大环之间没有摩擦力；大环对小环的支持力总是垂直于小环的速度方向，所以大环对小环没有做功，故BD正确；

故选：BD。

4. 如图，一根细绳上端系在O点，下端系一个重球B，放在粗糙的斜面体A上。现用水平推力F向右推斜面体，使之在光滑水平面上向右匀速运动一段距离（细绳尚未到达平行于斜面的位置）。在此过程中（　　）

A．重球B做匀速圆周运动 

B．摩擦力对重球B做正功 

C．球B对A不做功 

D．A对重球B所做的功与重球B对A所做的功绝对值大小相等

【解答】解：A、重球B做圆周运动，其线速度v球垂直绳，斜面对地速度v斜面水平向右，球相对斜面的速度v相，满足关系：v斜面+v相＝v球，三者组成矢量三角形，如图所示，v斜面恒定，v相方向不变，绳与竖直方向夹角变大（趋于平行斜面），可见v球先变小，垂直斜面时最小，因此重球做线速度减小的减速圆周运动，故A错误；

B、斜面对B的摩擦力沿斜面向下，结合上图，可知在绳平行斜面之前，重球受到的滑动摩擦力与其线速度方向夹角为锐角，所以斜面对重球的摩擦力做正功，故B正确；

C、斜面体A做匀速运动，动能不变，外力对A所做的总功为零，则水平推力F做正功、重球对A必做负功，故C错误；

D、A对B的弹力做的功等于B对A弹力做的功（力大小相等，距离相等）；摩擦力对A做的功大于对B做的功（虽然摩擦力相等，但在力的方向上移动的距离不等，差值是内能）。所以得出B对A做的功大于A对B做的功，故D错误。

故选：B。

5. （多选）如图，一辆卡车要将叠放在车厢上的A、B两块钢材卸下，A钢材叠放在B钢材的上面，A与B、B与车厢的动摩擦因数分别为μ1和μ2，已知μ1＞μ2，现在随着卡车的液压杆缓慢撑起，车厢会绕车厢末端O顺时针转动，下列说法正确的是（　　）

A．在A、B均未滑动过程中，A的合外力不变 

B．在A、B均未滑动过程中，车厢对B的摩擦力不做功 

C．在A、B均未滑动时，A对B的摩擦力沿车厢向上 

D．随着转动角度增大，A会先滑动

【解答】解：A、在A、B均未滑动过程中，钢材A处于平衡状态，因此钢材A所受合力一直为零，保持不变。故A正确。

B、由于车厢对B的摩擦力始终沿车厢方向与B缓慢移动的方向时刻垂直，在摩擦力方向未发生位移，故车厢对B的摩擦力不做功。故B正确。

C、对钢材A受力分析可知钢材B对钢材A的摩擦力向车厢向上，由牛顿第三定律知，知钢材A对钢材B的摩擦力向车厢向下。故C错误。

D、A刚好滑动时，设车厢与水平面夹角为α，此时由受力分析有μ1mgcosα＝mgsinα，即tanα＝μ1；同理，AB一起刚好滑动时，设车厢与水平面夹角为β，由受力分析可得tanβ＝μ2；由于μ1＞μ2，则tanα＞tanβ，即α＞β。因此随着转动角度的增大，钢材A、B一起滑动。故D错误。

故选：AB。

6. 如图所示，物块B与水平地面接触，物块A置于物块B之上，两物块相对静止，一起向右运动（图中a为加速度，力F沿水平方向向右），则（　　）

A．图甲中，A、B间摩擦力对A做负功 

B．图乙中，A、B间摩擦力对B做正功 

C．图丙中，A、B间摩擦力对B做负功 

D．图丁中，A、B间摩擦力对A做负功

【解答】解：A、图甲中A、B相对静止，没有加速度，故A、B间没有摩擦力，A、B间不存在摩擦力，摩擦力一定不会做功，故A错误；

B、图乙中，两物体有向右的加速度，说明A受向右的摩擦力，A对B有向左的摩擦力，则由功的公式W＝Flcosα可知，A、B间的摩擦力对B做负功，故B错误；

C、图丙中，A受向右的拉力，加速度为零，A、B一起做右匀速运动，故A受B给的向左的摩擦力，则B受到A给的向右的摩擦力，所以A、B间的摩擦力B做正功，故C错误；

D、图丁中，A、B向右加速运动，B相对A有向左的运动趋势，故B受到A给的向右的摩擦力，A受B向左的摩擦力，所以A、B间摩擦力对A做负功，故D正确；

故选：D。

7. 光滑固定斜面上有一个质量分布均匀的正方形薄铁板，质量为M，正方形边长为d，在外力作用下沿平行于底边方向运动，在斜面上宽度为d的灰色区域内涂有一层特殊材料，薄铁板与该材料之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，斜面倾角为θ，则该薄铁板通过粗糙区域时克服摩擦力做的功为（　　）

A．μMgdcosθ B．2μMgdcosθ C．μMgdcosθ D．μMgdsinθ

【解答】解：薄铁板进入粗糙部分越多，摩擦力越大，所以摩擦力先逐渐增大后逐渐减小，且薄铁板对粗糙部分的正压力与位移成正比（如右图所示），平均摩擦力fµMgcosθ

，薄铁板通过粗糙区域时克服摩擦力做的功：WfµMgcosθ×2d＝µMgdcosθ，故A正确，BCD错误，

故选：A。

8. 如图所示，一水平传送带始终保持向右匀速传送，某时刻将小物块P轻放于传送带左端（不计小物块水平初速度）。小物块P在传送带上运动的过程中，关于传送带对小物块P的做功情况，下列说法正确的是（　　）

