初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式精品复习练习题

专题12.1   二次根式（基础篇）专项练习

一、单选题

1．下列根式中是最简二次根式的是（   ）

A． B． C． D．

2．要使式子有意义，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

3．下面说法正确的是（　　）

A．是最简二次根式

B．与是同类二次根式

C．形如 的式子是二次根式

D．若 ＝a，则a＞0

4．下列二次根式中，不能与合并的是(　 　)

A．2 B． C． D．

5．等式＝成立的条件是(       )

A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1

6．计算×＋×的结果在(　　)

A．4至5之间 B．5至6之间 C．6至7之间 D．7至8之间

7．若=–a,则实数a在数轴上的对应点一定在（  ）

A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点右侧 D．原点或原点左侧

8．计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．2 C． D．6

10．若6－的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋)y的值是(　　)

A．5－3 B．3 C．3－5 D．－3

二、填空题

11．若＝4－m，则m的取值范围是____________．

12．如果，那么代数式的值是_____．

13．-的相反数是____;-的倒数是____.

14．比较大小：_____ （填“＞”或“＜”或“＝”）．

15．若直角三角形的两直角边的长分别为a、b，且满足+（b﹣4）2＝0，则该直角三角形的斜边长为_____．

16．最简二次根式与是同类二次根式，则 ______ ．

17．若，则m－n的值为_____．

18．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．

19．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4+3＝7

则（1）用含x的式子表示m＝_____；

（2）当y＝﹣2时，n的值为_____．

20．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．

21．已知：，则_________．

三、解答题

22．计算下列各题：

（1）计算：×﹣（1﹣）2

（2）计算：6×+（π﹣2019）0﹣|5﹣|﹣（）﹣2

23．先化简，再求值：，其中，．

24．已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．

25．已知+2=b+8．

（1）求a、b的值；

（2）求a2-b2的平方根．

26．观察下列各式及其验算过程：

=2 ，验证： ===2；

=3，验证： ===3

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．

27．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中均为整数），则有．

∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝　   　，＝　   　；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空：   ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；

（3）若，且均为正整数，求的值．

参考答案

1．B

【分析】

根据最简二次根式必须满足的条件逐一分析即可

【详解】

解：=,故A错误;=,故C错;=2,故D错,综上所述,应选B.

故选B.

【点拨】

本题考查了最简二次根式的定义,正确理解最简二次根式的条件是解题的关键.

2．D

【详解】

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在有意义，必须.
故选D.

3．A

【分析】

根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义即可求出答案．

【详解】

A．是最简二次根式，正确；

B．，故2与不是同类二次根式，故B错误；

C．形如（a≥0）的式子是二次根式，故C错误；

D．若a，则a≥0，故D错误．

故选A．

【点拨】

本题考查了二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的相关概念，本题属于基础题型．

4．C

【解析】

A选项中，因为与是同类二次根式，所以两者可以合并；

B选项中，因为，与是同类二次根式，所以两者可以合并；

C选项中，因为，与不是同类二次根式，所以两者不能合并；

D选项中，因为，与是同类二次根式，所以两者可以合并.

故选C.

5．C

【解析】

【分析】

根据二次根式的被开方数必须是非负数，而且分母不能为0，可得x≥0，1-x＞0，解不等式组即可．

【详解】

解：由题意得， ,

解得：0≤x＜1．
故答案为：C.

【点拨】

本题主要考查了二次根式的乘除法运算和二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．

6．B

【解析】

分析：首先根据二次根式的计算法则得出原式的值为2+，然后根据二次根式的估算法则得出的估值，从而得出答案．

详解：原式=2+， ∵9＜15＜16，  ∴3＜＜4，  ∴5＜+2＜6，故选B．

点拨：本题主要考查的是二次根式的计算法则和二次根式的估算，属于基础题型．明确二次根式的估算法则是解题的关键．

7．D

【分析】

根据算术平方根和绝对值的意义可知a≤0，从而可判断出    实数a在数轴上的对应点位置.

【详解】

∵=–a,

∴a≤0，

∴a在原点或原点左侧.

故选D.

【点拨】

本题考查了算术平方根的意义，绝对值的意义及实数与数轴的关系，根据绝对值的意义求出a≤0是解答本题的关键.

8．B

【分析】

原式利用积的乘方变形为，再利用平方差公式计算，从而得出答案．

【详解】

=

=

=

=

故选B．

【点拨】

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

9．B

【分析】

先由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长，再求阴影部分的面积.

【详解】

由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，

∴图中阴影部分的面积为：，故选B．

【点拨】

本题考查矩形面积的求法，解题的关键是得到大正方形的边长和小正方形的边长.

