初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀课时作业

这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀课时作业，共58页。试卷主要包含了6元，求油箱内汽油的总价y，5x+20等内容，欢迎下载使用。

八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.4 待定系数法求一次函数的解析式
题型一 已知两点确定函数解析式

【例题1】（2022秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．






【变式1-1】（2022秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　．
【变式1-2】（2021•鹿城区校级三模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　．
x
0
1
2
y
a
1
3

【变式1-3】（2022秋•长兴县期末）已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝6．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝3时，求出对应y的值．



【变式1-4】（2021秋•射洪市期末）已知函数y＝kx+b，自变量x的取值范围为﹣1≤x≤7，相应函数值的取值范围为﹣12≤y≤8，求该函数的表达式．




【变式1-5】（2022秋•嘉兴期末）已知y是关于x的一次函数，且点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当﹣2≤y＜4时，求x的取值范围．



【变式1-6】（2022秋•亭湖区期末）已知一次函数y＝kx+7的图象经过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（﹣1，8），C（3，1）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（3）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．



题型二 由函数图象确定函数解析式

【例题2】（2021春•长沙期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示：
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）当x＝10时，y的值是多少？


【变式2-1】（2021春•永年区月考）直线y＝kx+b在直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为（　　）

A．y＝2x+4 B．y＝﹣2x+4 C．y＝4x+2 D．y＝﹣4x﹣2
【变式2-2】（2022春•周至县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．
（1）根据图象，求一次函数的解析式；
（2）将一次函数图象向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值．


【变式2-3】（2022春•朝阳区校级期中）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．
（1）求直线l的解析式；
（2）如果直线l向上平移3个单位后，经过点A（3，m），求m的值．


【变式2-4】已知某一次函数的图象如图所示．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．

【变式2-5】如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向下平移3个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．





【变式2-6】已知正比例函数y＝mx与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，3）；
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；





题型三 利用已知函数关系式，再求函数关系式


【例题3】（2021秋•新吴区期末）已知y+2与4﹣x成正比例，且x＝3时，y＝1．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当﹣2＜y＜1时，求x的取值范围．





【变式3-1】（2022秋•金牛区校级期末）已知y和x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝﹣4，则y与x的函数关系式为 　 　．

【变式3-2】（2021秋•烈山区期末）已知y与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝1时，求y的值．





【变式3-3】已知y+4与x﹣3成正比例，且x＝5时y＝4，则当x＝2时，y的值为 　 　．

【变式3-4】（2021秋•射阳县校级期末）已知y+2与x+1成正比，且x＝2时y＝7．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝4时，求x的值．




【变式3-5】（2021秋•高邮市期末）已知y﹣2与x+1成正比例，且x＝2时，y＝8．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上．且m＞n，求m的取值范围．




【变式3-6】（2022•南京模拟）已知y＝y1+y2，且y1﹣3与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝2时，y＝7，当x＝1时，y＝0．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）计算x＝4时，y的值．





题型四 由三角形的面积确定一次函数解析式

【例题4】（2022秋•西安期末）已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是　 ．

【变式4-1】（2022秋•东平县期末）已知一次函数的图象经过点P（0，﹣2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则此一次函数的解析式为　 　．

【变式4-2】（2022春•濮阳期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，O为坐标原点．若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为 　 　．

【变式4-3】（2022春•上海期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（2，0），则这条直线的表达式是 　 　．

【变式4-4】（2022春•建瓯市校级月考）已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式．




【变式4-5】（2021秋•文山市校级期末）如图，在△ABO中，以O为原点构建直角坐标系，点B在x轴上，AB与y轴交于点C（0，3），已知OB＝4，S△AOB＝8．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点A的坐标．



【变式4-6】（2022•南京模拟）如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，直线y＝﹣x+b分别交OA、AB于点C、D，且△BOD的面积是4
（1）求直线AO的解析式；
（2）求直线CD的解析式．










题型五 利用图形变换确定一次函数解析式


【例题5】（2022秋•南京期末）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+1 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+5 D．y＝﹣2x+7

【变式5-1】（2022秋•南山区期末）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图象向上平移2个单位长度的表达式是 　 　．

【变式5-2】（2022春•唐河县期中）将直线y＝3x﹣2平移后过点（3，1），则平移后函数的表达式是 　 　．


【变式5-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式
为（　　）
A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4
【变式5-4】（2021春•古丈县期末）某个一次函数的图象与直线y=12x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（　　）
A．y=−12x﹣5 B．y=12x+3 C．y=12x﹣3 D．y＝﹣2x﹣8
【变式5-5】（2022秋•贵池区期末）如图一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移若干单位长度得到的直线l恰好经过点D，若OD＝2，则直线l的函数表达式为 　 　．

【变式5-6】（2022•桥西区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−34x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴的负半轴上，记作点C，折痕与y轴交于点D，则直线AD的解析式为　 　．
【变式5-7】如图，在直角坐标系中，直线y＝kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求：（1）这条直线的解析式；
（2）若将这条直线沿x轴翻折，求翻折后得到的直线的解析式．

