2023版考前三个月冲刺专题练　第1练　集合与常用逻辑用语、复数

这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第1练　集合与常用逻辑用语、复数，共10页。


1．(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|eq \r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于( )
A．{x|0≤x<2}
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x<2))))
C．{x|3≤x<16}
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x<16))))
答案 D
解析 因为M＝{x|eq \r(x)<4}，
所以M＝{x|0≤x<16}；
因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,3))))).
所以M∩N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x<16)))).
2．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋aeq \x\t(z)＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
答案 A
解析 由题意知eq \x\t(z)＝1＋2i，
所以z＋aeq \x\t(z)＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b
＝a＋b＋1＋(2a－2)i，
又z＋aeq \x\t(z)＋b＝0，
所以a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，
又a，b∈R，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋1＝0，,2a－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2.))
3．(2022·浙江)设x∈R，则“sin x＝1”是“cs x＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由sin x＝1，得x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))＝cs eq \f(π,2)＝0，故充分性成立；又由cs x＝0，得x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))＝1或－1，故必要性不成立．所以“sin x＝1”是“cs x＝0”的充分不必要条件．
4．(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．
5．(2020·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a等于( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
答案 B
解析 A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(a,2))))).
由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－eq \f(a,2)＝1，
所以a＝－2.
6．(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案 C
解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，
∴z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1.
7．(2022·北京)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设无穷等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d.若{an}为递增数列，则d>0，则存在正整数N0，使得当n>N0时，an＝dn＋a1－d>0，所以充分性成立；若存在正整数N0，使得当n>N0时，an＝dn＋a1－d>0，即d>eq \f(d－a1,n)对任意的n>N0，n∈N*均成立，由于n→＋∞时，eq \f(d－a1,n)→0，且d≠0，所以d>0，{an}为递增数列，必要性成立．
8．(2020·全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________.
答案 2eq \r(3)
解析 方法一 设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为z1＋z2＝eq \r(3)＋i，
所以2z1＝(eq \r(3)＋a)＋(1＋b)i，
2z2＝(eq \r(3)－a)＋(1－b)i.
因为|z1|＝|z2|＝2，
所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以eq \r(\r(3)＋a2＋1＋b2)＝4，①
eq \r(\r(3)－a2＋1－b2)＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12.
所以|z1－z2|＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(3).
方法二 设复数z1，z2在复平面内分别对应向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，
则z1＋z2对应向量eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)).
由题意知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应向量eq \(BA,\s\up6(→))，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2，
可得|eq \(BA,\s\up6(→))|＝2|eq \(OA,\s\up6(→))|sin 60°＝2eq \r(3).
故|z1－z2|＝|eq \(BA,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
9．(2022·淄博模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x＋2}，则A∩B等于( )
A．{1,4} B．[0，＋∞)
C．{－1,2} D．{(－1,1)，(2,4)}
答案 D
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝x＋2，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))
故A∩B＝{(－1,1)，(2,4)}．
10．(2022·重庆调研)已知集合A，B为全集U的子集，若∁UA⊆∁UB，则A∪(∁UB)等于( )
A．A B．B C．U D．∅
答案 C
解析 因为∁UA⊆∁UB，
所以有B⊆A，则A∪(∁UB)＝U.
11．(2022·黄山模拟)命题：∃x∈R，ax2－ax－2>0为假命题的一个充分不必要条件是( )
A．(－∞，－8]∪[0，＋∞)
B．(－8,0)
C．(－∞，0]
D．[－8,0]
答案 B
解析 ∵命题“∃x∈R，ax2－ax－2>0”为假命题，
∴命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”为真命题，
当a＝0时，－2≤0成立；
当a≠0时，a<0，
故方程ax2－ax－2＝0的Δ＝a2＋8a≤0，
解得－8≤a<0，
故a的取值范围是[－8,0]，要满足题意，则选项是集合[－8,0]的真子集，故选项B满足．
12．(多选)(2022·青岛模拟)已知复数z＝a＋(1－a2)i，i为虚数单位，a∈R，则下列选项正确的为( )
A．若z是实数，则a＝－1
B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上
C．|z|≥eq \f(\r(3),2)
D．若z＝2eq \x\t(z)＋1，则a＝±1
答案 BC
解析 由复数z＝a＋(1－a2)i是实数可知1－a2＝0，解得a＝±1，A选项错误；
复数z＝a＋(1－a2)i在复平面内对应点Z(a,1－a2)，其坐标满足方程y＝1－x2，即点Z(a,1－a2)位于抛物线y＝1－x2上，B选项正确；
由z＝a＋(1－a2)i，可得
|z|＝eq \r(a2＋1－a22)＝eq \r(a4－a2＋1)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－\f(1,2)))2＋\f(3,4))≥eq \f(\r(3),2)，C选项正确；
z＝2eq \x\t(z)＋1，即a＋(1－a2)i＝2a＋1－2(1－a2)i，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2a＋1，,1－a2＝－21－a2，))解得a＝－1，D选项错误．
13．(2022·蚌埠模拟)设复数z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2i,2－i)))2 022，则z等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 B
解析 eq \f(1＋2i,2－i)＝eq \f(1＋2i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(5i,5)＝i，
因此z＝i2 022＝(i2)1 011＝(－1)1 011＝－1.
