2023版考前三个月冲刺专题练　第17练　空间几何体【无答案版】

第17练　空间几何体

1．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)

A．2  B．2  C．4  D．4

2．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　)

A．1.0×109 m3   B．1.2×109 m3

C．1.4×109 m3   D．1.6×109 m3

3．(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)

A．100π  B．128π  C．144π  D．192π

4．(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　)

A.  B.  C.  D.

5．(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)

A.  B.  C.  D.

6．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D．[18,27]

7．(2019·全国Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.

8．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

9．(2022·哈尔滨模拟)已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为(　　)

A．2π  B．3π  C．4π  D．5π

10．(2022·洛阳模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别是棱AD，DD1的中点，则经过B，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为(　　)

A．3  B.  C.  D.

11．(2022·九江模拟)正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥外接球半径R与内切球半径r的比值为(　　)

A．2  B．4  C．2  D.

12．(2022·青海模拟)在四边形ABCD中(如图1所示)，AB＝AD，∠ABD＝45°，BC＝BD＝CD＝2，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD(如图2所示)，使得∠A′BC＝90°，则四面体A′BCD外接球的表面积为(　　)

A．9π  B．8π  C．7π  D．6π

13．(2022·合肥模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E，F分别为BB1和D1C1的中点，则(　　)

A．EF⊥AC

B．三棱锥C1－CEF的体积为

C．三棱锥C1－CEF外接球的表面积为4π

D．三棱锥C1－CEF外接球球心到平面C1EF的距离为

14．(多选)(2022·长沙模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，O1，O2为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r＝2，则(　　)

A．球与圆柱的表面积之比为1∶2

B．平面DEF截得球的截面面积的最小值为π

C．四面体CDEF的体积的取值范围为

D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE＋PF的取值范围为[2＋2，4]

15．(2022·黄山质检)已知水平放置的边长为2的等边△ABC，其所在平面的上方有一动点P满足两个条件：①三棱锥P－ABC的体积为4；②三棱锥P－ABC的外接球球心到底面ABC的距离为2，则动点P的轨迹长度为________．

16．(2022·南京外国语学校模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，点P是正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O的球面上的点，点N为B1C1上一点，2NB1＝NC1，DP⊥BN，则线段PC长度的最大值为________．

[考情分析]　高考常考知识，主要考查几何体的表面积与体积、球的组合体问题．常以选择题、填空题的形式出现，部分题目难度较大．

一、空间几何体的截面问题

核心提炼

1．用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．

2．确定截面的主要依据有

(1)平面的四个基本事实及推论．

(2)直线和平面平行的判定和性质．

(3)两个平面平行的性质．

(4)球的截面的性质．

练后反馈

二、表面积与体积

核心提炼

1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式：

(1)圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；

(2)圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；

(3)圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；

(4)球的表面积S＝4πR2.

2．柱体、锥体和球的体积公式：

(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

(3)V球＝πR3.

练后反馈

三、多面体与球

核心提炼

多面体的外接球模型：

(1)长方体的外接球直径为体对角线，

则R＝；

正方体的外接球半径为R＝；

正方体的内切球半径为r＝.

(2)柱体模型

如图①，在三棱柱PB1C1－ABC中，已知PA⊥平面ABC，设外接球半径为R，球心为O，△ABC的外接圆圆心为O1，则R＝

＝，其中r＝O1A为△ABC外接圆半径．

(3)锥体模型

如图②，在正三棱锥P－ABC中，先求出高线长h＝PO1＝，

在Rt△OO1A中，R2＝OO＋r2＝(h－R)2＋r2，解方程求出R，其中R为外接球半径，r＝O1A为△ABC外接圆半径，O1为△ABC的外接圆圆心．

(4)正四面体(构造正方体)、对棱相等的三棱锥(构造长方体)

如图③：正四面体D－A′BC′可构造正方体(所有面对角线相等)；

如图④：对棱相等的三棱锥A－BCD可构造长方体(对面的对角线相等)．

练后反馈

1．[T11补偿](2022·九江模拟)如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则等于(　　)

A.   B. 

C．2－   D.(－1)

2．[T12补偿](2022·乐山质检)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为的正三角形，三棱锥P－ABC的体积为，Q为BC的中点，则过点Q的平面截球O所得截面面积的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

3．[T14补偿](多选)(2022·长沙模拟)香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是(　　)

A．AB⊥DE

B．直线CD与直线EF所成的角为45°

C．该六面体的体积为

D．该六面体内切球的表面积是

4．[T13补偿](多选)(2022·郑州模拟)勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则(　　)

A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a

B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为a

C．勒洛四面体的截面面积的最大值为(2π－)a2

D．勒洛四面体的体积V∈

5．[T12补偿](2022·潮州模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝，已知动点E从点C出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该鳖臑的外接球的表面积为________．

6．[T15补偿](2022·巴中模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝3，CC1＝2，M为CD的中点，动点P在侧面BCC1B1内，且∠APB＝∠MPC，则动点P的轨迹长度为________．