【变式5-8】（2021秋•溧水区期末）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为 　 　．





题型六 由实际问题确定一次函数解析式

【例题6】（2021秋•高新区校级期末）新冠肺炎依然在肆虐，“郑州加油！中国加油！”每个人都在为抗击疫情而努力．市场对口罩的需求依然很大，某公司销售一种进价为20元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如下表所示，则y（万袋）与x（元/袋）之间的一次函数解析式是 　 ．
价格x（元/袋）
…
5
6
10
15.5
…
销售量y（万袋）
…
3
2.8
2
0.9
…


【变式6-1】（2022春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（　　）
A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20）
C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）
【变式6-2】（2021春•宽城县期末）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（　　）
A．y＝﹣0.5x+20（ 0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
【变式6-3】（2022春•阜新县期末）A、B两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时的速度由A地驶向B地．汽车距B地的距离y（千米）与行驶时间t（之间）的关系式为　 　．
【变式6-4】（2022春•顺德区校级期中）地面温度为15℃，如果高度每升高1千米，气温下降6℃，则高度h（千米）与气温t（℃）之间的关系式为h＝　 　．
【变式6-5】（2022春•船山区校级期中）已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y．
（1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x＝5时，求出函数值．





【变式6-6】（2020春•香洲区校级期中）拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果工作每小时耗油4升，求：
（1）油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当工作5小时时油箱的余油量



【变式6-7】（2012•长春校级模拟）某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，现在每桶水的销售价格为8元，如果用x（单位：桶）表示每天的销售数量，用y（元）表示每天的利润（利润＝总销售额﹣固定成本﹣售出水的成本）．
（1）试写出y与x的函数关系式．
（2）若现在固定成本增加了5%，每桶水的进价增加了1元，求此时y与x的函数关系式．






【变式6-8】（2021秋•朝阳区校级月考）周长为12米的竹篱笆围成一个如图所示的长方形的养鸡场，养鸡场一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，如果养鸡场一边长为x米，另一边为y米．
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）求出自变量x的取值范围．










题型七 与确定函数解析式有关的综合性问题


【例题7】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−32，0），（32，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．


【变式7-1】（2022春•封开县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）已知点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，若S△AOB＝2S△AOC，求点C的坐标．

【变式7-2】（2023•鼓楼区校级一模）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交x轴于点A，交y轴于点B（0，1）．
（1）求直线l的解析式；
（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）当x　≤34　时，y≥0；
（4）求原点到直线l的距离．

【变式7-3】（2022•石阡县模拟）已知直线l1与x轴交于点A（−34，0），与y轴相交于点B（0，﹣3），直线l2：y=−12x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接BD．
（1）求直线l1的解析式；
（2）直线l2上是否存在一点E，使得S△ADE=32S△CBD，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．


【变式7-4】（2022秋•余姚市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴于点C（﹣2，0）．
（1）点A坐标为 　 　，点B坐标为 　 　；
（2）求直线BC的表达式；
（3）若点D在直线BC上，且△ACD是以AD为腰的等腰三角形，点D的坐标．




【变式7-5】（2022春•丹江口市期中）如图，直线y＝x+3交y轴于点A，交x轴于点B，经过点（2，2）且平行于直线y＝﹣2x的直线交x轴于点C，交y轴于点D，交AB于点E．
（1）直线CD的解析式为 　 　；
（2）求△EBC的面积；
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，若PQ＝2AD，求点P的坐标．





【变式7-6】（2021秋•榆林期末）如图，已知直线AB经过点（1，﹣2），且与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B，作直线AB关于y轴对称的直线BC交x轴于点C，点P为OC的中点．
（1）求直线AB的函数表达式和点B的坐标；
（2）若经过点P的直线l将△ABC的面积分为1：3的两部分，求所有符合条件的直线l的函数表达式．



八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.4 待定系数法求一次函数的解析式答案

题型一 已知两点确定函数解析式

【例题1】（2022秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可；
（2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上，
∴2k+b=0b=4，解得k=−2b=4，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+4；
（2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣2x+4，
∴当x＝﹣1时，y＝6，
∴点（﹣1，6）在一次函数的图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．