10．B

【解析】

因为,所以,所以,所以

的整数部分x=2,小数部分y=,所以(2x＋)y=,故选B.

点拨:本题主要考查无理数的整数部分和小数部分,解决本题的关键是熟练掌握无理数的估算方法求无理数整数部分和小数部分.

11．m≤4

【分析】

根据二次根式的性质，可得答案.

【详解】

解: =4-m，得4-m≥0，

解得m≤4，

故答案为:m≤4.

【点拨】

本题考查了二次根式的性质（中，）熟记二次根式得性质是解题关键.

12．

【分析】

将所求式子化简后再将已知条件中整体代入即可求值；

【详解】

，

，

；

故答案为．

【点拨】

本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．

13．,

【解析】

-（-）=，故-的相反数是．

∵乘积为1的数互为倒数，∴得倒数为．

14．

【详解】

试题分析：两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小.-3=-；-2=-，根据1812可得：--.

考点：二次根式的大小比较

15．5

【分析】

直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，再利用勾股定理得出斜边长．

【详解】

解：∵，

.

∴该直角三角形的斜边长为：.

故答案为5．

【点拨】

本题主要考查了勾股定理以及二次根式的性质，正确得出a，b的值是解题关键．

16．2

【分析】

根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案．

【详解】

解：∵最简二次根式与是同类二次根式，

∴，

解得：，

故答案为2.

【点拨】

此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同．

17．4

【分析】

根据二次根式与平方的非负性即可求解.

【详解】

依题意得m-3=0,n+1=0,解得m=3,n=-1,

∴m-n=4

【点拨】

此题主要考查二次根式与平方的非负性，解题的关键是熟知二次根式与平方的非负性.

18．4

【分析】

直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．

【详解】

解：∵b＝+﹣2，

∴

∴1-2a=0，
解得：a=，则b=-2，
故ab=（）-2=4．
故答案为4．

【点拨】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．

19．3x；    1   

【分析】

（1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，直接写出m即可；（2）先转换成加法形式，表示出m，n，y，再把y=-2代入解出x，即可求出n.

【详解】

（1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则m=x+2x=3x；

（2）由题知m=3x，n=2x+3，y=m+n，则y=3x+2x+3=5x+3，把y=-2代入，-2=5x+3，解得x=-1，则n=2×（-1）+3=1.

【点拨】

本题是对新定义的考查，熟练理解题上新定义内容和一元一次方程是解决本题的关键.

20．4

【解析】

【分析】由已知判断x-1>0,x-5<0,再求绝对值.

【详解】因为1＜x＜5，

+|x-5|=|x-1|+|x-5|=x-1+5-x=4

故答案为4

【点拨】本题考核知识点：二次根式化简. 解题关键点：求绝对值.

21．6

【分析】

根据二次根式的运算法则即可求解．

【详解】

∵

∴a=3,b=2

∴6

故答案为：6．

【点拨】

此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．

22．（1）4﹣4（2）2﹣

【解析】

【分析】

（1）先进行二次根式的乘法运算、乘方计算再进行减法计算即可.

（2）先计算乘方，然后计算计算乘法、去绝对值，最后从左向右依次计算即可.

【详解】

解：（1）原式＝﹣（1﹣2+3）

＝2﹣4+2

＝4﹣4；

（2）原式＝2+1+5﹣3﹣4

＝2﹣．

【点拨】

本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是正确解题的关键

23．；

【分析】

根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即可求解．

【详解】

解：原式

，

将，代入得：

原式．

故答案为：．

【点拨】

本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．

24．

【解析】

【分析】

首先利用矩形的面积计算方法求得三角形的面积，根据三角形的面积公式：Sah列式计算即可求解．

【详解】

．

答：这条边上的高为．

【点拨】

本题考查了二次根式的混合运算，掌握矩形和三角形的面积计算方法是解决问题的关键．

25．（1）a=17，b=－8；（2）±15．

【分析】

（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值，从而得出b的值；

（2）根据（1）的结果即可求得a2-b2的值，然后利用平方根的定义求解．

【详解】

解：（1）有意义，

（2）由（1）知，a=17，b=－8，

，

a2-b2的平方根为±15．

【点拨】

本题考查了二次根式有意义的条件，平方根，解题的关键是熟练掌握概念．

26．（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用已知，观察 =2，=3，可得的值，再验证；（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律.

解：（1）∵ =2，=3，

∴=4=4=，

验证：==，正确；

（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，

∴，

验证：==,正确.

27．（1），；（2）13,4，2，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝13．

【详解】

(1)∵，

∴，

∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．

故答案为m2＋3n2，2mn．

(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．

故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．

(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．

∵4＝2mn，且m、n为正整数，

∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，

∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．