初中数学人教版八年级下册19.2.1 正比例函数精品巩固练习

这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.1 正比例函数精品巩固练习，共56页。试卷主要包含了2 正比例函数，6x的图象．，5kg应付多少元？，6cm，求，5．等内容，欢迎下载使用。

八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.2 正比例函数
题型一 正比例函数的概念
【例题1】（2022秋•金塔县期中）下列函数中y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x﹣3 B．y=3x C．y＝3﹣x D．y=x3
【变式1-1】（2022春•汶上县期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y=4x
【变式1-2】（2022春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2022秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　）
A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4 且b＝0 D．a≠4且b＝0
【变式1-4】（2021秋•静安区校级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）
A．圆的面积和它的半径
B．长方形的面积一定时，它的长和宽
C．正方形的周长与边长
D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高
【变式1-5】（2022秋•蜀山区校级月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．0或2 D．0
【变式1-6】（2022春•丰南区期末）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（　　）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【变式1-7】（2022春•金川区校级期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函数，则m+n＝　 　．
【变式1-8】（2022春•信都区期末）若一次函数y＝b﹣2x是正比例函数，则b＝　 　，此时的比例系数是 　 　．
【变式1-9】（2022秋•高陵区期末）若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，求m，n的值．





【变式1-10】（2021秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2）xb2−3且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是11的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+c的平方根．


题型二 正比例函数图象与系数的关系

【例题2】（2022•南京模拟）正比例函数y＝﹣3x的图象经过坐标系的（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限

【变式2-1】（2022春•古冶区期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（　　）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限

【变式2-2】（2022秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=−12x D．y＝﹣8x
【变式2-3】（2021•湘西州模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-4】在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-5】在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-6】（2022秋•丰顺县校级期末）在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-7】已知正比例函数y=57x，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-8】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【变式2-9】已知正比例函数y＝（m﹣1）x5−m2的图象在第二、四象限，求m的值．




题型三 画正比例函数的图象
【例题3】画出正比例函数y＝2x的图象．




【变式3-1】请在网格中画出y＝﹣2x，y=13x的图象．

【变式3-2】在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y=−13x，y＝﹣0.6x的图象．





【变式3-3】在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
（1）y=32x； （2）y＝﹣3x．





【变式3-4】用你认为最简单的方法画出下列函数的图象．
（1）y＝5x；（2）y=−52x．




【变式3-5】（1）画出函数y＝﹣x的图象；
（2）判断点A（−32，32），B（0，0），C（32，−32）是否在函数y＝﹣x的图象上．






题型四 利用正比例函数的性质比较函数值的大小
【例题4】（2022春•仓山区校级期中）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【变式4-1】已知，函数y＝3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2），则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1、y2无法比较大小
【变式4-2】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．以上都有可能
【变式4-3】已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y＝x的图象上的两点，则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＝y2
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．y1，y2的大小关系不确定
【变式4-4】（2022秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【变式4-5】（2022秋•丹东期末）已知点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝8x上，则m　 　n（填“＞”“＜”或“＝”）．

【变式4-6】（2022•宾阳县二模）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2
【变式4-7】（2022•榆阳区一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（　　）
A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b
【变式4-8】（2021春•沙河口区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（　　）
A．a≥b B．a＞b C．a≤b D．a＜b

【变式4-9】已知函数y＝x；y＝﹣2x．y=12x，y＝3x．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为　 　．








题型五 利用正比例函数的性质求参数的问题
【例题5】（2022春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围
是（　　）
A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0

【变式5-1】（2023•惠阳区开学）已知正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 　 ．
【变式5-2】（2022秋•任城区校级期末）在正比例函数y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y随x的增大而减小，则m＝　 　．
【变式5-3】（2022秋•句容市期末）在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是　 ．
【变式5-4】（2022春•曲阜市期末）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝　 　．
【变式5-5】（2021秋•上蔡县校级月考）若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，化简(a−1)2的结果为 　 ．
【变式5-6】（2021秋•杨浦区期中）如果函数y＝（m﹣1）xm2−3是正比例函数，且y的值随x的值的增大而增大，那么m的值 　 　．
【变式5-7】（2021•包河区校级开学）已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为 　．
【变式5-8】按照下列条件求k的取值范围：
（1）正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过一、三象限；
（2）正比例函数y＝（1−22k）x中，y随x的增大而增大；
（3）已知y＝（1﹣m）xm2−1的图象经过一、三象限．


【变式5-9】已知正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限．
（1）求m的值；
（2）当−34≤x＜2时，求y的最小值．






【变式5-10】已知函数y=(k+12)xk2−3（k为常数）．
（1）当k为何值时，该函数是正比例函数？
（2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？








题型六 求正比例函数解析式
【例题6】（2022秋•南海区校级月考）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是（　　）
A．y＝x+5 B．y=−32x C．y=−23x D．y＝﹣2x+3
【变式6-1】（2022•广州）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C．−35 D．−53
【变式6-2】（2022春•望城区期末）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12

【变式6-3】（2022春•聊城期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点(−1，12)，则k＝　−12　．

【变式6-4】（2021•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过A（m，6），B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（　　）
A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D．mn=65

【变式6-5】（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 　 　．


【变式6-6】（2021春•晋江市期末）已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝﹣6．
（1）求这个正比例函数的表达式；
（2）若点（a，y1），（a+2，y2）在该函数图象上，试比较y1，y2的大小．