14．(多选)(2022·广州模拟)已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18<0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27<0}，则下列命题中正确的是( )
A．若A＝B，则a＝－3
B．若A⊆B，则a＝－3
C．若B＝∅，则a≤－6或a≥6
D．若BA，则－6答案 ABC
解析 A＝{x∈R|－3当a＝－3时，A＝B，故D不正确；
若A⊆B，则(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0，且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正确；
若B＝∅，则a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正确．
15．(2022·济宁模拟)命题“∃x∈R，x2－x＋1>0”的否定是____________________．
答案 ∀x∈R，x2－x＋1≤0
解析 由存在量词命题的否定为全称量词命题，
可得原命题的否定为“∀x∈R，x2－x＋1≤0”．
16．(2022·天津模拟)已知p：x2－7x＋10<0，q：(x－m)(x－3m)<0，其中m>0.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
答案 eq \f(5,3)≤m≤2
解析 p：x2－7x＋10<0⇒(x－2)(x－5)<0
⇒2所以p：{x|2q：(x－m)(x－3m)<0，其中m>0，
解得m所以q：{x|m由q是p的必要不充分条件，
可得p⇒q且q⇏p，
所以{x|2则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤2，,3m≥5))且等号不同时成立，
解得eq \f(5,3)≤m≤2.
[考情分析] 1.集合作为高考必考内容，命题较稳定，难度较小，常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低，其中含有量词的命题的否定、充要条件的判定需要关注，常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题.3.对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识．
一、集合的运算
核心提炼
1．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.
2．A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.
3．若已知A∩B＝∅，要注意不要漏掉特殊情况：
A＝∅或B＝∅；
若已知A⊆B，要注意不要漏掉特殊情况：A＝∅.
练后反馈
二、常用逻辑用语
核心提炼
1．含有量词命题的否定：
“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”，“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．简记：改变量词，否定结论．
2．充要条件的判定方法有定义法、集合法、等价转换法等．
练后反馈
三、复数
核心提炼
1．复数的定义：纯虚数、共轭复数及复数的模的概念．
2．复数的几何意义：z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up7(一一对应),\s\d5())复平面内的点Z(a，b)．
3．复数的运算
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法，复数的除法的实质就是“分母实数化”．
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝i2＝－1，i4n＋3＝i3＝－i.
练后反馈
1．[T3补偿](2022·合肥模拟)已知x∈R，则“x≤－3”是“(x＋2)(x－3)≥0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当“x≤－3”成立时，x＋2<0，x－3<0，
故“(x＋2)(x－3)≥0”成立，
即“x≤－3”是“(x＋2)(x－3)≥0”的充分条件；
当“(x＋2)(x－3)≥0”成立时，x≤－2或x≥3，
此时推不出“x≤－3”成立，
故“x≤－3”不是“(x＋2)(x－3)≥0”的必要条件．
综上，“x≤－3”是“(x＋2)(x－3)≥0”的充分不必要条件．
2．[T14补偿](2022·上海模拟)设a，b是实数，集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>3，x∈R}，且A⊆B，则|a－b|的取值范围为( )
A．[0,2] B．[0,4]
C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 D
解析 集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}＝{x|a－1B＝{x||x－b|>3，x∈R}＝{x|xb＋3}，
又A⊆B，所以a＋1≤b－3或a－1≥b＋3，
即a－b≤－4或a－b≥4，即|a－b|≥4，
所以|a－b|的取值范围为[4，＋∞)．
3．[T6补偿](2022·上海模拟)复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z－3|＝|z－i|，则动点Z的轨迹为( )
A．直线 B．线段
C．两条射线 D．圆
答案 A
解析 设动点Z的坐标为(x，y)，则z＝x＋yi，
所以|x＋yi－3|＝|x＋yi－i|，
即(x－3)2＋y2＝x2＋(y－1)2，
化简得3x－y－4＝0，
故动点Z的轨迹为直线．
4．[T8补偿](2022·宁波模拟)若复数z＝eq \f(1,2)＋bi(b∈R，i为虚数单位)满足z·eq \x\t(z)＝－b，其中eq \x\t(z)为z的共轭复数，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z,1＋2i)))的值为( )
A.eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),5) C．1 D.eq \f(\r(10),10)
答案 D
解析 因为z＝eq \f(1,2)＋bi，
所以eq \x\t(z)＝eq \f(1,2)－bi，
所以z·eq \x\t(z)＝eq \f(1,4)＋b2＝－b，
解得b＝－eq \f(1,2)，
所以z＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z,1＋2i)))＝eq \f(|z|,|1＋2i|)＝eq \f(\f(\r(2),2),\r(5))＝eq \f(\r(10),10).
5．[T13补偿](2022·武汉模拟)已知z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2 021＋i2 022，则在复平面内，复数z所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 因为eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(1＋2i＋i2,2)＝i，且i的乘方运算是以4为周期的运算，
所以z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2 021＋i2 022＝i2 021＋i2 022
＝i＋i2＝－1＋i，
所以复数z所对应的点(－1,1)位于第二象限．
6．[T16补偿](2022·运城模拟)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且恒有f(f(x)－ln x)＝1，则“a>1”是“f(x)≤ax－1恒成立”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 令t＝f(x)－ln x，则f(x)＝ln x＋t，
∴f(t)＝ln t＋t＝1.
∵g(t)＝ln t＋t－1是增函数且g(1)＝0，
∴t＝1，
∴f(x)＝ln x＋1，
∴f(x)≤ax－1⇔ln x＋1≤ax－1⇔a≥eq \f(ln x＋2,x)对∀x>0恒成立．
令φ(x)＝eq \f(ln x＋2,x)，φ′(x)＝eq \f(－ln x－1,x2)，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
∴φ(x)max＝φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝e，
∴a≥e.
∵“a>1”是“a≥e”的必要不充分条件．
∴“a>1”是“f(x)≤ax－1恒成立”的必要不充分条件．题目
1
4
5
9
10
14
正误
错题整理：
题目
3
7
11
15
16
正误
错题整理：
题目
2
6
8
12
13
正误
错题整理：