2023版考前三个月冲刺专题练　第11练　平面向量

这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第11练　平面向量，共13页。

第11练　平面向量


1．(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案　B
解析　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
2．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　C
解析　由|a－2b|＝3，
可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，
又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C.
3．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　)
A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案　C
解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
4．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案　A
解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
方法二　利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，
故a⊥b.
5．(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　)
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
答案　D
解析　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(3,0)，B(0,4)．设P(x，y)，
则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，
＝(－x,4－y)，
所以·＝x2－3x＋y2－4y
＝2＋(y－2)2－.
又2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0,0)到点的距离为，
所以·∈，
即·∈[－4,6]，故选D.
6．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3 B．2 C. D．2
答案　A
解析　如图所示建立平面直角坐标系．

则A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，
设P(x，y)，圆C半径为r，
根据等面积公式可得r＝，
即圆C的方程是(x－2)2＋y2＝，
＝(x，y－1)，＝(0，－1)，＝(2,0)，
若满足＝λ＋μ，
即
所以μ＝，λ＝1－y，
所以λ＋μ＝－y＋1.
设z＝－y＋1，
即－y＋1－z＝0，
点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝上，
所以圆心到直线的距离d≤r.
即≤，
解得1≤z≤3，
所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
7．(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
答案　－
解析　∵a⊥b，
∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，
解得m＝－.
8．(2017·全国Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
解析　方法一　|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
方法二　(数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，

则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，
所以|a＋2b|＝2.

9．(2022·郑州模拟)在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，＝x＋y，则x等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知
即
解得
∴＝＋＝＋，
即＝－，∴x＝.
10．(2022·海口模拟)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，且AB＝6，AD＝3.若线段CD上存在唯一的点E满足·＝4，则线段CD的长的取值范围是(　　)
A．[1,2) B．[1,5)
C．[1，＋∞) D．[5，＋∞)
答案　B
解析　如图所示，以A为坐标原点，和分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系．

则A(0,0)，B(6,0)，
设DE的长为x，则E(x,3)，
则＝(x,3)，＝(x－6,3)，
所以·＝x(x－6)＋9＝4，
解得x＝1或x＝5，
由题意知DC≥x，点E存在于CD上且唯一，知线段CD的长的取值范围是[1,5)．
11．(2022·咸阳模拟)已知向量a，b的夹角为，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a与向量a＋2b的夹角等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　向量a，b的夹角为，
且|a|＝4，|b|＝2，
故可得a·b＝|a||b|cos ＝4，
则a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝16＋8＝24，
|a＋2b|＝＝4，
设向量a与向量a＋2b的夹角为θ，
故cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
12．(多选)(2022·淄博模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是(　　)
A．若a⊥b，则tan θ＝
B．若b在a上的投影向量为－a，则向量a与b的夹角为
C．与a共线的单位向量只有一个，为
D．存在θ，使得|a＋b|＝|a|＋|b|
答案　BD
解析　向量a＝(，1)，
b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，
因为a⊥b，
所以cos θ＋sin θ＝0，
所以tan θ＝－，故选项A错误；
因为b在a上的投影向量为－a，
即|b|cos〈a，b〉＝－a，
所以cos〈a，b〉＝－|a|，
又|b|＝＝1，
|a|＝＝，
所以cos〈a，b〉＝－×＝－，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以向量a与b的夹角为，故选项B正确；
与a共线的单位向量有两个，分别为和，故选项C错误；
当cos θ＝，sin θ＝时，a＝b，
此时向量a与b共线同向，
满足|a＋b|＝|a|＋|b|，
所以存在θ，使得|a＋b|＝|a|＋|b|，故选项D正确．
13．(2022·淮北模拟)在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍．若存在正实数x，y使得＝＋成立，则2x＋y的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　如图，设AC与BD交于点M，

由△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，
可得BM＝2MD，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋，
又A，M，C三点共线，即，共线，
所以存在实数k使得＝k，
因为＝＋，
所以
消去k，可得＋＝9，
又x>0，y>0，
所以2x＋y＝(2x＋y)
＝≥＝1，
当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，
所以2x＋y的最小值为1.
14．(2022·攀枝花模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝1，CD＝2.则·等于(　　)

A．－3 B．－ C. D．3
答案　C
解析　因为＝＋＝＋，
所以＝(＋＋＋)，
所以·＝(＋＋＋)·＝(＋)·＋·＋·，
因为AB＝AD，
所以∠ABD＝∠ADB，
所以·＋·
＝·－·
＝||||cos∠ABD－||||·cos∠ADB＝0，
所以·＝(＋)·
＝(＋)·(－)
＝(2－2)
＝(||2－||2)
＝(22－12)＝.
15．(2022·巴中模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(1,0)，c＝(1,2)，若c∥(a＋mb)，则m＝______.
答案　－
解析　由题意可得a＋mb＝(2＋m,1)，
由c∥(a＋mb)，可得1×1－(2＋m)×2＝0，
解得m＝－.
16．(2022·泸县第四中学模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a－c)·(b－2c)＝0，则|c|的最大值是______．
答案　
解析　因为a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，
故不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，
设c＝(x，y)，
由(a－c)·(b－2c)＝0，
得(1－x，－y)·(－2x,1－2y)＝0，
即－2x(1－x)－y(1－2y)＝0，
即2＋2＝，
则c的终点在以为圆心，半径为的圆上，
故|c|的最大值为＋＝.

