2023届云南省德宏州高三上学期期末教学质量统一监测数学试题含解析

这是一份2023届云南省德宏州高三上学期期末教学质量统一监测数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届云南省德宏州高三上学期期末教学质量统一监测数学试题 一、单选题1．设全集，集合，，则集合（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的交集、补集运算，求解.【详解】，则.故选：C.2．若复数为纯虚数，则等于（     ）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】利用复数运算法则及纯虚数定义可得，利用模长公式即可得.【详解】由为纯虚数，可得，即，所以.故选：B3．在中，若为边上的中线，点在上，且，则（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.【详解】如图所示，在中，因为为边上的中线，所以为的中点，所以由平行四边形法则有：，又点在上，且所以，所以，故选：A.4．如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（     ）A．三角形   B．矩形 C．正方形 D．菱形【答案】D【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.【详解】分别取的中点，连接，如图即为过点、B、E截正方体所得的截面图形，由题意可知：且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以,所以，同理，所以四边形为平行四边形，又因为，所以平行四边形为菱形，故选：.5．直线是曲线y＝lnx（x>0）的一条切线，则实数b等于（    ）A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln2【答案】A【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】设直线与曲线y＝lnx相切于点，由y＝lnx可得，于是有：，故选：A6．已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（     ）A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【分析】先将问题的零点问题转化为函数与的交点，分析出的值域，由此判断出零点个数．【详解】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数，因为函数的定义域为，所以当时，函数与的图象没有交点，当时，，所以当时，．又函数的周期为2，所以．当时，，所以当时，函数与的图象没有交点，作函数和函数在区间上的图象，观察图象可得两函数图象有5个交点,所以函数的零点个数为5.故选：C.7．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么k等于（     ）A． B．2C． D．【答案】D【分析】联立直线与抛物线，根据韦达定理以及等差中项和抛物线的性质计算即可求解.【详解】设，联立方程组，整理可得，，解得：，且，由，，又，2，成等差数列，所以，则，所以，解得：或，因为，所以，故选：D.8．已知函数是定义在R上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若，且，，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由判断在单调递增，再根据的奇偶性判断的奇偶性，将函数的不等式关系转换为，最后求解即可.【详解】因为为奇函数，所以是定义在R上的偶函数函数，由题意可知在单调递增，则在单调递减，设，所以，展开绝对值得，解得.故选：A 二、多选题9．在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ）A． B．C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“”【答案】BCD【分析】理解“类”的定义，容易判断AB选项的正误；而C，则由被4除所得的余数只有四种情况理解辨析即可；而D，则需要互为条件结果各证一次，进而得以判断.【详解】对于A，由得，故A错误；对于B，由得，故B正确；对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故，故C正确.对于D，若整数属于同一“类”，则，故，所以；反之，不妨设，则，若，则，即，所以整数属于同一“类”；故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确.故选：BCD.10．下述四个结论正确的是（     ）A．过点与圆相切的直线方程为B．直线与圆相交的充分不必要条件是C．直线表示过点的所有直线D．过点且在坐标轴上截距相等的直线方程是【答案】AB【分析】A选项设过点与圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即可，选项B利用充分不必要条件进行判断即可,选项C利用反例即可验证，选项D分截距为0，或不为0的情况讨论求出即可.【详解】对于选项A，设过点与圆相切的直线方程为：，由题设得：，即，解得，所以过点与圆相切的直线方程为，故A正确，选项B，若直线与圆相交，则，所以是直线与圆相交的充分不必要条件，故B正确，选项C，点在轴上，但是无论取何值，直线不能表示轴上的直线，故C不正确，选项D，若截距为0时，设直线方程为，将点代入得：，所以方程为：，若截距不为0时，设在坐标轴上的截距为，则设直线方程为：，将点代入得：，所以所求方程为：.