2023版考前三个月冲刺专题练　第5练　基本初等函数、函数与方程

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这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第5练　基本初等函数、函数与方程

第5练　基本初等函数、函数与方程1．(2021·天津)若2a＝5b＝10，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)等于(　　)A．－1 B．lg 7 C．1 D．log710答案　C解析　∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,log210)＋eq \f(1,log510)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.2．(2022·浙江)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b等于(　　)A．25 B．5 C.eq \f(25,9) D.eq \f(5,3)答案　C解析　因为2a＝5，b＝log83＝eq \f(1,3)log23，即23b＝3，所以4a－3b＝eq \f(4a,43b)＝eq \f(2a2,23b2)＝eq \f(52,32)＝eq \f(25,9).3．(2022·北京)已知函数f(x)＝eq \f(1,1＋2x)，则对任意实数x，有(　　)A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝eq \f(1,3)答案　C解析　函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq \f(1,1＋2－x)＝eq \f(2x,1＋2x)，所以f(－x)＋f(x)＝eq \f(2x,1＋2x)＋eq \f(1,1＋2x)＝1，故选C.4．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天答案　B解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝eq \f(R0－1,T)＝eq \f(3.28－1,6)＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即，所以，即0.38(t2－t1)＝ln 2，所以t2－t1＝eq \f(ln 2,0.38)≈eq \f(0.69,0.38)≈1.8.5．(2019·浙江)在同一直角坐标系中，函数y＝eq \f(1,ax)，y＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)答案　D解析　若01，则y＝eq \f(1,ax)是减函数，而y＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是增函数且其图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，结合选项可知，没有符合的图象．6．(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)答案　C解析　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq \f(1,2)，则下列判断正确的是(　　)A．c0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0答案　A解析　设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增．原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)0，所以A正确，B不正确．因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．9．(2022·长治模拟)函数f(x)＝ln x＋x2－2的零点所在的区间为(　　)A．(－2，－1) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)答案　C解析　∵函数f(x)＝ln x＋x2－2，∴函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2＋2>0，故函数y＝f(x)的零点所在区间为(1,2)．10．(2022·淮安模拟)已知函数f(x)＝(3m－2)·xm＋2(m∈R)是幂函数，则函数g(x)＝loga(x－m)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点P的坐标是(　　)A．(2,1) B．(0,2)C．(1,2) D．(－1,2)答案　A解析　∵函数f(x)＝(3m－2)xm＋2(m∈R)是幂函数，∴3m－2＝1，∴m＝1，∴g(x)＝loga(x－1)＋1，令x－1＝1得x＝2，此时g(2)＝loga1＋1＝1，∴函数g(x)的图象所过定点P的坐标是(2,1)．11．(2022·烟台模拟)在生活中，人们常用声强级y(单位：dB)来表示声强度I(单位：W/m2)的相对大小，具体关系式为y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,I0)))，其中基准值I0＝10－12W/m2.若声强度为I1时的声强级为60 dB，那么当声强度变为4I1时的声强级约为(参考数据：lg 2≈0.3)(　　)A．63 dB B．66 dB C．72 dB D．76 dB答案　B解析　因为当声强度为I1时，声强级为60 dB，所以60＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I1,10－12)))，即eq \f(I1,10－12)＝106，解得I1＝10－6，所以当声强度变为4I1时，声强级约为10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4I1,10－12)))＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4×10－6,10－12)))＝10(2lg 2＋6)≈10(2×0.3＋6)＝66(dB)．12．(2022·蚌埠二中模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则(　　)A．x1h(x3)，由函数单调性可知10，))若关于x的方程f(x)＝a(a∈R)有四个实数解x1，x2，x3，x4，且x10，))若关于x的方程f2(x)－bf(x)＋2＝0有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是________．答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(9,2)))解析　f(x)的图象如图所示，令t＝f(x)，则关于x的方程f2(x)－bf(x)＋2＝0有8个不同的实数根，转化为方程t2－bt＋2＝0在(0,4)上有两个不同的解，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<\f(b,2)<4，,Δ＝b2－8>0，,16－4b＋2>0，))解得2eq \r(2)0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两个函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，eq \f(1,2)，－1五种情况．练后反馈二、函数的零点核心提炼函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象的交点的横坐标．练后反馈三、函数模型及其应用核心提炼应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．练后反馈1．[T7补偿](2022·重庆模拟)已知a＝eq \f(1,e)，b＝eq \f(ln 3,5)，c＝eq \f(ln 2,3)，则(　　)A．a23>2e，所以3ln e>eln 2，所以eq \f(ln e,e)>eq \f(ln 2,3)，即a>c，故b0，))若存在互不相等的实数a，b，c，d使得f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)＝m，则：(1)实数m的取值范围为________；(2)a＋b＋c＋d的取值范围是________．答案　(1)(0,1)　(2)(2e－1－2，e－2－1)解析　函数f(x)的图象如图所示，∵f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)＝m，即直线y＝m与函数f(x)的图象有4个交点，故m∈(0,1)．∵f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)＝m，不妨设a2，))且关于x的方程f(x)＝t有四个不等实数根，写出一个满足条件的t值________．答案　t＝2.1(答案不唯一，t在(2,2.5]之间都可以)解析　f(x)＝t有四个不等实数根，即f(x)的图象与y＝t的图象有四个不同的交点，作出f(x)的大致图象，如图，当0