A．一定先做正功，后做负功 

B．一定先做正功，后不做功 

C．可能始终做正功 

D．可能始终做负功

【解答】解：A、将小物块P轻放于传送带左端，小物块在摩擦力的作用下加速，若在达到传送带右端前，已经与传送带共速，则小物块先加速，后匀速，传送带对小物块先做正功，后不做功，故A错误，

BC、若在达到传送带右端时，还未与传送带共速，或刚好与传送带共速，则小物块始终做匀加速运动，传送带对小物块始终做正功，故B错误，C正确；

D、小物块P轻放于传送带左端，小物块在摩擦力的作用下一定要先做加速运动，所以一定有做正功的阶段，故D错误；

故选：C。

9. 汽车运输规格相同的两块楼板时，为了保证安全，底层楼板固定在车厢上，上层楼板按如图所示方式放置于底层楼板上，汽车先以a1＝2m/s2的加速度启动，然后以v＝10m/s的速度匀速运动，最后以a2＝10m/s2的加速度刹车至静止。已知每块楼板的质量为200kg，楼板间的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个过程楼板不会掉落，也不会撞上驾驶室，g＝

10m/s2，则（　　）

A．启动时楼板之间的摩擦力大小为1600N 

B．刹车时楼板之间的摩擦力大小为400N 

C．启动时楼板间因摩擦产生的热量为2000J 

D．刹车时楼板间因摩擦产生的热量为2000J

【解答】解：A、摩擦力提供给水泥板最大的加速度为：a'＝μg＝0.8×10m/s2＝8m/s2，启动时，汽车加速度小于水泥板最大加速度，上层水泥板所受摩擦力为静摩擦力，大小为：f＝ma1＝200×2N＝400N，故A错误；

B、刹车时，汽车加速度大于水泥板最大加速度，上层水泥板所受摩擦力为滑动摩擦力，其大小为：f＝μmg＝0.8×200×10m/s＝1600N，故B错误；

C、启动时，楼板间没有相对运动，受到静摩擦力作用，不会产生热量，故C错误；

D、汽车在刹车过程中行驶的距离为：sm＝5m，汽车停止时间为：ts＝1s，上层水泥板停止运动时滑动的距离为：s′mm，汽车停止时上层水泥板相对底层水泥板滑动的距离为Δs＝s′﹣sm﹣5mm，根据摩擦生热可知，Q＝μmg•Δs＝1600J＝2000J，故D正确。

故选：D。

10. （多选）6月份是收割小麦的季节，如图甲所示，粮库工作人员通过传送带把小麦堆积到仓库内，其简化模型如图乙所示，工作人员把一堆小麦轻轻地放在倾斜传送带的底端，小麦经过加速和匀速两个过程到达传送带顶端，然后被抛出落到地上。已知传送带与地面的夹角为θ，两轴心间距为L，传送带以恒定的速度v顺时针转动，忽略空气阻力，重力加速度为g，以地面为零势能面，对于其中一颗质量为m的麦粒P（如图所示）的说法正确的是（　　）

A．在匀速阶段，其他麦粒对麦粒P不做功 

B．在传送带上运动时，其他麦粒对麦粒P做的功为mv2+mgLsinθ 

C．麦粒P离开传送带后（未落地）的机械能为mv2+2mgLsinθ 

D．麦粒P克服重力做功的最大值为mgLsinθ

【解答】解：A、选取麦粒P为研究对象，在匀速运动阶段，其他麦粒对麦粒P有摩擦力作用，由动能定理可知：W﹣WG＝0，即其他麦粒对麦粒P做功，故A错误；

B、在传送带上运动时，对麦粒P由动能定理可知：W﹣WG0

其中重力做功：WG＝﹣mgLsinθ，解得，其他麦粒对麦粒P做的功WmgLsinθ，故B正确；

C、麦粒P刚离开传送带时，机械能为：EmgLsinθ，在抛出过程中机械能守恒，则麦粒P离开传送带后（未落地）的机械能为mv2+mgLsinθ，故C错误；

D、麦粒P离开传送带做斜抛运动过程中，对速度进行分解如图所示：

竖直方向上：vy＝vsinθ

则麦粒P上升的高度为：2gh

解得：h

则麦粒P克服重力做功的最大值为：

W＝mg（Lsinθ+h）＝mgLsinθ，故D正确；

故选：BD。

11. 一质点在xoy平面内的运动轨迹如图所示。质点从坐标原点O开始运动，运动过程中受到两个大小分别为F1、F2的恒力作用，最后到达P点。已知恒力F1沿x轴正方向，恒力F2沿y轴负方向。O、P两点间距离为l，O、P两点连线与x轴的夹角为θ．则在这一运动过程中，恒力F1做的功为　F1lcosθ　，恒力F2做的功为　﹣F2lsinθ　。

【解答】解：质点从坐标原点O开始运动，恒力F1沿x轴正方向，恒力F1做的功为W1＝F1lcosθ，恒力F2沿y轴负方向，恒力F2做的功为W2＝F2lcos（90°+θ）＝﹣F2lsinθ。

故答案为：（1）F1lcosθ；（2）﹣F2lsinθ。