【变式1-1】（2022秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　．
【分析】用待定系数法，把A（1，1），B（2，﹣1）两点代入y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组即可得到一次函数的解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图像经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，
∴k+b=12k+b=−1，
解得：b=3k=−2，
∴该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式1-2】（2021•鹿城区校级三模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　．
x
0
1
2
y
a
1
3
【分析】根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将（1，1），（2，3）代入y＝kx+b得：k+b=12k+b=3，
解得：k=2b=−1，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1．
当x＝0时，y＝﹣1，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋•长兴县期末）已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝6．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝3时，求出对应y的值．
【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，然后把两组对应值分别代入得到k、b的方程组，解方程组求出k、b即可求解；
（2）把x＝3代入一次函数的表达式即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意得b=3−2k+b=6，解得k=−32b=3，
所以这个一次函数的表达式为y=−32x+3；
（2）当x＝3时，
y=−32×3+3=−32．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【变式1-4】（2021秋•射洪市期末）已知函数y＝kx+b，自变量x的取值范围为﹣1≤x≤7，相应函数值的取值范围为﹣12≤y≤8，求该函数的表达式．
【分析】根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当k＞0时，y随x的增大而增大，把x＝﹣1，y＝﹣12；x＝7，y＝8代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当k＜0时，y随x的增大而减小，把x＝﹣1时，y＝8，x＝7时，y＝﹣12，代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式．
【解答】解：①当k＞0时，y随x增大而增大，
∵x＝﹣1，y＝﹣12；x＝7，y＝8，
∴−k+b=−127k+b=8，解得k=52b=−192，
∴该函数的解析式为y=52x−192；
②当k＜0时，y随x的增大而减小，
∵x＝﹣1时，y＝8，x＝7时，y＝﹣12，
∴−k+b=87k+b=−12，解得k=−512b=112，
∴该函数的解析式为y=−52x+112，
综上所述，该函数的表达式为y=52x−192或y=−52x+112．
【点评】本题主要考查的是待定系数法求一次函数的解析式，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，注意要分情况讨论、
【变式1-5】（2022秋•嘉兴期末）已知y是关于x的一次函数，且点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当﹣2≤y＜4时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）分别把y＝﹣2和y＝4代入y＝﹣2x+4，再根据一次函数的增减性，即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式y＝kx+b，
∵点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上，
∴b=4k+b=2，
解得：k=−2b=4，
∴这个一次函数表达式为y＝﹣2x+4；
（2）把y＝﹣2代入y＝﹣2x+4得：x＝3；
把y＝4代入y＝﹣2x+4得：x＝0，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当﹣2≤y＜4时，x的范围是0＜x≤3．
【点评】本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的增减性，掌握相关知识是解题的关键．
【变式1-6】（2022秋•亭湖区期末）已知一次函数y＝kx+7的图象经过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（﹣1，8），C（3，1）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（3）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．
【分析】（1）将已知点坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值．
（2）把B、C点的坐标代入解析式即可判断．
（3）把x＝﹣3和x＝﹣1分别代入解析式，分别求得函数值，根据求得的函数值即可求得．
【解答】解：（1）将x＝2，y＝3代入一次函数解析式得：3＝2k+7，
解得：k＝﹣2．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣2x+7＝2+7＝9≠8，
当x＝3时，y＝﹣2x+7＝﹣6+7＝1，
所以，点B（﹣1，8）不在这个一次函数的图象上；点C（3，1）在这个函数的图象上；
（3）当x＝﹣3时，y＝﹣2x+7＝6+7＝13，当x＝﹣1时，y＝﹣2x+7＝2+7＝9，
所以当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是9＜y＜13．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

题型二 由函数图象确定函数解析式


【例题2】（2021春•长沙期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示：
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）当x＝10时，y的值是多少？

【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）代入x＝10求出与之对应的y值．
【解答】解：（1）观察函数图象，可知：点（2，0），（6，4）在函数y＝kx+b的图象上，
∴2k+b=06k+b=4，解得：k=1b=−2，
∴该一次函数的表达式为y＝x﹣2．
（2）当x＝10时，y＝10﹣2＝8．
【点评】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
【变式2-1】（2021春•永年区月考）直线y＝kx+b在直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为（　　）

A．y＝2x+4 B．y＝﹣2x+4 C．y＝4x+2 D．y＝﹣4x﹣2
【答案】A．
【分析】根据待定系数法即可求出函数表达式．
【解答】解：设直线的解析式为y＝kx+b，
由图象可知直线与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，4），
把点（﹣2，0），（0，4）代入y＝kx+b得
−2k+b=0b=4
解得k=2b=4，
∴该直线的函数解析式为y＝2x+4，
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

【变式2-2】（2022春•周至县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．
（1）根据图象，求一次函数的解析式；
（2）将一次函数图象向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值．
【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），
∴2k+b=6−4k+b=−3，
解得k=32b=3，
所以一次函数的表达式为：y=32x+3；
（2）将直线AB向下平移5个单位后得到y=32x+3﹣5，即y=32x﹣2，
∵经过点（m，﹣5），
∴﹣5=32m﹣2，
解得m＝﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式2-3】（2022春•朝阳区校级期中）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．
（1）求直线l的解析式；
（2）如果直线l向上平移3个单位后，经过点A（3，m），求m的值．

【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点A（3，m）代入得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把点（﹣2，0），（0，1）代入y＝kx+b得−2k+b=0b=1，
解得k=12b=1，
∴直线l的解析式为y=12x+1；
（2）直线l向上平移3个单位后得到y=12x+1+3=12x+4，
∵经过点A（3，m），
∴m=12×3+4=112．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式2-4】已知某一次函数的图象如图所示．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．

【分析】（1）从图象可知一次函数的图象过点（2，0）和（0，3），用待定系数法求出解析式即可；
（2）关于y轴对称，那么它们的k值互为相反数，b不变，由此即可得到所求直线的解析式．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
据图可知：直线经过（0，3）和（2，0）两点
∴3=0+b0=2k+b，
解之得：b=3k=−32，
∴一次函数的解析式为：y=−32x+3；
（2）该直线关于y轴对称的直线解析式为：y=32x+3．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与几何变换，明确关于y轴对称的直线，那么它们的k值互为相反数，b不变是解此题的关键．
【变式2-5】如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向下平移3个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）先求出该函数图象向下平移3个单位后的直线解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0）和点（2，2），
∴−2k+b=02k+b=2
解得k=12，b＝1
∴一次函数的解析式为：y=12x+1；
（2）∵一次函数y=12x+1向下平移3个单位的解析式为y=12x﹣2，
∴当y＝0时，x＝4，
∴平移后的图象与x轴的交点坐标为（4，0）．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的性质是解答此题的关键．
【变式2-6】已知正比例函数y＝mx与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，3）；
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；