故选项D不正确，故选：AB.11．已知函数，则下列说法中正确的是（     ）A．的值域是B．的图象关于直线对称C．当时，有D．方程有四个不同的根【答案】CD【分析】作出函数与的图像，根据图像对选项一一验证即可.【详解】函数与如下：对于选项A：根据图像可得的值域是或，故A错误；对于选项B：根据图像可得的图象不关于直线对称，故B错误；对于选项C：根据图像可得当时，，故C正确；对于选项D：根据与的图像可得，两图像有四个交点，即方程有四个不同的根，故D正确；故选：CD.12．已知函数，则（     ）A．是的一个周期B．的对称轴方程为C．在上单调递减D．的最小值是3【答案】AD【分析】利用周期函数的定义判断选项A；利用对称轴的性质判断选项B；利用三角恒等变换转化为正弦型函数，利用整体法确定单调性判断选项C；利用周期性，将函数化为分段函数研究最值，即可判断选项D．【详解】函数，对于选项A，，所以是函数的一个周期，故选项A正确；对于选项B，因为，又的周期为，所以，即，故直线为函数的对称轴方程，故选项B错误；对于选项C，时，，其中，则，故，所以在上不单调，故C错误；对于选项D，因为的周期为，不妨取一个周期,进行分析，则，当时，，其中，故，则，，故当时，，当时，，所以的最小值是3；当时，，其中，，则，，故当时，，当时，，所以的最小值是3；综上所述，函数的最小值为3，故选项D正确.故选：AD. 三、填空题13．高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，假定这三门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得个的概率是_______．【答案】【分析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的事件分别为，则，，，这位考生至少得2个的概率：．【详解】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的事件分别为，以为这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，所以，，，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个的概率：．故答案为：．14．二项式的常数项为____________．【答案】【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解即可.【详解】的展开式的通项公式为，而，令，得；令，得，舍去.所以的展开式中的常数项为．故答案为：15．已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足，则三棱锥体积取最大值时，则三棱锥外接球的体积为______.【答案】##【分析】根据正方体的性质可知进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为EF的中点O，从而得到球的半径，利用球的体积公式即得.【详解】取EF的中点O，连接，由正方体的性质可得平面，又∵，∴，即，同理，∴由直角三角形的性质可得，∴O为的外接球的球心，为外接球的直径，∵，∴的外接球的半径恒为1，∴三棱锥外接球的体积恒为，故答案为：.16．已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____．【答案】【分析】利用椭圆定义可得，再根据三角形三边长的关系可知，当共线时即可取得最值.【详解】由椭圆标准方程可知，又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以所以易知，当且仅当三点共线时等号成立；又，所以；即的范围为.故答案为： 四、解答题17．已知，．如果定义．(1)求的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，且，求．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由辅助角公式化简函数，再由整体法求单调递增区间；（2）分别由余弦定理、正弦定理及和差公式，可建立三个角间的方程，进而解得.【详解】（1）∵ ，，，∴，由得的单调递增区间是，．（2）由（1）知：，，解得．∵ ，由余弦定理得：，由正弦定理得：，∴ ，∴ ，在△ABC中，解得：或，∵，，∴，∴．18．如下图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E，F分别是，上的动点，且．(1)求证：平面；(2)如果，PC与底面ABCD所成角的正弦值为，求平面PAE与平面AED夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）由线面垂直证，再依次证平面、平面；（2）建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求面面角的余弦值.【详解】（1）∵ 底面，平面，∴ 、，又∵ ，且，平面，∴平面，又∵ ，∴ 平面．（2）由底面，得与底面所成角即为，，，则，，，以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．则，，，， 设平面的一个法向量为，，．则  ∴ ，令，则，．∵，平面，∴平面，而，则平面的一个法向量，则，由图可知平面与平面夹角为钝二面角，所以平面与平面AED夹角的余弦值为．19．