2023版考前三个月冲刺专题练　第27练　最值、范围问题

第27练　最值、范围问题

[考情分析]　解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现．

一、最值问题

例1　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．

解　(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，

所以C的方程为y2＝4x.

(2)由(1)知F(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则＝(x2－x1，y2－y1)，

＝(1－x2，－y2)，

因为＝9，所以

可得

又点P在抛物线C上，所以y＝4x1，

即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得y＝x2－，

则点Q的轨迹方程为y2＝x－.

设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，

联立y＝kx与y2＝x－并化简，

得k2x2－x＋＝0，

令Δ＝2－4k2·＝0，解得k＝±，

所以直线OQ斜率的最大值为.

规律方法　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法

一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．

跟踪训练1　(2022·淄博模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求当△F1AB面积最大时直线l的方程．

解　(1)由|F1F2|＝2c＝4，可得c＝2，

则F1(－2,0)，F2(2,0)，

由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2，

得a＝，所以b＝＝，

因此，椭圆E的标准方程为＋＝1.

(2)由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)，

联立消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，

Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0，

由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝－，

所以＝|F1F2|·|y1－y2|

＝2

＝2

＝，

令t＝>1，

则＝＝≤＝2，

当且仅当t＝，即当m＝±1时，等号成立，

此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.

二、范围问题

例2　(2016·全国Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

(1)证明　因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，

故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，

所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，

从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.

由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为

＋＝1(y≠0)．

(2)解　当l与x轴不垂直时，

设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，

N(x2，y2)．

由

得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝|x1－x2|＝.

过点B(1,0)且与l垂直的直线m的方程为

y＝－(x－1)，

点A到m的距离为，

所以|PQ|＝2＝4.

故四边形MPNQ的面积

S＝|MN||PQ|＝12.

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．

当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8)．

规律方法　范围问题的求解策略

解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有：

(1)利用判别式来构造不等式；

(2)利用已知参数的取值范围；

(3)利用隐含的不等关系；

(4)利用已知不等关系构造不等式；

(5)利用函数值域的求法．

跟踪训练2　(2022·北京人大附中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)．过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点F1作AB的垂线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求的取值范围．

解　(1)由题意知，c＝2.

由椭圆定义，△MNF2的周长为

4a＝4⇒a＝，

所以b＝＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)当l⊥x轴时，MN与x轴重合，不符合题意，

当直线l与x轴重合时，|MN|＝＝，

|AB|＝2a＝2，

所以＝；

当直线l斜率存在且不为0时，

设l的方程为x＝ty－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则直线MN的方程为x＝－y－2，

联立方程组⇒(t2＋3)y2－4ty－2＝0，Δ＝(4t)2＋8(t2＋3)>0，

由根与系数的关系知y1y2＝－，y1＋y2＝，

所以|AB|＝|y1－y2|＝·＝，

同理|MN|＝，

所以＝＝∈，

综上所述，的取值范围是.