2023版考前三个月冲刺专题练　第14练　解三角形

这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第14练　解三角形，共16页。

第14练　解三角形


1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，
所以AB＝3，
所以cos B＝＝＝.
2．(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵S＝absin C＝＝
＝abcos C，
∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
3．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
答案　A
解析　∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，
即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得
cos A＝＝
＝＝－，
∴＝6.
4．(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)

A．346 B．373 C．446 D．473
答案　B
解析　如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.

在△A′B′C′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.
5．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________.
答案　－1
解析　设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．

在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋4.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
＝4－.
∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，
BD＝k＝－1.
6．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.

答案　－
解析　在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝，
∴BD＝，∴FB＝BD＝.
在△ACE中，∵AE＝AD＝，AC＝1，
∠CAE＝30°，
∴EC＝＝1，
∴CF＝CE＝1.
又∵BC＝＝＝2，
∴在△FCB中，由余弦定理得
cos∠FCB＝
＝＝－.
7．(2020·新高考全国Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　由C＝和余弦定理得
cos C＝＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
选条件①.
由ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
选条件②.
由b＝c，∴B＝C＝，A＝.
由csin A＝3，得c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，
此时c＝2.
选条件③.
由于c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
8．(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
解　(1)因为＝，
所以＝，
所以＝，
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
所以cos(A＋B)＝sin B，
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.
因为B∈，所以B＝.
(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，
所以sin＝sin B，
且0 所以0 所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B，
由正弦定理得＝
＝＝
＝＝
＝＝4cos2B＋－5
≥2－5＝4－5，
当且仅当cos2B＝时取等号，
所以的最小值为4－5.

9．(2022·宣城模拟)如图所示，点D是等边△ABC外一点，且∠ADC＝，CD＝2，AC＝2，则△ABD的周长是(　　)

A．2 B．4＋2
C．6＋2 D．4＋2
答案　C
解析　在△ACD中，
由正弦定理得＝
⇒sin∠CAD＝，由于∠ADC＝为钝角，
所以∠CAD为锐角，所以∠CAD＝，
则∠ACD＝，∠BAD＝，
所以AD＝CD＝2，BD＝＝4，
所以△ABD的周长为2＋4＋2＝6＋2.
10．(2022·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，则sin C等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，由(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C及正弦定理得，
(b＋c)2＝a2＋(2－)bc，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得，cos A＝＝－，
而0° 由sin A－2sin B＝0得sin B＝sin A＝，
显然0° 所以sin C＝sin(60°－45°)
＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝.
11．(2022·福州模拟)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立地提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即△ABC的面积S＝，其中a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若b＝1，且tan C＝，则△ABC面积的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为tan C＝，
所以sin C＝sin Ccos B＋cos Csin B，
即sin C＝sin(C＋B)＝sin A，
由正弦定理可得c＝a，
所以S＝
＝＝，
当a＝时，S取到最大值.
12．(多选)(2022·烟台模拟)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则(　　)
A．sin∠CBD＝
B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为8＋4
D．△ABC为钝角三角形
答案　BCD
解析　因为cos∠CDB＝－，
所以sin∠CDB＝＝，
又由正弦定理得＝，
所以sin∠CBD＝，故A错误；
设CD＝a，则BC＝2a，在△BCD中，BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，
解得a＝，
所以S△DBC＝BD·CD·sin∠CDB＝×3××＝3，
所以S△ABC＝S△DBC＝8，故B正确；
因为∠ADC＝π－∠CDB，
所以cos∠ADC＝cos(π－∠CDB)
＝－cos∠CDB＝，
在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC，解得AC＝2，
所以C△ABC＝AB＋AC＋BC
＝3＋5＋2＋2＝8＋4，故C正确；
因为AB＝8为最大边，
所以cos∠ACB＝＝－<0，
即∠ACB为钝角，
所以△ABC为钝角三角形，故D正确．
13．(2022·长沙模拟)如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．

答案　(10 000＋25 000)m2
解析　在△OAB中，
∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，
∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos θ，
即AB＝100，
∵S四边形OACB＝S△OAB＋S△ABC
＝·OA·OB·sin θ＋·AB2，
∴S四边形OACB＝1002.
令tan φ＝2，
则S四边形OACB＝1002，
∴“直接监测覆盖区域”面积的最大值为
(10 000＋25 000)m2.
14．(2022·杭州质检)在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，AB＝5，AC＝3，cos∠ABC＝，则BC＝________，若AB 答案　7或　
解析　在△ABC中，由余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即9＝25＋BC2－2×5×BC×，
即7BC2－65BC＋112＝0，
所以BC＝或BC＝7.
若AB 由余弦定理可得cos∠BAC＝＝＝－，
所以∠BAC＝，
因为AD为∠BAC的角平分线，
所以∠BAD＝∠CAD＝，
所以S△ABC＝×3×5×sin 
＝×(3＋5)×AD×sin ，
解得AD＝.
15．(2022·乐山调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(b－c)2＝a2－bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，S△ABC＝，求△ABC的周长．
解　(1)因为(b－c)2＝a2－bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理可得cos A＝＝＝，
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由已知S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，所以bc＝6，
由已知及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
即7＝(b＋c)2－3×6，所以(b＋c)2＝25，
解得b＋c＝5或b＋c＝－5(舍)，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
16．(2022·德州模拟)如图，在△ABC中，BC＝2，AC＝，A＝，点M，N是边AB上的两点，∠MCN＝.

