2023版考前三个月冲刺专题练　第2练　不等式

展开

这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第2练　不等式，共12页。

第2练　不等式

1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA等于(　　)
A．{x|－1 B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案　B
解析　∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，
∴x>2或x<－1，
即A＝{x|x>2或x<－1}．
在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
2．(2013·重庆)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由x2－2ax－8a2<0，
得(x＋2a)(x－4a)<0，
因为a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，
即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，
得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
3．(2019·全国Ⅱ)若a>b，则(　　)
A．ln(a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
答案　C
解析　由函数y＝ln x的图象(图略)知，
当0 因为函数y＝3x在R上单调递增，
所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；
因为函数y＝x3在R上单调递增，
所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；
当b 4．(2013·山东)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0 B．1 C. D．3
答案　B
解析　由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)
则＝＝≤1，
当且仅当x＝2y时取等号，
把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，
所以＋－＝＋－
＝－2＋1≤1.
5．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
答案　ABD
解析　因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以a＋b≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B,2a－b＝22a－1＝×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；
对于C，log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2＝－2，故C错误；
对于D，由(＋)2＝a＋b＋2
＝1＋2≤2，
得＋≤，故D正确．
6．(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
答案　D
解析　令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，∴3y<2x<5z.
7．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)
A．a>0>b B．a>b>0
C．b>a>0 D．b>0>a
答案　A
解析　因为9m＝10，所以m＝log910，
所以a＝10m－11＝
因为log910－log1011
＝－＝>＝>0，
所以a>0.

因为log910－log89
＝－＝<＝<0，所以b<0.
综上，a>0>b.
8．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
答案　BC
解析　因为ab≤2≤(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x2＋y2)－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
因为x2＋y2－xy＝1可变形为
2＋y2＝1，
设x－＝cos θ，y＝sin θ，
所以x＝cos θ＋sin θ，
y＝sin θ，
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ
＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝＋sin∈，
所以当x＝，y＝－时满足等式，
但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误．

9．(2022·上虞模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x∈Z||x－1|≤1}，B＝，则A∩(∁UB)等于(　　)
A．[1,2] B．[2,4)
C．{0,1,2} D．{1,2}
答案　D
解析　由|x－1|≤1，可得－1≤x－1≤1，
即0≤x≤2，
则A＝{x∈Z||x－1|≤1}＝{0,1,2}，
由>0，可得x>4或x<1，
则B＝＝{x∈R|x>4或x<1}，
则∁UB＝∁RB＝{x|1≤x≤4}，
故A∩(∁UB)＝{0,1,2}∩{x|1≤x≤4}＝{1,2}．
10．(2022·衡水模拟)已知实数x，y，z满足z>0，x>y，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.－>0 B.－<0
C．x2z－y2z>0 D．xz>yz
答案　D
解析　令x＝2，y＝1，z＝1，
则－＝－<0，所以A选项错误；
令x＝1，y＝－1，z＝1，
则－＝2>0，所以B选项错误；
令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误；
因为xz－yz＝(x－y)z，
由x>y，z>0得xz－yz>0，xz>yz，所以D选项正确．
11．(2022·威海模拟)若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为(　　)
A．[－2，－1) B．(3,4)
C．(5,6] D．(6,7]
答案　D
解析　因为不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集中恰有3个正整数，
即不等式(x－3)(x－m)<0的解集中恰有3个正整数，
所以m>3，所以不等式的解集为(3，m)，
所以这三个正整数为4,5,6，所以6 12．(多选)(2022·重庆调研)设非零实数a>b>c，那么下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a2>bc B．ac2>bc2
C．(a－b)c>(a－c)c D．ln <0
答案　BD
解析　设a＝1，b＝－1，c＝－2，满足a>b>c，
此时不满足a2>bc，故A错误；
因为a>b，且c≠0，
所以ac2>bc2，故B正确；
设a＝3，b＝2，c＝1，满足a>b>c，
此时(a－b)c＝1，(a－c)c＝2，不满足(a－b)c>(a－c)c，故C错误；
因为a>b>c，
所以a－c>a－b>0,0<<1，
所以ln <0，故D正确．
13．(2022·攀枝花模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若关于x的不等式f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[0,1] B．[0,2]
C．[1，e] D．[0，e]
答案　D
解析　当x≤1时，由x2－2ax＋2a≥0恒成立，二次函数的对称轴为x＝a，
当a≥1时，f(x)在(－∞，1]上单调递减，
则f(x)min＝f(1)＝1>0恒成立，
当a<1时，f(x)min＝f(a)＝a(2－a)≥0，
所以0≤a<1，
综上，当a≥0时，x2－2ax＋2a≥0在(－∞，1]上恒成立；
当x>1时，ex－ax≥0恒成立，
即a≤在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，
则g′(x)＝，
当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，
又g(1)＝e，所以a≤e，
综上，a的取值范围是[0，e]．
14．(多选)(2022·沈阳模拟)若6a＝2,6b＝3，则下列不等关系正确的有(　　)
A.>1 B．ab<
C．a2＋b2< D.>2
答案　ABD
解析　由6a＝2,6b＝3，得a＝log62，b＝log63，
所以a＋b＝log62＋log63＝log66＝1，
＝＝log23>1，所以A正确；
因为a＝log62>0，b＝log63>0，所以ab≤＝，因为a≠b，所以等号不成立，所以ab<，所以B正确；
因为a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2≥＝，因为a≠b，所以等号不成立，所以a2＋b2>，所以C错误；
因为a＝，b＝，
所以＝×，
由于>＝2，
且＋≥2＝2，
因为≠，
所以等号不成立，所以＋>2，
所以＝×>2×2>2，
所以>2，所以D正确．
15．甲、乙两人购买同一种物品，甲不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则________的购物方式比较经济(填“甲”或“乙”)．
答案　乙
解析　设这个商品的第一次的价格为a，第二次的价格为b，
甲每次购买的数量为n，乙每次所付的钱数为m，
那么甲这种购买方式的均价为＝，
乙这种购买方式的均价为＝，
≥(当且仅当a＝b时等号成立)，
＝≤＝(当且仅当a＝b时等号成立)，
故≥(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以用乙的购物方式比较经济．
16．(2022·天津模拟)已知a>b>0，当4a＋＋取到最小值时，a＝________.
答案　
解析　已知a>b>0，
由题意知4a＋＋＝2a＋b＋＋2a－b＋≥2＋2＝6，
当且仅当2a＋b＝，2a－b＝，
即a＝，b＝时，等号成立，
故当4a＋＋取到最小值时，a＝.