【变式6-7】已知正比例函数的自变量x减少2时，对应的函数值y增加4，求该正比例函数的解析式．





【变式6-8】如果正比例函数y＝（m﹣2）xm2﹣8的图象经过二、四象限．求此函数解析式．




【变式6-9】已知点（a，1），（a+2，a）在一个正比例函数的图象上．
（1）求a的值；
（2）写出这个正比例函数的表达式．






【变式6-10】已知y与x成正比例，且当x＝﹣1时，y＝2．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）画出该函数的图象；
（3）求当y＝﹣8时x的值；
（4）如果x的取值范围是﹣2＜x＜3，求y的取值范围．



题型七 正比例函数在实际中的应用
【例题7】某商店零售一种商品，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表：
x/kg
1
2
3
4
5
6
7
8
y/元
2.4
4.8
7.2
9.6
12
14.4
16.8
19.2
（根据销售经验，顾客在此处零买商品均未超过8kg）
（1）由上表推出售价y（元）随质量x（kg）变化的函数关系式，并画出函数的图象；
（2）顾客购买这种商品5.5kg应付多少元？



【变式7-1】在水管放水的过程中，放水的时间x（分）与流出的水量y（立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则y关于x的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．

【变式7-2】一辆汽车由A地匀速驶往相距300千米的B地，汽车的速度是100千米/小时，那么汽车距离A地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．


【变式7-3】蜡烛点燃后缩短长度y（cm）与燃烧时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx（k≠0），已知长为21cm的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛变短3.6cm，求：
（1）y与x之间的函数解析式；
（2）自变量x的取值范围；
（3）此蜡烛几分钟燃烧完．


【变式7-4】小明家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设卧室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知，买这两种材料和用这两种材料铺设地面的工钱都不一样．小明根据地面的面积，对铺设卧室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，并用x（平方米）表示铺设地面的面积，用y（元）表示购买和铺设的总费用，并制成下图，请你根据图中所提供信息，解答下列问题：
（1）铺设卧室每平方米的费用为　 　元，铺设客厅每平方米的费用为　 　元；
（2）表示铺设卧室的费用y1（元）与面积x（平方米）之间的关系式为　 　；表示铺设客厅的费用y2（元）与面积x（平方米）之间的关系式为　 　．
（3）已知在小明的预算中，铺设瓷砖的工钱比铺设木质地板的工钱多5元，购买瓷砖的单价是购买木质地板的单价的34，那么铺设木质地板、瓷砖的工钱单价各是多少元？购买木质地板、瓷砖的单价各是多少元？





题型八 正比例函数的综合应用
【例题8】（2022春•德城区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．


【变式8-1】如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第二象限．过点A作AH⊥x轴，垂足为H．已知点A的横坐标为﹣3，且△AOH的面积为4.5．
（1）求该正比例函数的解析式．
（2）将正比例函数y＝kx向下平移，使其恰好经过点H，求平移后的函数解析式．




【变式8-2】已知正比例函数过点A（2，﹣4），点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B（0，4）且三角形ABP的面积为8．
求：（1）过点A的正比例函数关系式；
（2）点P的坐标．


【变式8-3】已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数y＝kx的解析式．
（2）点P为x轴上一点，△AOP的面积为4，求直线AP的函数解析式．








【变式8-4】（2022春•崆峒区期末）如图，正比例函数y＝kx经过点A（3，a），点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴于H，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是5时，求点C的坐标；
（3）若点M为y轴上一动点，N为平面内任意一点，是否存在点N，使得以点A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标：若不存在，请说明理由．



八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.2 正比例函数答案

题型一 正比例函数的概念
【例题1】（2022秋•金塔县期中）下列函数中y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x﹣3 B．y=3x C．y＝3﹣x D．y=x3
【分析】根据正比例函数的定义即可判断．
【解答】解：A、y＝x﹣3中，y是x的一次函数，不符合题意；
B、y=3x中，y是x的反比例函数，不符合题意；
C、y＝3﹣x中，y是x的一次函数，不符合题意；
D、y=x3中，y是x的正比例函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2022春•汶上县期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y=4x
【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k是常数且k≠0），即可解答．
【解答】解：A、y＝x，是正比例函数，故A符合题意；
B、y＝x+1，是一次函数，但不是正比例函数，故B不符合题意；
C、y＝x2，是二次函数，故C不符合题意；
D、y=4x，是反比例函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．