【分析】（1）把A（1，3）代入y＝mx，利用待定系数法求得正比例函数的解析式；把A（1，3），（﹣2，0）代入y＝ax+b，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）首先求得一次函数与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可求得答案；
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y＝mx，得m＝3，
则正比例函数的解析式为y＝3x；
把A（1，3），（﹣2，0）代入y＝ax+b，
得a+b=3−2a+b=0，解得a=1b=2，
则一次函数的解析式为：y＝x+2；
（2）∵一次函数的解析式为：y＝x+2，
∴一次函数与y轴的交点坐标为：（0，2），
又一次函数与x轴的交点坐标为：（﹣2，0），
∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为：12×2×2＝2；
【点评】此题考查了两条直线的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积．正确求出两个函数的解析式是解此题的关键．




题型三 利用已知函数关系式，再求函数关系式


【例题3】（2021秋•新吴区期末）已知y+2与4﹣x成正比例，且x＝3时，y＝1．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当﹣2＜y＜1时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题意设y+2＝k（4﹣x）（k≠0），把x＝3，y＝1代入求出k的值，即可确定出y与x的函数关系式；
（2）求出y＝﹣2、y＝1时的自变量x的值，然后根据一次函数的增减性写出x的取值范围即可．
【解答】解：（1）设y+2＝k（4﹣x）（k≠0），
把x＝3，y＝1代入得：1+2＝k，
解得：k＝3，
则该函数关系式为：y＝﹣3x+10；
（2）把y＝﹣2代入y＝﹣3x+10，得x＝4，
把y＝1代入y＝﹣3x+10，得x＝3，
∴当﹣2＜y＜1时，3＜x＜4．
【变式3-1】（2022秋•金牛区校级期末）已知y和x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝﹣4，则y与x的函数关系式为 　 　．
【分析】设正比例函数的解析式为y＝k（x﹣2），再把当x＝3时，y＝﹣4代入求出k的值即可得出结论．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝k（x﹣2），
∵当x＝3时，y＝﹣4，
∴﹣4＝k（3﹣2），
∴k＝﹣4，
∴y＝﹣4（x﹣2）＝﹣4x+8．
故答案为：y＝﹣4x+8．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．

【变式3-2】（2021秋•烈山区期末）已知y与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝1时，求y的值．
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y＝k（x﹣1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；
（2）利用（1）中关系式求出自变量为1时对应的函数值即可．
【解答】解：（1）设y＝k（x﹣1），
把x＝3，y＝4代入得（3﹣1）k＝4，解得k＝2，
所以y＝2（x﹣1），
即y＝2x﹣2；
（2）当x＝1时，y＝2×1﹣2＝0．
【点评】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【变式3-3】已知y+4与x﹣3成正比例，且x＝5时y＝4，则当x＝2时，y的值为 　 　．
【分析】由y+4与x﹣3成正比例，设y+4＝k（x﹣3），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系，把x＝2代入计算即可求出y的值．
【解答】解：∵y+4与x﹣3成正比例，
∴y+4＝k（x﹣3），
∵x＝5时，y＝4，
∴8＝k•（5﹣3），
解得：k＝4，
故y+4＝4（x﹣3），
即y与x之间的函数关系式为y＝4x﹣16，
当x＝2时，y＝4×2﹣16＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式3-4】（2021秋•射阳县校级期末）已知y+2与x+1成正比，且x＝2时y＝7．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝4时，求x的值．
【分析】（1）根据题意可设y+2＝k（x+1），然后把x＝2，y＝7代入进行计算求出k的值即可解答；
（2）把y＝4代入（1）所求的函数表达式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）设y+2＝k（x+1），
把x＝2，y＝7代入y+2＝k（x+1）中可得：
7+2＝k（2+1），
解得：k＝3，
∴y+2＝3（x+1），
∴y＝3x+1，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝3x+1；
（2）当y＝4时，3x+1＝4，
解得：x＝1，
∴x的值为1．
【点评】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
【变式3-5】（2021秋•高邮市期末）已知y﹣2与x+1成正比例，且x＝2时，y＝8．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上．且m＞n，求m的取值范围．
【分析】（1）利用正比例的意义设y﹣2＝k（x+1），然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x之间的函数关系式；
（2）利用n＝2m+4和m＞n得到m＞2m+4，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）设y﹣2＝k（x+1），
把x＝2，y＝8代入得8﹣2＝（2+1）k，
解得k＝2，
所以y﹣2＝2（x+1），
所以y与x之间的函数关系式为y＝2x+4；
（2）把P（m，n）代入y＝2x+4得n＝2m+4，
因为m＞n，
所以m＞2m+4，
解得m＜﹣4，
即m的取值范围为m＜﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．