[考情分析]　不等式作为高考命题热点内容之一，命题较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等，直接考查时主要是关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．
一、不等式的性质
核心提炼
1．不等式的倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0 (3)a>b>0,0.
2．不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a，x∈I；f(x) (2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．
练后反馈
题目
3
6
10
12
13

正误

错题整理：

二、不等式的解法
核心提炼
1．三个“二次关系”：一元二次方程的根⇔二次函数的零点⇔一元二次不等式的解集的端点值．
2．分式不等式转化为一元二次不等式求解时，注意分母不能为零．
练后反馈
题目
1
2
9
11

正误

错题整理：

三、基本不等式
核心提炼
1．基本不等式：≥，a>0，b>0；变形：ab≤2；适用条件：一正二定三相等；若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致．
2．基本不等式求最值的解题技巧：(1)凑项．(2)常值代换．(3)凑系数．(4)换元．
练后反馈
题目
4
5
7
8
14
15
16

正误

错题整理：

1．[T5补偿](多选)(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．ab≥ B.＋≥4
C．2a＋2b≥2 D．a＋ln b>0
答案　BC
解析　因为a>0，b>0，且a＋b＝1，则有ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”，A不正确；
因为a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋＝×(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，B正确；
因为a>0，b>0，且a＋b＝1，则2a＋2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b＝时取“＝”，C正确；
因为a>0，b>0，且a＋b＝1，则取b＝，即有a＝1－，于是得a＋ln b＝1－＋ln ＝－<0，D不正确．
2．[T6补偿](2022·西宁模拟)已知m5＝4，n8＝9,0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　)
A．p>m>n B．m>n>p
C．m>p>n D．p>n>m
答案　A
解析　由m5＝4，得
由n8＝9，得
因此
即>m>n，由0.9p＝0.8，
得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，
于是得p>m>n，
所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.
3．[T14补偿](2022·新乡模拟)已知3a＝5b＝，则下列选项中错误的是(　　)
A．a＋b＝2ab
B．ab>1
C．log2a＋log2b>0
D.2＋2<
答案　D
解析　由3a＝5b＝，
得a＝log3，b＝log5，
所以
整理得a＋b＝2ab，故A正确；
由2＝＋≥2，得ab≥1，
又a≠b，所以ab>1，故B正确；
因为log2a＋log2b＝log2(ab)，ab>1，
所以log2a＋log2b＝log2(ab)>0，故C正确；
因为＋＝2，
所以b＝＋，2＋2＝2＋≥，
当且仅当a＝1时，等号成立，
又a＝log3>1，
所以2＋2>，D错误．
4．[T11补偿]关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B．(－6，－2]
C．(－6，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
答案　B
解析　∵关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，
令f(x)＝x2＋(m－2)x＋6－m，
可得
即
解得－6 5．[T8补偿](2020·江苏)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
答案　
解析　由题意知y≠0.
由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，
所以x2＋y2＝＋y2＝
＝≥×2＝，
当且仅当＝4y2，
即y＝±时取等号．
所以x2＋y2的最小值为.
6．[T13补偿](2022·济宁模拟)已知m>0，n>0，＋＝1，若不等式m＋n≥－x2＋4x＋a对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
答案　5
解析　∵m＋n＝(m＋n)＝5＋＋≥9，
当且仅当即时等号成立，
又不等式m＋n≥－x2＋4x＋a对m，n及任意实数x恒成立，
∴－x2＋4x＋a≤9对任意实数x恒成立，
即a≤x2－4x＋9＝(x－2)2＋5对任意实数x恒成立，∴a≤5.