【变式1-2】（2022春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），逐一判断即可解答．
【解答】解：已知函数：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝2x2，
其中属于正比例函数的有：②，只有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　）
A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4 且b＝0 D．a≠4且b＝0
【分析】根据正比例函数的定义，即可得出关于a的一元一次不等式及b＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，
∴a−4≠0b=0，
解得：a≠4且b＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义是解题的关键．
【变式1-4】（2021秋•静安区校级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）
A．圆的面积和它的半径
B．长方形的面积一定时，它的长和宽
C．正方形的周长与边长
D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高
【分析】根据正比例函数的定义解决此题．
【解答】解：A．设圆的半径为r，面积为S，则S＝πr2，那么S与r不是正比例关系，故A不符合题意．
B．设长方形的面积为a，长为x，宽为y，则a＝xy，那么x与y成反比例函数关系，故B不符合题意．
C．设正方形的边长为x，周长为C，那么C＝4r，那么C与r成正比例关系，故C符合题意．
D．设三角形的面积为S，它的一条边长与这条边上的高分别为x与y，则S=12xy，那么x与y是反比例关系，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．
【变式1-5】（2022秋•蜀山区校级月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．0或2 D．0
【分析】根据x的次数为1，系数不等于0，计算即可．
【解答】解：根据题意得：|m−1|=1m−2≠0，
∴m＝0，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意x的系数不等于0这个条件．
【变式1-6】（2022春•丰南区期末）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（　　）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的方程组，求出k的值即可．
【解答】解：∵函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴k+1≠0k2−1=0，
解得k＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，即形如y＝kx（k≠0）的函数叫正比例函数．
【变式1-7】（2022春•金川区校级期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函数，则m+n＝　 　．
【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），可得|m|﹣1＝1且m﹣2≠0，n﹣4＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|m|﹣1＝1且m﹣2≠0，n﹣4＝0，
∴m＝±2且m≠2，n＝4，
∴m＝﹣2，n＝4，
∴m+n＝﹣2+4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式1-8】（2022春•信都区期末）若一次函数y＝b﹣2x是正比例函数，则b＝　 　，此时的比例系数是 　 　．
【分析】根据正比例函数的定义，形如y＝kx（k为常数且k≠0），即可解答．
【解答】解：若一次函数y＝b﹣2x是正比例函数，则b＝0，此时的比例系数是﹣2，
故答案为：0，﹣2．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式1-9】（2022秋•高陵区期末）若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，求m，n的值．
【分析】根据正比例函数的定义得到m+1≠0且|m+2|＝1，﹣2n+8＝0，然后解方程求出m与n的值．
【解答】解：∵y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，
∴m+1≠0且|m+2|＝1，﹣2n+8＝0，
解得m＝﹣3，n＝4，
所以m的值为﹣3，n的值为4．
【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
【变式1-10】（2021秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2）xb2−3且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是11的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）根据正比例函数的定义、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值；
（2）把（1）中a，b，c的值代入计算求得2a﹣b+c，进而即可求得2a﹣b+c的平方根．
【解答】解：（1）∵函数y＝（b+2）xb2−3且y是x的是正比例函数，
∴b+2≠0b2−3=1，
∴b＝2，
∵5a+4的立方根是4，
∴5a+4＝43，
∴a＝12，
∵c是11的整数部分，
∴c＝3；
（2）2a﹣b+c＝2×12﹣2+3＝25，则2a﹣b+c的平方根为±5．
【点评】本题考查正比例函数、立方根、估算无理数的大小，掌握正比例函数的定义、立方根的意义是正确解答的前提，确定a、b、c的值是正确解答的关键．

题型二 正比例函数图象与系数的关系

【例题2】（2022•南京模拟）正比例函数y＝﹣3x的图象经过坐标系的（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
【分析】根据正比例函数图象的性质可求直线所经过的象限．
【解答】解：根据k＝﹣3＜0，
所以正比例函数y＝﹣3x的图象经过第二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．

【变式2-1】（2022春•古冶区期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（　　）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
【分析】根据正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、当x＝3时，y＝9，故本选项错误；
B、∵直线y＝3x是正比例函数，∴它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确；
C、∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、∵直线y＝3x是正比例函数，k＝3＞0，∴此函数的图象经过一三象限，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【变式2-2】（2022秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=−12x D．y＝﹣8x
【分析】先根据正比例函数中，y随x的增大而增大判断出k的符号，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：∵正比例函数中，y随x的值增大而增大，
∴k＞0，
A、k＝2＞0，故本选项符合题意；
B、k＝﹣2＜0，故本选项不符合题意；
C、k=−12＜0，故本选项不符合题意；
D、k＝﹣8＜0，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大是解答此题的关键．
【变式2-3】（2021•湘西州模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数的图象是经过原点的直线解答即可．
【解答】解：A、不是正比例函数图象，故此选项错误；
B、是正比例函数图象，故此选项正确；
C、不是正比例函数图象，故此选项错误；
D、不是正比例函数图象，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了正比例函数的图象，关键是掌握正比例函数的性质．
【变式2-4】在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由于正比例函数的图象是一条经过原点的直线，由此即可确定选择项．
【解答】解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴函数y＝﹣kx（k＜0）的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数，
故选：C．
【点评】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．
【变式2-5】在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用正比例函数的性质可判断k＜0，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴直线y＝kx经过原点和第二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数图象：正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点的直线，当k＞0，直线经过第一、三象限；当k＜0，直线经过第二、四象限．
【变式2-6】（2022秋•丰顺县校级期末）在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据正比例函数的性质判断出k1的符号，即可根据k1k2＜0判断k2的符号，再根据正比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵在y＝k1x中，y随x的增大而减小，
∴k1＜0，
∴函数y＝k1x图象在二、四象限，
∵k1k2＜0，
∴k2＞0，
∴函数y＝k2x的图象在一、三象限，
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键．
【变式2-7】已知正比例函数y=57x，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】正比例函数y＝kx，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小，进而判断①②是否正确；再运用上述正比例函数的单调性即可得到当x＞0时与当x＞1时，y的取值范围，进而再判断③④是否正确．
【解答】解：∵正比例函数y=57x中57＞0，
∴y随x的增大而增大，y随x的减小而减小，故①正确，②正确；
③当x＞0时，y＞0，正确；
④当x＞1时，y＞57，错误，
∴正确的是①②③，
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数的性质应用，掌握正比例函数的性质是解题的关键．

【变式2-8】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．
【解答】解：∵y＝ax，y＝bx，y＝cx的图象都在第一三象限，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∵直线越陡，则|k|越大，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y＝kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．