【变式3-6】（2022•南京模拟）已知y＝y1+y2，且y1﹣3与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝2时，y＝7，当x＝1时，y＝0．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）计算x＝4时，y的值．
【分析】（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2），可得y＝k1x+3+k2（x﹣2），把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入求解即可．
（2）由（1）可直接把x＝4代入求解．
【解答】解：（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2），
∵y＝y1+y2，
∴y＝k1x+3+k2（x﹣2），
把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入得，
∴7=2k1+30=k1+3−k2，
解得k1=2k2=5，
∴y＝2x+3+5（x﹣2）＝7x﹣7，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝7x﹣7．
（2）把x＝4代入y＝7x﹣7得：
y＝7×4﹣7＝21．
【点评】本题主要考查正比例函数的定义及求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键．

题型四 由三角形的面积确定一次函数解析式

【例题4】（2022秋•西安期末）已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是　 ．
【分析】设直线解析式为y＝kx+b，先把（0，2）代入得b＝2，再确定直线与x轴的交点坐标为（−2k，0），然后根据三角形的面积公式得到12×2×|−2k|＝2，解方程得k的值，可得所求的直线解析式．
【解答】解：设直线解析式为y＝kx+b，
把（0，2）代入得b＝2，
所以y＝kx+2，
把y＝0代入得x=−2k，
所以12×2×|−2k|＝2，
解得：k＝1或﹣1，
所以所求的直线解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2．
故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．

【变式4-1】（2022秋•东平县期末）已知一次函数的图象经过点P（0，﹣2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则此一次函数的解析式为　 　．
【分析】由题意可设函数解析式为y＝kx﹣2，求出与坐标轴的交点坐标，再根据面积=12|x||y|可得出关于k的方程，解出即可得出k的值，进而可以求出函数解析式．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx﹣2，
令y＝0，得x=2k，则一次函数的图象与x轴交点坐标为（2k，0），
∴面积=12×2×|2k|＝3，解得：k＝±23．
∴一次函数解析式为：y=23x﹣2，或y=−23x﹣2．
故答案为：y=23x﹣2，或y=−23x﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，结合了三角形的知识，但难度中等，注意掌握坐标和线段长度的转化．
【变式4-2】（2022春•濮阳期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，O为坐标原点．若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为 　 　．
【分析】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．
【解答】解：∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∵△AOB的面积为6，
∴12OA•OB＝6，
∴12×3•OB＝6，
∴OB＝4，
∴B（0，4）或（0，﹣4），
将A（3，0），B（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）得：
3k+b=0b=4，
解得：k=−43b=4，
∴一次函数的解析式为：y=−43x+4，
将A（3，0），B（0，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）得：
3k+b=0b=−4，
解得：k=43b=−4，
∴一次函数的解析式为：y=43x﹣4，
综上所述：一次函数的解析式为：y=−43x+4或y=43x﹣4，
故答案为：y=−43x+4或y=43x﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．
【变式4-3】（2022春•上海期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（2，0），则这条直线的表达式是 　 　．
【分析】先根据面积求出三角形在y轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，设与y轴交点坐标为（0，b）
则12×2×|b|＝6，
解得|b|＝6，
∴b＝±6，
①当b＝6时，与y轴交点为（0，6）
∴2k+b=0b=6，解得k=−3b=6，
∴函数解析式为y＝﹣3x+6；
②当b＝﹣6时，与y轴的交点为（0，﹣6）
∴2k+b=0b=−6解得k=3b=−6，
∴函数解析式为y＝3x﹣6．
∴这个一次函数的解析式是y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
故答案为：y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
【变式4-4】（2022春•建瓯市校级月考）已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式．
【分析】先根据一次函数的性质求出OA，OB的长，再根据S△AOB＝6建立方程，解方程可得b的值，由此即可得．
【解答】解：对于一次函数y＝﹣2x+b，
当y＝0时，x=b2，则A(b2，0)，OA=|b2|，
当x＝0时，y＝b，则B（0，b），OB＝|b|，
∵x轴⊥y轴，S△AOB＝6，
∴12OA⋅OB=12×|b2|×|b|=6，即b2＝24，
解得b=±26，
则一次函数解析式为y=−2x+26或y=−2x−26．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的解析式，正确表示OA，OB的长是解题关键．
【变式4-5】（2021秋•文山市校级期末）如图，在△ABO中，以O为原点构建直角坐标系，点B在x轴上，AB与y轴交于点C（0，3），已知OB＝4，S△AOB＝8．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点A的坐标．

【分析】（1）利用点B与点C的坐标，结合待定系数法可得直线AB的解析式；
（2）利用三角形面积公式求出A点纵坐标，继而求出横坐标，从而可知A点坐标．
【解答】解：∵根据图形，点B在x轴上，OB＝4，
∴B（4，0），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将点B，C代入得：4k+b=0b=3，
解得：k=−34b=3，
∴直线AB的解析式为：y=−34x+3；
（2）设点A（m，n），
∵S△AOB=12×OB×n=12×4×n=2n=8，
∴n＝4．
令y=−34x+3=4，解得x=−43，
∴m=−43，
∴点A的坐标为(−43，4)．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，几何面积与一次函数综合，牢记待定系数法和三角形面积公式是解题的关键．
【变式4-6】（2022•南京模拟）如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，直线y＝﹣x+b分别交OA、AB于点C、D，且△BOD的面积是4
（1）求直线AO的解析式；
（2）求直线CD的解析式．