2021年9月3日，中华人民共和国教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果．调研结果数据显示，我国大中小学的学生健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加；但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑．某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下表： 优秀良好及格不及格男生5010039060女生6010026060 (1)根据以上统计数据，完成下面列联表： 达标不达标合计男生   女生   合计    并据此判断：依据小概率值的独立性检验，能否认为该市学生体质测试是否达标与性别有关？（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）(2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率．在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列及数学期望．附：①；   ②a0.0500.0100.001xa3.8416.63510.828  【答案】(1)表格见解析，可以认为该市学生体质测试达标与性别无关(2)分布列见解析， 【分析】(1)根据题中的数据填写列联表，根据公式计算，再根据临界值表中数据比较大小，即可判断；(2)首先由题意得到男生体质测试优良率，女生体质测试优良率，写出的可能取值，利用独立事件概率的计算公式求出概率，并写出分布列，计算数学期望即可.【详解】（1）由题意得，列联表为： 达标不达标合计男生54060600女生42060480合计9601201080 假设：该市学生体质达标与性别无关．∵ 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，所以，可以认为该市学生体质测试达标与性别无关.（2）由题意知，男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.的所有可能取值为0，1，2，3，4.；；；；；所以，的分布列为： 所以，．20．如果数列满足：，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前n项和为，证明．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)通过累加法即可求；(2)借助进行放缩，从而裂项相消求和，最终得证.【详解】（1）∵ ，∴ 当时，，，…，，∴ ，，∴ ，显然，满足上式.所以．（2）由(1)知，．∵ ，∴ ，又 ，则，所以，．【点睛】关键点点睛：当没办法常规求和时，又是证明前项和有关的不等式，可以考虑放缩求和，比如这道题的第(2)问，借助进行放缩，从而裂项相消求和.21．已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为．如果双曲线的顶点和焦点分别是椭圆的焦点和顶点．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左右焦点分别是、，点P为椭圆上一点，过点作轴的垂线（不过点）交椭圆于点，连接延长交椭圆于点，连接．试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)直线恒过定点． 【分析】(1)设出椭圆方程，根据题意得到，然后根据渐近线方程得到，进而求解即可；(2)根据题意，设直线 方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，然后求出直线：，将韦达定理代入整理即可求解.【详解】（1）设椭圆方程为，由焦点为到渐近线的距离为，得：，又双曲线的渐近线方程为：，解得：，在椭圆中，，，，所以，椭圆的方程为：．（2）直线过定点．理由如下：设，，．因为直线经过点，所以可设直线 方程为．联立方程组：，  得：，∴ ，，，．∵ ，  ∴ 直线：，∵ ，，  ∴  直线：，可得：，整理得：，将①②③代入上式得：，∵ ，∴ 整理得：，令，得，故直线恒过定点．【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．已知函数，．当时，在上的最大值为．(1)求实数a的值；(2)，有．当时，求的最大值．【答案】(1)1(2)当时，；当时， 【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，写出最大值的表达式即可求得实数a的值；（2）将不等式化简变形可得不等式组在上恒成立，分别构造函数使其在上的最值成立即可得出的关系式，利用不等式性质代入即可求得其最大值.【详解】（1）设，则．所以，易知函数在上单调递减，且；所以当时，，函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增，因此，，所以，得即实数a的值为1.（2）由，得 ，即（I）对于，由题设知不等式在上恒成立，令，则在上恒成立，而 ，又 ，令，可得；，可得当时，有，可知在上单调递减，在上单调递增；即，又因为，即，即；     ①当时，有，在上单调递增，而，所以，得；   ②（II）对于，由题设知不等式在上恒成立，设，即在上成立，，又，令得，  可得，所以 在上单调递增，在上单调递减，即 ，得，即；  ③综上所述，当时，由①③得，即；当时，由②③得，即；即当时，；当时，【点睛】方法点睛：证明不等式成立的常用方法是通过将不等式合理变形，构造函数利用导函数判断出单调性并求出其最值，根据题意再进行求解即可.