【变式2-9】已知正比例函数y＝（m﹣1）x5−m2的图象在第二、四象限，求m的值．
【分析】当一次函数的图象经过二、四象限可得其比例系数为负数，据此求解．
【解答】解：∵正比例函数y＝（m﹣1）x5−m2，函数图象经过第二、四象限，
∴m﹣1＜0，5﹣m2＝1，
解得：m＝﹣2．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．




题型三 画正比例函数的图象
【例题3】画出正比例函数y＝2x的图象．
【分析】根据直线的解析式知其图象过原点，再令x＝1求出y的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题考查了正比例函数的图象，解答此题的关键找出该直线上任意两点的坐标．
【变式3-1】请在网格中画出y＝﹣2x，y=13x的图象．

【分析】利用描点法画出图象即可解决问题．
【解答】解：如图所示，直线y＝﹣2x与直线y=13x即为所求．

【点评】此题主要考查了画正比例函数图象，关键是掌握正比例函数图象所经过的点的坐标求法．
【变式3-2】在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y=−13x，y＝﹣0.6x的图象．
【分析】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可．
【解答】解：
x
0
1
y＝2x
0
2
y=−13x
0
−13
y＝﹣0.6x
0
﹣0.6

【点评】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画出函数图象，再根据函数图象找出规律．
【变式3-3】在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
（1）y=32x； （2）y＝﹣3x．
【分析】根据正比例函数图象的性质可得出它们所经过的两点：原点和（1，k），画图象即可．
【解答】解：采用两点法，并且取各点的坐标值为整数最简单．
（1）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．
当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝3，则该直线经过点（0，0），（2，3）．
其图象如图所示．
（2）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．
当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝﹣3，则该直线经过点（0，0），（1，﹣3）．
其图象如图所示．

【点评】本题考查了正比例函数的图象，正比例函数的图象一定过（0，0），（1，k）．
【变式3-4】用你认为最简单的方法画出下列函数的图象．
（1）y＝5x；（2）y=−52x．
【分析】经过（0，0）和（1，k）作出正比例函数y＝kx的图象即可．
【解答】解：（1）y＝5x的图象经过（0，0）和（1，5），
图象为：

（2）正比例函数y=−52x的图象经过（0，0）和（1，−52），其图象为：

【点评】本题考查了正比例函数的图象的知识，了解正比例函数的图象所经过的点是解答本题的关键．
【变式3-5】（1）画出函数y＝﹣x的图象；
（2）判断点A（−32，32），B（0，0），C（32，−32）是否在函数y＝﹣x的图象上．
【分析】（1）画出函数图象即可；
（2）把各点坐标代入解析式判断即可．
【解答】解：（1）图象如图：

（2）把x=−32代入y＝﹣x=32，所以A在图象上；
把x＝0代入y＝﹣x＝0，所以B在图象上；
把x=32代入y＝﹣x=−32，所以C在图象上．
【点评】此题考查正比例函数问题，关键是把各点坐标代入解析式判断．

题型四 利用正比例函数的性质比较函数值的大小
【例题4】（2022春•仓山区校级期中）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【分析】利用正比例函数的性质，可得出点A，B分别在一、三象限，结合点A，B的坐标，可得出m＞0，n＜0．
【解答】解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），
∴点A，B分别在一、三象限，
∴m＞0，n＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限”是解题的关键．

【变式4-1】已知，函数y＝3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2），则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1、y2无法比较大小
【分析】分别把点A（1，y1），点B（﹣2，y2）代入函数y＝3x，求出点y1，y2的值，再比较其大小即可．
【解答】解：∵函数y＝3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2），
∴y1＝3，y2＝﹣6．
∵3＞﹣6，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【变式4-2】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．以上都有可能
【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x1＞x2，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式4-3】已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y＝x的图象上的两点，则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＝y2
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．y1，y2的大小关系不确定
【分析】由1＞0结合一次函数的性质即可得出该正比例函数为增函数，再结合1＜2即可得出结论．
【解答】解：∵1＞0，
∴正比例函数y随x增大而增大，
∵1＜2，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是得出y＝x为增函数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数确定一次函数的增减性是关键．
【变式4-4】（2022秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x1﹣x2＜0，可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，且x1﹣x2＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式4-5】（2022秋•丹东期末）已知点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝8x上，则m　 　n（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】由8＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣1＜2，可得出m＜n．
【解答】解：∵5＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝8x上，且﹣1＜2，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．

【变式4-6】（2022•宾阳县二模）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据直线y＝﹣3x判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣3x，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查的是正比例函数的增减性，即正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．

【变式4-7】（2022•榆阳区一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（　　）
A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b
【分析】利用正比例函数的定义，可求出m的值，进而可得出m﹣1＝﹣2＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合1＞﹣1，即可得出a＜b．
【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，
∴m−1≠0m2−1=0，
解得：m＝﹣1，
∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵A（1，a）和B（﹣1，b）在函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象上，且1＞﹣1，
∴a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．

【变式4-8】（2021春•沙河口区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（　　）
A．a≥b B．a＞b C．a≤b D．a＜b
【分析】由正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限可知k＜0，则y随x的增大而减小，进而可得a＜b．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1＜1，
∴a＜b，
故选：D．
【点评】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是确定k的取值范围．
【变式4-9】已知函数y＝x；y＝﹣2x．y=12x，y＝3x．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为　 　．