【分析】（1）由OB＝4，AB＝8，∠ABO＝90°，得A点坐标为（4，8），通过待定系数法，求得直线AO的解析式；
（2）由OB＝4，∠ABO＝90°，S△BOD=12×OB×BD=4，求得D点的坐标，再通过待定系数法，求得直线CD的解析式．
【解答】解：（1）∵OB＝4，AB＝8，∠ABO＝90°，
∴A点坐标为（4，8），
设直线AO的解析式为y＝kx，则4k＝8，
解得k＝2，即直线AO的解析式为y＝2x．
（2）∵OB＝4，∠ABO＝90°，S△BOD=12×OB×BD=4，
∴DB＝2，
∴D点的坐标为（4，2），
把D（4，2）代入y＝﹣x+b得：2＝﹣4+b
解得b＝6，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，准确求得相关点坐标，熟练运用待定系数法是解题的关键．


题型五 利用图形变换确定一次函数解析式


【例题5】（2022秋•南京期末）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+1 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+5 D．y＝﹣2x+7
【分析】直接利用一次函数平移规律“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：∵将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y＝﹣2x+3+2，
即y＝﹣2x+5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
【变式5-1】（2022秋•南山区期末）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图象向上平移2个单位长度的表达式是 　 　．
【分析】根据题意得出一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，6），进而根据待定系数法即可求得．
【解答】解；由题意可知一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，6），
∴2k+b=33k+b=6，
解得k=3b=−3，
∴此函数表达式是y＝3x﹣3，
∵函数图像向上平移2个单位长度的表达式是y＝3x﹣1，
故答案为：y＝3x﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式5-2】（2022春•唐河县期中）将直线y＝3x﹣2平移后过点（3，1），则平移后函数的表达式是 　 　．
【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案．
【解答】解：新直线是由一次函数y＝3x﹣2的图象平移得到的，
∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b．
∵经过点（3，1），则3×3+b＝1，
解得b＝﹣8，
∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣8；
故答案为：y＝3x﹣8．
【点评】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．
【变式5-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式
为（　　）
A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．
【解答】解：根据题意，将直线y＝﹣2x+6向左平移了1个单位后，得：
y＝﹣2（x+1）+6＝﹣2x﹣2+6＝﹣2x+4，
即该直线的解析式为：y＝﹣2x+4．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
【变式5-4】（2021春•古丈县期末）某个一次函数的图象与直线y=12x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（　　）
A．y=−12x﹣5 B．y=12x+3 C．y=12x﹣3 D．y＝﹣2x﹣8
【答案】C．
【分析】根据两直线平行时k的值相等，设出所求解析式，把已知点坐标代入计算即可．
【解答】解：由一次函数的图象与直线y=12x+6平行，设直线解析式为y=12x+b，
把（﹣2，﹣4）代入得：﹣4＝﹣1+b，即b＝﹣3，
则这个一次函数解析式为y=12x﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．
【变式5-5】（2022秋•贵池区期末）如图一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移若干单位长度得到的直线l恰好经过点D，若OD＝2，则直线l的函数表达式为 　 　．

【分析】待定系数法求得一次函数的解析式，设平移后的解析式为y=12x+b1，将点D（2，0）代入即可求解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），
∴−6k+b=0b=3，
解得：k=12b=3，
∴y=12x+3，
依题意，设直线l的解析式为y=12x+b1，将点D（2，0）代入得，0=12×2+b1，
解得：b1＝﹣1，
∴直线l的解析式为：y=12x−1，
故答案为：y=12x−1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式5-6】（2022•桥西区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−34x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴的负半轴上，记作点C，折痕与y轴交于点D，则直线AD的解析式为　 　．
【分析】分别将x＝0、y＝0代入直线y=−34x+3中求出与之对应的y、x值，由此即可得出点B、A的坐标，根据折叠的性质结合勾股定理可求出AC的长度，进而可得出点C的坐标，设OD＝m，则CD＝BD＝3﹣m，在Rt△COD中利用勾股定理可求出m的值，进而可得出点D的坐标，则可求出答案．
【解答】解：如图，

当x＝0时，y=−34x+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
当y＝0时，有−34x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）．
由折叠性质可知，△ABD≌△ACD，
∴AC＝AB，BD＝CD．
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=5，
∴AC＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝5﹣4＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，0）．
设OD＝m，则CD＝BD＝3﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即12+m2＝（3﹣m）2，
解得：m=43，
∴OD=43，
∴点D的坐标为（0，43）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（4，0）、D（0，43）代入y＝kx+b，
4k+b=0b=43，
解得：k=−13b=43，
∴直线AD的解析式为y=−13x+43．
故答案为：y=−13x+43．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及翻折变换，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【变式5-7】如图，在直角坐标系中，直线y＝kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求：（1）这条直线的解析式；
（2）若将这条直线沿x轴翻折，求翻折后得到的直线的解析式．

【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征得到A（−4k，0），B（0，4），再根据三角形面积公式得到
12•（−4k）•4＝10，然后解方程求出k的值即可得到直线解析式；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出翻折后直线的解析式．
【解答】解：（1）当y＝0时，kx+4＝0，解得x=−4k，则A（−4k，0），
当x＝0时，y＝kx+4＝4，则B（0，4），
∵△OAB的面积为10，
∴12•（−4k）•4＝10，解得k=−45，
∴直线解析式为y=−45x+4；
（2）若将直线y=−45x+4沿x轴翻折，翻折后得到的直线的解析式为﹣y=−45x+4，即y=45x﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及翻折变换，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【变式5-8】（2021秋•溧水区期末）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为 　 　．