(1)求△ABC的面积；
(2)当BN＝时，求MN的长．
解　(1)在△ABC中，BC>AC，则A>B，
由正弦定理得＝，
即＝，解得sin B＝，
因为B∈(0，π)，
所以B＝或B＝(不符合题意，舍去)，
则sin∠ACB＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos A·sin B＝.
所以△ABC的面积为S△ABC＝·BC·AC·sin∠ACB＝.
(2)在△BCN中，BC＝2，BN＝，B＝，
由余弦定理可得
CN＝
＝＝1，
则有BC2＝BN2＋CN2，所以CN⊥AB，
在Rt△CMN中，CN＝1，∠MCN＝，
＝tan ＝，
则MN＝.

[考情分析]　解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三角形为背景，在用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角恒等变换进行化简，综合性较强，难度中等．
一、正弦定理、余弦定理
核心提炼
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
练后反馈
题目
1
2
3
5
12
15



正误









错题整理：

二、解三角形在实际生活中的应用
核心提炼
求实际问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理．
练后反馈
题目
4
11
13






正误









错题整理：

三、正弦定理、余弦定理的综合应用
核心提炼
以三角恒等变换、正弦定理、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、基本不等式、平面几何等交汇命题．
练后反馈
题目
6
7
8
9
10
14
16



正误










错题整理：


1．[T10补偿](2022·九江模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin B＝2sin A，acos B＝c＋1，则角A的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由正弦定理及asin B＝2sin A得，ab＝2a，∴b＝2.
∵acos B＝c＋1，
由余弦定理得a·＝c＋1，
∴a2－c2－b2＝2c，
由余弦定理得cos A＝
＝－＝－，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
2．[T4补偿](2022·贵阳模拟)如图，某数学学习小组要测量地面上一棵大树AB的高度(大树AB垂直于地面)，在与树底B同一水平面内选取两个测量基点C和D，在C点测得大树顶部A的仰角是，在D点测得大树顶部A的仰角是，测得水平面上的∠BDC＝，DC＝20米，则大树的高度为(　　)

A．10米 B．10 米
C．20米 D．20 米
答案　A
解析　依题意在Rt△ABD中，∠ADB＝，
所以AB＝BD，
在Rt△ABC中，∠ACB＝，
所以tan∠ACB＝tan ＝＝，
所以BC＝AB，令AB＝h，
在△BDC中，∠BDC＝，DC＝20，
由余弦定理，
得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，
即(h)2＝h2＋202－2h×20×，
即h2＋10h－200＝0，
解得h＝10或h＝－20(舍去)，
所以大树的高度为10米．
3．[T8补偿](2022·濮阳质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝＋，且S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则的取值范围是(　　)
A．(6,2] B．(6,4]
C. D．[，2)
答案　D
解析　在锐角△ABC中，由余弦定理及三角形面积定理得，
S△ABC＝(a2＋b2－c2)＝abcos C
＝absin C，
即有tan C＝，而C∈，则C＝，
又＝＋，
由正弦定理和余弦定理得，
＝＋，
化简得c＝2，
由正弦定理知＝＝＝＝4，
即a＝4sin A，b＝4sin B，
又△ABC是锐角三角形且C＝，
所以A∈，B＝－A∈，
解得A∈，
因此a＋b＝4(sin A＋sin B)
＝4
＝4
＝4sin，
由A∈得A＋∈，
sin∈，
所以＝∈[，2)．
4．[T13补偿](2022·上饶模拟)为创建全国文明城市，某市决定对某小区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以O为圆心，半径为一个单位长度，现规划出以下三块场地，在扇形AOC区域铺设草坪，△OCD区域种花，△OBD区域养殖观赏鱼，若∠AOC＝∠COD，且使这三块场地面积之和最大，则cos∠AOC＝________.

答案　
解析　设∠AOC＝θ，则∠COD＝θ，
根据题意易知θ∈，
∵OD＝OB，△OBD为等腰三角形，
则∠ODB＝∠OBD，
又∠AOD＝∠ODB＋∠OBD，
∴∠COD＝∠ODB＝∠OBD＝θ，
∴OC∥DB，
则三块场地的面积和为
S＝θ＋sin θ＋sin(π－2θ)
＝θ＋sin θ＋sin 2θ，θ∈，
则S′＝＋cos θ＋cos 2θ＝2cos2θ＋cos θ－，θ∈，
令S′＝0，cos θ＝或cos θ＝(舍)，
设φ为cos θ＝所对应的角，
∵y＝cos θ在θ∈上单调递减，
∴当θ∈(0，φ)时，S单调递增，
当θ∈时，S单调递减．
∴当cos∠AOC＝cos θ＝时，三块场地面积之和S最大．
5．[T7补偿](2022·枣庄模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，b2－bc＋c2＝36.
(1)求A；
(2)从以下三个条件：①b＝8；②sin B＝；③AC边上的高BH＝中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积．
解　(1)因为a＝6，b2－bc＋c2＝36，
所以b2－bc＋c2＝a2，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
又0 (2)选第①个条件：b＝8.
由b2－bc＋c2＝36可得c2－8c＋28＝0，
因为Δ＝82－4×28＝－48<0，
所以无解，这样的三角形不存在．
选第②个条件：sin B＝.
由正弦定理，得＝，
所以b＝＝＝4.
由b2－bc＋c2＝36，得c2－4c－20＝0.
解得c＝2＋2或c＝2－2(舍去)．
因此S△ABC＝bcsin A＝×4××＝6＋2.
选第③个条件：AC边上的高BH＝.
在△ABH中，由sin A＝，
所以AB＝＝＝，即c＝，
代入b2－bc＋c2＝36得b2－b＋＝0，
解得b＝＋或b＝－，这样的三角形不能唯一确定，不符合题意．