【分析】（1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令x＝1求出y的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象；
（2）比较分析可得答案．
（3）由（2）分析的规律即可判断．
【解答】解：（1）如图：

（2）观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的夹角越小．
（3）由（2）规律可知，k1＞k2，
故答案为k1＞k2．
题型五 利用正比例函数的性质求参数的问题
【例题5】（2022春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围
是（　　）
A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0
【分析】先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，
∴k﹣3＜0，解得k＜3．
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．
【变式5-1】（2023•惠阳区开学）已知正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 　 ．
【分析】根据正比例函数的性质，得到m＜0，|m|＝1，然后求解即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，
∴m＜0，|m|＝1，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的有关性质．
【变式5-2】（2022秋•任城区校级期末）在正比例函数y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y随x的增大而减小，则m＝　 　．
【分析】x的次数为1且x的系数为负．
【解答】解：∵|m|﹣1＝1，
∴m＝±2，
又∵y随x的增大而减小，
∴m+1＜0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查一次函数的概念与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
【变式5-3】（2022秋•句容市期末）在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是　 ．
【分析】先根据在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2．
故答案为：m＜2．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．
【变式5-4】（2022春•曲阜市期末）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝　 　．
【分析】根据正比例函数的定义可得|m|＝1，求出m的值，再根据正比例函数的增减性，可得3m﹣1＜0，求出m的取值范围，从而确定m的值．
【解答】解：正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），
∴|m|＝1，
∴m＝±1，
∵y随x的增大而减小，
∴3m﹣1＜0，
∴m＜13，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了正比例函数的定义和性质，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题的关键．
【变式5-5】（2021秋•上蔡县校级月考）若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，化简(a−1)2的结果为 　 ．
【分析】由正比例函数的图象位置判断a的取值范围，再根据二次根式的性质化简．
【解答】解：∵正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，
∴a﹣2＞0，
∴a﹣1＞0，
∴(a−1)2=|a﹣1|＝a﹣1．
故答案为：a﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的性质和正比例函数的性质，熟练掌握二次根式的性质与正比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
【变式5-6】（2021秋•杨浦区期中）如果函数y＝（m﹣1）xm2−3是正比例函数，且y的值随x的值的增大而增大，那么m的值 　 　．
【分析】根据题意得不等式，于是得到结论．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）xm2−3是正比例函数，且y的值随x的值的增大而增大，
∴m2﹣3＝1且m﹣1＞0，
∴m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小是解答此题的关键．
【变式5-7】（2021•包河区校级开学）已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为 　．
【分析】根据函数的增减性，再由x的取值范围得出x＝﹣2时，y＝3或x＝2时，y＝3，分别代入代入函数解析式得出k的值即可．
【解答】解：当k＞0时，函数y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y＝3，
∴2k＝3，解得k=32；
当k＜0时，函数y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y＝3，
∴﹣2k＝3，解得k=−32．
∴k的值为32或−32，
故答案为32或−32．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
【变式5-8】按照下列条件求k的取值范围：
（1）正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过一、三象限；
（2）正比例函数y＝（1−22k）x中，y随x的增大而增大；
（3）已知y＝（1﹣m）xm2−1的图象经过一、三象限．
【分析】（1）根据正比例函数图象在坐标平面内的位置与系数的关系作答；
（2）先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可；
（3）根据正比例函数图象的性质，得k﹣1＞0，解不等式即可求得k的取值范围；
【解答】解：（1）由正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第一、三象限，
可得：k﹣2＞0，则k＞2；
（2）∵正比例函数y＝（1−22k）x中，y随x的增大而增大，
∴1−22k＞0，解得k＜2．
（3）由正比例函数y＝（1﹣m）xm2−1的图象经过一、三象限，
可得：m2﹣1＝1，且1﹣m＞0，
则m=−2．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大．
【变式5-9】已知正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限．
（1）求m的值；
（2）当−34≤x＜2时，求y的最小值．
【分析】（1）根据k＞0时，正比例函数的图象经过第一、三象限，列式计算即可得解；
（2）根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：由正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限，
可得：3m﹣2＞0，3﹣|m|＝1，
解得m＝2；
（2）由（1）知，m＝2，
∴正比例函数的解析式为y＝4x，
当x=−34时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝8，
∴当−34≤x＜2时，y的最小值是﹣3．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y＝kx（k≠0），当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
【变式5-10】已知函数y=(k+12)xk2−3（k为常数）．
（1）当k为何值时，该函数是正比例函数？
（2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？
【分析】（1）由正比例函数的定义得到方程组解得即可；
（2）由正比例函数的性质即可得到结论；
（3）由正比例函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意有k2−3=1k+12≠0，解得：k＝±2，
∴当k＝±2时，该函数是正比例函数；
（2）由（1）得，当k＝2时，正比例函数y随x的增大而增大；
（3）由（1）得，当k＝﹣2时，正比例函数y随x的增大而减少．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数的定义，熟记函数的定义是解题的关键．

题型六 求正比例函数解析式
【例题6】（2022秋•南海区校级月考）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是（　　）
A．y＝x+5 B．y=−32x C．y=−23x D．y＝﹣2x+3
【分析】根据待定系数法即可得到函数解析式．
【解答】解：设函数解析式为y＝kx，将（﹣2，3）代入函数解析式，得
﹣2k＝3．
解得k=−32，
函数解析式为y=−32x，
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．