【分析】直接把点A（2，4）代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x轴于点B，可得出OB，AB的长，再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，由旋转不变性的性质可知DC＝OB，AD＝AB，故可得出C点坐标，再把C点和A点坐标代入y＝ax+b，解出解析式即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点A（2，4）
∴4＝2k，
解得：k＝2，
∴y＝2x；
∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，
∴OB＝2，AB＝4，
∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，
∴DC＝OB＝2，AD＝AB＝4
∴C（6，2），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
把（2，4）（6，2）代入解析式可得：2a+b=46a+b=2，
解得：a=−0.5b=5，
所以解析式为：y＝﹣0.5x+5.
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及旋转变换，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．

题型六 由实际问题确定一次函数解析式

【例题6】（2021秋•高新区校级期末）新冠肺炎依然在肆虐，“郑州加油！中国加油！”每个人都在为抗击疫情而努力．市场对口罩的需求依然很大，某公司销售一种进价为20元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如下表所示，则y（万袋）与x（元/袋）之间的一次函数解析式是 　 ．
价格x（元/袋）
…
5
6
10
15.5
…
销售量y（万袋）
…
3
2.8
2
0.9
…
【分析】先设y与x之间的一次函数解析式为：y＝kx+b，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
【解答】解：设y与x之间的一次函数解析式为：y＝kx+b，
由题意得：
5k+b=310k+b=2，
解得：k=−15b=4，
∴y与x之间的一次函数解析式为：y=−15x+4，
故答案为：y=−15x+4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．

【变式6-1】（2022春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（　　）
A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20）
C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）
【分析】根据油箱内汽油的总价＝（原有汽油+加的汽油）×单价．
【解答】解：依题意有y＝（10+x）×7.6＝7.6x+76，10≤汽油总量≤30，
则0≤x≤20．
故选：B．
【点评】考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意加的汽油的取值范围．
【变式6-2】（2021春•宽城县期末）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（　　）
A．y＝﹣0.5x+20（ 0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
【分析】根据等腰三角形的周长＝2y+x可得出y与x的关系，再根据三角形的三边关系可确定x的范围．
【解答】解：根据三角形周长等于三边之和可得：2y＝40﹣x
∴y＝20﹣0.5x，
又∵x为底边，
∴x＜2y，x＞y﹣y，
∴0＜x＜20．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的周长和三边关系，掌握三角形周长等于三边之和及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解决本题的关键．
【变式6-3】（2022春•阜新县期末）A、B两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时的速度由A地驶向B地．汽车距B地的距离y（千米）与行驶时间t（之间）的关系式为　 　．
【分析】根据汽车距B地的距离＝总路程﹣汽车行驶的距离即可解决问题．
【解答】解：由题意y＝500﹣50t，（0≤t≤10）．
故答案为y＝500﹣50t，（0≤t≤10）．
【点评】本题考查实际问题列一次函数关系式，解题的关键是理解题意，知道根据汽车距B地的距离＝总路程﹣汽车行驶的距离，注意自变量的取值范围，属于中考常考题型．
【变式6-4】（2022春•顺德区校级期中）地面温度为15℃，如果高度每升高1千米，气温下降6℃，则高度h（千米）与气温t（℃）之间的关系式为h＝　 　．
【分析】升高h（千米）就可求得温度的下降值，进而求得h千米处的温度．
【解答】解：高度h（千米）与气温t（℃）之间的关系式为：h=15−t6．
【点评】正确理解高度每升高1千米，气温下降6℃，的含义是解题关键．
【变式6-5】（2022春•船山区校级期中）已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y．
（1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x＝5时，求出函数值．
【分析】（1）根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三边关系可得出x的取值范围．
（2）由（1）的关系式，代入可得出函数的值．
【解答】解：（1）由题意得：12＝2x+y
∴可得：y＝12﹣2x，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：y＜2x，2x＜12
∴可得3＜x＜6．
（2）由（1）得：y＝12﹣2x
∴当x＝5时函数值＝2．
【点评】本题考查三角形的周长和边长的关系，属于中档题，在确定x的范围时要注意应用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【变式6-6】（2020春•香洲区校级期中）拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果工作每小时耗油4升，求：
（1）油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当工作5小时时油箱的余油量
【分析】（1）由油箱中的余油量＝原有油量﹣耗油量可求得函数解析式；
（2）把自变量的值代入函数解析式求得相对应的函数值．
【解答】解：（1）由题意可知：Q＝40﹣4t（0≤t≤10）；
（2）把t＝5时代入Q＝40﹣4t得：油箱的余油量Q＝20升．
【点评】此题由数量关系列出函数解析式，再把自变量的值代入函数解析式求得相对应的函数值，问题解决．
【变式6-7】（2012•长春校级模拟）某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，现在每桶水的销售价格为8元，如果用x（单位：桶）表示每天的销售数量，用y（元）表示每天的利润（利润＝总销售额﹣固定成本﹣售出水的成本）．
（1）试写出y与x的函数关系式．
（2）若现在固定成本增加了5%，每桶水的进价增加了1元，求此时y与x的函数关系式．
【分析】（1）设每天的销售数量为x，每天的利润为y元，然后根据利润＝总销售额﹣固定成本﹣售出水的成本列出函数解析式；
（2）根据每桶水的进价增加了1元，列出函数解析式即可．
【解答】解：（1）y与x的函数关系式为：y＝8x﹣5x﹣200＝3x﹣200．
（2）y与x的函数关系式为：y＝8x﹣6x﹣200×（1+5%）＝2x﹣210．
【点评】本题考查的是一次函数解析式问题，关键是根据利润＝总销售额﹣固定成本﹣售出水的成本列出解析式．
【变式6-8】（2021秋•朝阳区校级月考）周长为12米的竹篱笆围成一个如图所示的长方形的养鸡场，养鸡场一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，如果养鸡场一边长为x米，另一边为y米．
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）求出自变量x的取值范围．