[考情分析]　1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度．
一、平面向量的线性运算
核心提炼
常用结论：
(1)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.
(2)在△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(3)在△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．
练后反馈
题目
1
9
15






正误









错题整理：

二、平面向量的数量积
核心提炼
1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
练后反馈
题目
2
3
4
7
8
11
14


正误









错题整理：

三、平面向量的综合运算
核心提炼
解决向量的综合性问题时，根据向量的几何意义或者数量积的定义与坐标运算研究最值问题及图形的几何性质．
练后反馈
题目
5
6
10
12
13
16



正误









错题整理：

1．[T13补偿](2022·昆明模拟)如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足＝3，N是AC上的点且满足＝，CM与BN交于P点，设＝a，＝b，则等于(　　)

A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　B
解析　＝3⇒＝，
＝⇒＝，
由C，P，M三点共线知，存在λ∈R，
使得＝λ＋(1－λ)
⇒＝λ＋，①
由N，P，B三点共线知，存在μ∈R，
使得＝μ＋(1－μ)
⇒＝＋(1－μ)，②
由①②得解得λ＝，μ＝，
故＝a＋b.
2．[T12补偿](多选)(2022·衡水模拟)已知a＝(1,2)，b＝(－4，t)，则(　　)
A．若a∥b，则t＝8
B．若a⊥b，则t＝2
C．|a－b|的最小值为5
D．若向量a与向量b的夹角为钝角，则t<2
答案　BC
解析　由a∥b，得t＝－8，A不正确；
由a⊥b，得－4＋2t＝0，t＝2，B正确；
|a－b|＝，
当t＝2时，|a－b|取得最小值5，C正确；
当a·b<0时，即－4＋2t<0，得t<2，
当a与b反向时，t＝－8，
故若向量a与向量b的夹角为钝角，
则t<－8，或－8 3．[T5补偿](2022·长沙模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形的剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则·的取值范围是(　　)

A．[6,12] B．[6,16]
C．[8,12] D．[8,16]
答案　C
解析　·＝(＋)·(＋)＝2－2＝||2－4，
因为||∈[2，4]，
所以·的取值范围是[8,12]．
4．[T6补偿](2022·盐城模拟)如图，点C在半径为2的上运动，∠AOB＝，若＝m＋n，则m＋n的最大值为(　　)

A．1 B. C. D.
答案　C
解析　以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，
则有＝(2,0)，＝(1，)．
设∠AOC＝α，则＝(2cos α，2sin α)．
由题意可知
所以m＋n＝cos α＋sin α＝sin.
因为α∈，
所以α＋∈，
故m＋n的最大值为.
5．[T15补偿](2022·重庆调研)已知x，y∈R，向量a＝(1，－2)与b＝(x，y)共线，则(x－2)2＋(y－1)2的最小值为________．
答案　5
解析　因为向量a＝(1，－2)与b＝(x，y)共线，
所以y＋2x＝0，
则(x－2)2＋(y－1)2表示直线y＋2x＝0上一点到点(2,1)距离的平方，
求点(2,1)到直线y＋2x＝0的距离即为最小值，
d＝＝，
所以(x－2)2＋(y－1)2的最小值为d2＝5.
6．[T16补偿](2022·合肥一六八中学模拟)已知向量a，b是单位向量，若a·b＝0，且|c－3a|＋|c－4b|＝5，则|c＋a|的取值范围是________．
答案　
解析　因为向量a，b是单位向量，且a·b＝0，
所以不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，
设c＝(x，y)，
则c－3a＝(x－3，y)，c－4b＝(x，y－4)，
c＋a＝(x＋1，y)，
则由|c－3a|＋|c－4b|＝5得＋＝5，
设A(3,0)，B(0,4)，则|AB|＝5，
所以＋＝5表示的点C(x，y)在线段AB上．
|c＋a|＝表示C(x，y)到P(－1,0)的距离，如图，

|PA|＝4，|PB|＝＝，
直线AB的方程为＋＝1，
即4x＋3y－12＝0，
所以P到直线AB的距离为
d＝＝，
所以|c＋a|＝的取值范围是.