【变式6-1】（2022•广州）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C．−35 D．−53
【分析】直接把已知点代入，进而求出k的值．
【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，
∴﹣5＝3k，
解得：k=−53，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出k的值是解题关键．
【变式6-2】（2022春•望城区期末）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
【分析】先利用待定系数法求出y＝﹣3x，然后计算x＝1对应的函数值．
【解答】解：设y＝kx，
∵当x＝2时，y＝﹣6，
∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
∴y＝﹣3x，
∴当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k即可．
【变式6-3】（2022春•聊城期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点(−1，12)，则k＝　−12　．
【分析】本题中只需把点的坐标代入函数解析式，即可求得k值，从而解决问题．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣1，12），
∴12=−k即k=−12，
∴该正比例函数的解析式为y=−12x．
故答案为：−12．
【点评】考查了待定系数法求正比例函数解析式，此类题目可直接将点的坐标代入解析式，然后利用方程解决问题．
【变式6-4】（2021•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过A（m，6），B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（　　）
A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D．mn=65
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，再根据正比例函数图象上点的坐标可得6＝km，n＝5k，再利用含m、n的式子表示k，进而可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，
∵图象经过A（m，6），B（5，n）两点，
∴6＝km，n＝5k，
∴k=6m，k=n5，
∴6m=n5，
∴mn＝30，
故选：C．
【点评】此题主要考查了用待定系数法求正比例函数解析式，解决问题的关键是掌握函数图象上的点的坐标必须满足函数解析式．
【变式6-5】（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 　 　．
【分析】根据正比例函数的性质以及正比例函数图象是点的坐标特征即可求解．
【解答】解：∵函数y＝kx经过二、四象限，
∴k＜0．
若函数y＝kx经过（﹣1，1），则1＝﹣k，即k＝﹣1，
故函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1）时，k＜0且k≠﹣1，
∴函数解析式为y＝﹣2x，
故答案为y＝﹣2x．
【点评】考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．

【变式6-6】（2021春•晋江市期末）已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝﹣6．
（1）求这个正比例函数的表达式；
（2）若点（a，y1），（a+2，y2）在该函数图象上，试比较y1，y2的大小．
【分析】（1）利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）根据正比例函数的性质进行判断．
【解答】解：（1）设y＝kx，
把x＝2，y＝6代入得2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
所以这个正比例函数的表达式为y＝﹣3x；
（2）因为k＝﹣3＜0，
所以y随x的增大而减小，
又因为a+2＞a，
所以y1＞y2．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：先设出一次函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把一组对应值代入得到k得到正比例函数解析式．也考查了正比例函数的性质．
【变式6-7】已知正比例函数的自变量x减少2时，对应的函数值y增加4，求该正比例函数的解析式．
【分析】设该正比例函数解析式为y＝kx①，由题意得到：y+4＝k（x﹣2）②，联立方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该正比例函数解析式为y＝kx①，
由题意得到：y+4＝k（x﹣2）②，
联立①②，解得k＝﹣2．
所以，该正比例函数的解析式是y＝﹣2x．
【点评】考查了待定系数法确定函数关系式，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意，列出方程组是解题的难点．
【变式6-8】如果正比例函数y＝（m﹣2）xm2﹣8的图象经过二、四象限．求此函数解析式．
【分析】利用正比例函数的定义和正比例函数的性质得到m2﹣8＝1且m﹣2＜0，然后求出满足两个条件的m的值即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝（m﹣2）xm2﹣8的图象经过二、四象限，
∴m2﹣8＝1且m﹣2＜0，
∴m＝﹣3，
∴此函数解析式为y＝﹣5x．
【点评】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k≠0），正比例函数图象过原点，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．

【变式6-9】已知点（a，1），（a+2，a）在一个正比例函数的图象上．
（1）求a的值；
（2）写出这个正比例函数的表达式．
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，把已知两点的坐标代入可得到关于k、m的方程组，可求得m、k的值，则可求得正比例函数解析式．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，
把已知点的坐标代入可得ka=1k(a+2)=a，
解得k=12a=2或k=−1a=−1，
∴a的值为﹣1或12；
（2）正比例函数解析式为y＝﹣x或y=12x．
【点评】本题主要考查正比例函数解析式的求法，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键．

【变式6-10】已知y与x成正比例，且当x＝﹣1时，y＝2．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）画出该函数的图象；
（3）求当y＝﹣8时x的值；
（4）如果x的取值范围是﹣2＜x＜3，求y的取值范围．

【分析】（1）根据正比例的定义设y＝kx（k≠0），然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；
（2）利用两点法作出函数图象即可；
(3)把y＝﹣8代入解析式即可求得x的值；
（4）求得x＝﹣2和x＝3时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围．
【解答】解：（1）设该正比例函数的解析式为y＝kx，
把x＝﹣1,y＝2,得2＝﹣k,
解得k＝﹣2，
所以y与x之间的函数解析式为y＝﹣2x；
（2）画图象如图，

（3）把y＝﹣8代入y＝﹣2x,得﹣2x＝﹣8，
解得x＝4；
（4）当x＝﹣2时，y＝﹣2x＝4；
当x＝3时，y＝﹣2x＝﹣6，
∵﹣2＜0，
∴y 随x的增大而减小
∴当﹣2＜x＜3时，﹣6＜y＜4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的作法，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．



题型七 正比例函数在实际中的应用
【例题7】某商店零售一种商品，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表：
x/kg
1
2
3
4
5
6
7
8
y/元
2.4
4.8
7.2
9.6
12
14.4
16.8
19.2
（根据销售经验，顾客在此处零买商品均未超过8kg）
（1）由上表推出售价y（元）随质量x（kg）变化的函数关系式，并画出函数的图象；
（2）顾客购买这种商品5.5kg应付多少元？
【分析】（1）由表中数据可得售价y（元）随质量x（kg）变化的函数关系式，并根据函数解析式画出函数图象；
（2）把x＝5.5kg代入（1）中解析式即可．
【解答】解：（1）观察表格中数据可知，质量每增加1kg，售价就增加2.4元，
∴这种变化规律可以表示为y＝2.4x（0≤x≤8）．
这个函数的图象如图所示：

（2）将x＝5.5代入解析式，得y＝2.4×5.5＝13.2，
答：顾客购买这种商品5.5kg应付13.2元．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是根据表中数据求出函数解析式．

【变式7-1】在水管放水的过程中，放水的时间x（分）与流出的水量y（立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则y关于x的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟”列出函数关系式，然后确定函数的图象即可．
【解答】解：∵水管每分钟流出的水量是0.2立方米，
∴流出的水量y和放水的时间x的函数关系为：y＝0.2x，
∵放水的过程共持续10分钟，
∴自变量的取值范围为（0≤x≤10），
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的图象，解题的关键是能够根据实际问题列出函数关系式．
【变式7-2】一辆汽车由A地匀速驶往相距300千米的B地，汽车的速度是100千米/小时，那么汽车距离A地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】注意分析s随t的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
【解答】解：汽车从A地出发，距离A地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）应成正比例函数关系，并且S随t的增大而增大，自变量t的取值范围是t≥0．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象问题．

【变式7-3】蜡烛点燃后缩短长度y（cm）与燃烧时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx（k≠0），已知长为21cm的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛变短3.6cm，求：
（1）y与x之间的函数解析式；
（2）自变量x的取值范围；
（3）此蜡烛几分钟燃烧完．
【分析】（1）根据燃烧的蜡烛＝每分钟燃烧的长度×时间，建立函数关系式用待定系数法求解；
（2）当y＝21时代入（1）的解析式就可以求出x的值从而可以求出结论；
（3）令y＝21即可求得燃烧完使用的时间．
【解答】解：（1）设y＝kx（k≠0），由题意，得
3.6＝6k，
解得k＝0.6，
则用x表示函数y的解析式为y＝0.6x；
（2）当y＝0时，x＝0，
当y＝21时，x＝35
则自变量的取值范围是：0≤x≤35；
（3）当y＝21时，0.6x＝21，x＝35，
所以点燃35分钟后可燃烧光．
【点评】此题考查了根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值，特别注意自变量的取值范围．
【变式7-4】小明家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设卧室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知，买这两种材料和用这两种材料铺设地面的工钱都不一样．小明根据地面的面积，对铺设卧室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，并用x（平方米）表示铺设地面的面积，用y（元）表示购买和铺设的总费用，并制成下图，请你根据图中所提供信息，解答下列问题：
（1）铺设卧室每平方米的费用为　 　元，铺设客厅每平方米的费用为　 　元；
（2）表示铺设卧室的费用y1（元）与面积x（平方米）之间的关系式为　 　；表示铺设客厅的费用y2（元）与面积x（平方米）之间的关系式为　 　．
（3）已知在小明的预算中，铺设瓷砖的工钱比铺设木质地板的工钱多5元，购买瓷砖的单价是购买木质地板的单价的34，那么铺设木质地板、瓷砖的工钱单价各是多少元？购买木质地板、瓷砖的单价各是多少元？

【分析】（1）可根据（25，2750）求出铺设客厅每平米的费用，根据（30，4050）求出铺设居室每平米的费用；
（2）根据（1）中求出的铺设居室的每平米的费用，也就是居室的费用y与面积x的正比例函数的k的值，因此，y＝135x；
（3）可根据铺设客厅每平米的费用＝铺设每平米的瓷砖的工钱+每平米瓷砖的价钱，铺设居室每平米的费用＝铺设每平米的木质地板的工钱+每平米木质地板的价钱，来列方程组求解．
【解答】解：（1）由题得：4050÷30＝135，2750÷25＝110，
即预算中铺设居室的费用为135元/m2；铺设客厅的费用为110元/m2；
故答案是：135；110；
（2）y1＝135x（0≤x≤30）；y2＝110x（0≤x≤25）；
故答案是：y1＝135x（0≤x≤30）；y2＝110x（0≤x≤25）；
（3）设铺木质地板的工钱为a元/平方米，那么铺瓷砖的工钱为（a+5）元/平方米，
设购买1m2木质地板费用是b元，那么购买1m2的瓷砖的费用是34b元．根据题意有：
a+b=135a+5+34b=110，
解得a=15b=120，
因此a+5＝20元/m2，34b＝90元．
答：铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱分别是15元和20元；购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用分别是120元和90元．

【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及二元一次方程组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．

题型八 正比例函数的综合应用
【例题8】（2022春•德城区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先利用三角形面积公式求出AH得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）设P（t，0），利用三角形面积公式得到12•|t|•3＝10，然后解关于t的绝对值方程即可．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8，
∴12•4•AH＝8，
解得AH＝4，
∴A（4，﹣4），
把A（4，﹣4）代入y＝kx得4k＝﹣4，
解得k＝﹣1，
∴正比例函数解析式为y＝﹣x；
（2）存在．
设P（t，0），
∵△AOP的面积为10，
∴12•|t|•4＝10，
∴t＝5或t＝﹣5，
∴P点坐标为（5，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y＝kx，然后把函数图象上一个已知点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．也考查了三角形面积公式．
【变式8-1】如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第二象限．过点A作AH⊥x轴，垂足为H．已知点A的横坐标为﹣3，且△AOH的面积为4.5．
（1）求该正比例函数的解析式．
（2）将正比例函数y＝kx向下平移，使其恰好经过点H，求平移后的函数解析式．

【分析】（1）由点A的纵坐标、点A所在的象限结合△AOH的面积为4.5，可求出点A的坐标，再根据点A的坐标利用待定系数法，可求出正比例函数的表达式；
（2）根据平移的规律即可求得．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为﹣3，且△AOH的面积为4.5
∴点A的纵坐标为3，点A的坐标为（﹣3，3），
∵正比例函数y＝kx经过点A，
∴﹣3k＝3解得k＝﹣1
∴正比例函数的解析式是y＝﹣x；
（2）∵AH＝3，
∴将正比例函数y＝﹣x向下平移3个单位后经过点H，
∴平移后的函数解析式为y＝﹣x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，解题的关键是根据三角形的面积找出点A的坐标．

【变式8-2】已知正比例函数过点A（2，﹣4），点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B（0，4）且三角形ABP的面积为8．
求：（1）过点A的正比例函数关系式；
（2）点P的坐标．

【分析】（1）设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把A（2，﹣4）代入即可求出k的值；
（2）设出P点坐标，再分x＜0与x＞0两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）设正比例函数为y＝kx（k≠0），
∵A（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，解得k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为：y＝﹣2x．
（2）设P（x，﹣2x）
如图1所示，当x＜0时，S△ABP＝S△PBO+S△ABO＝﹣4x÷2+4×2÷2＝8，
解得x＝﹣2，
∴P（﹣2，4）；
②如图2所示，
当x＞0时 S△ABP＝S△PBO﹣S△ABO＝4x÷2﹣4×2÷2＝8，
解得x＝6．
∴P（6，﹣12）．
综上所述，P点坐标为（﹣2，4），（6，﹣12）．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【变式8-3】已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数y＝kx的解析式．
（2）点P为x轴上一点，△AOP的面积为4，求直线AP的函数解析式．

【分析】（1）先利用三角形面积公式求出AH得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）设P（t，0），利用三角形面积公式得到关于t的方程，解关于t的绝对值方程求得P的坐标，然后根据待定系数法求得即可．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3，
∴12•3•AH＝3，解得AH＝2，
∴A（3，﹣2），
把A（3，﹣2）代入y＝kx得3k＝﹣2，解得k=−23，
∴正比例函数解析式为y=−23x；
（2）设P（t，0），
∵△AOP的面积为4，
∴12•|t|•2＝4，
∴t＝4或t＝﹣4，
∴P点坐标为（4，0）或（﹣4，0），
设直线AP的解析式为y＝mx+n，
把P（4，0），A（3，﹣2）代入得4m+n=03m+n=−2，解得m=2n=−8，
此时，直线AP的解析式为y＝2x﹣8，
把P（﹣4，0），A（3，﹣2）代入得−4m+n=03m+n=−2，解得m=−27n=−87．
此时，直线AP的解析式为y=−27x−87，
综上，直线AP的函数解析式为y＝2x﹣8或y=−27x−87．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，求得P点的坐标是解题的关键．
【变式8-4】（2022春•崆峒区期末）如图，正比例函数y＝kx经过点A（3，a），点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴于H，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是5时，求点C的坐标；
（3）若点M为y轴上一动点，N为平面内任意一点，是否存在点N，使得以点A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标：若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据△AOH的面积为3求出a的值，根据待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据△ABC的面积是5，求出BC的长，分点C在点B右侧和左侧两种情况即可得出答案；
（3）分AO为边和AO为对角线两种情况分别求点N的坐标即可．
【解答】解：（1）∵A（3，a），点A在第四象限，
∴OH＝3，AH＝﹣a，
∵△AOH的面积为3，
∴12×OH×AH＝3，
∴12×3×（﹣a）＝3，
∴a＝﹣2，
∵正比例函数y＝kx经过点A（3，﹣2），
∴﹣2＝3k，
∴k=−23，
∴y=−23x；
（2）∵△ABC的面积是5，
∴12×BC×AH＝5，
∴12×BC×2＝5，
∴BC＝5，
∴点C的坐标为（6，0）或（﹣4，0）；
（3）AO=32+22=13，
当AO为边时，
∵四边形OANM是菱形，
∴AN∥OM，AN＝OM＝AO=13，
∴点N的坐标为（3，﹣2+13）或（3，﹣2−13）；

当AO为对角线时，
设M点的坐标为（0，m），
∵四边形OMAN是菱形，
∴OM＝AM，
∴OM2＝AM2，
∴m2＝32+（m+2）2，
解得：m=−134，
∴M（0，−134），
∴OM＝AN=134，
∴N点的坐标为（3，54）；
当OM为对角线时，
∵四边形ONMA为菱形，
∴点A和点N关于y轴对称，
∴N（﹣3，﹣2）；
综上所述，点N的坐标为（3，﹣2+13）或（3，﹣2−13）或（3，54）或（﹣3，﹣2）．


【点评】本题考查了一次函数综合题，考查分类讨论的思想，画出菱形的图形，根据菱形的性质求出点N的坐标是解题的关键．