【分析】（1）根据题意可得：两个宽+一个长＝12米，因此可得：y+2x＝12，再整理可得y＝﹣2x+12；
（2）根据长＞0，宽＞0可得﹣2x+12＞0和x＞0，再求公共解集即可．
【解答】解：（1）由题意得：y+2x＝12，
则y＝﹣2x+12；
（2）﹣2x+12＞0，
解得：x＜6，
∵x＞0，
∴0＜x＜6．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列出一次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．


题型七 与确定函数解析式有关的综合性问题


【例题7】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−32，0），（32，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．

【分析】（1）由点A、点B，易知线段AB的长度，∠BAH＝30°，而△ABC为等边三角形，得CA⊥x轴，即可知CA的长即为点C的纵坐标，即可求得点C的坐标．
（2）由（1）知点C纵标，已知点B的坐标，利用待定系数法即可求线段BC所在的直线的解析式．
【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴，
∵点A坐标为（−32，0），点B坐标为（32，1），
∴|AB|=(0−1)2+(−32−32)2=2，
∵BH＝1，
∴BH=2AB，
∴∠BAH＝30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝2，
∴∠CAB+∠BAH＝90°，
∴点C的纵坐标为2，
∴点C的坐标为（−32，2）．
（2）由（1）知点C的坐标为（−32，2），点B的坐标为（32，1），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则1=32k+b2=−32k+b，解得k=−33b=32，
故直线BC的函数解析式为y=−33x+32．

【点评】此题主要考查待定系数求一次函数的解析式及等边三角形的性质，此题的关键是利用等边三角形的性质求得点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式．
【变式7-1】（2022春•封开县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）已知点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，若S△AOB＝2S△AOC，求点C的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据三角形的面积求得C的纵坐标为2，然后根据题意即可求得C的坐标为（2，2）．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴−2k+b=0k+b=4，
解得：k=43b=83，
∴直线AB的解析式为y=43x+83；
（2）∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴S△AOB=12×2×4=4，
设C的纵坐标为n（n＞0），
∵点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，
∴C（n，n），
∵S△AOB＝2S△AOC，
∴S△AOC=12×2•n＝2，
∴n＝2，
∴点C的坐标为（2，2）．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．

【变式7-2】（2023•鼓楼区校级一模）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交x轴于点A，交y轴于点B（0，1）．
（1）求直线l的解析式；
（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）当x　≤34　时，y≥0；
（4）求原点到直线l的距离．

【分析】（1）把（3，﹣3），（0，1）代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可；
（2）根据解析式求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）观察图象即可求得；
（4）利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）把（3，﹣3），（0，1）代入y＝kx+b，
得3k+b=−3b=1，
解得：k=−43b=1，
∴直线l的解析式为y=−43x+1；
（2）在y=−43x+1中，令y＝0，则−43x+1＝0，
解得x=34，
∴A（34，0），
∵B（0，1），
∴OA=34，OB＝1，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×34×1=38，
∴直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为38；
（3）∵A（34，0），
∴当x≤34时，y≥0；
故答案为：≤34；
（4）设原点到直线的距离为h，
∵OA=34，OB＝1，
∴AB=OA2+OB2=(916)2+12=54，
∵S△AOB=12AB•h，
∴38=12×54×h，
∴h=35．
故原点到直线l的距离为35．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
【变式7-3】（2022•石阡县模拟）已知直线l1与x轴交于点A（−34，0），与y轴相交于点B（0，﹣3），直线l2：y=−12x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接BD．
（1）求直线l1的解析式；
（2）直线l2上是否存在一点E，使得S△ADE=32S△CBD，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求直线l1的解析式；
（2）先利用y=−12x+3确定C（0，3），D（6，0），再计算出S△CBD＝18，则S△ADE＝27，设E点坐标为（t，−12t+3），利用三角形面积公式得到12×（6+34）×|−12t+3|＝27，然后解方程求出t，从而得到E点坐标．
【解答】解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b，
把A（−34，0），B（0，﹣3）分别代入得−34k+b=0b=−3，
解得k=−4b=−3，
∴直线l1的解析式为y＝﹣4x﹣3；
（2）存在．
当x＝0时，y=−12x+3＝3，则C（0，3）；
当y＝0时，−12x+3＝0，解得x＝6，则D（6，0），
∴S△CBD=12×6×6＝18，
∴S△ADE=32S△CBD=32×18＝27，
设E点坐标为（t，−12t+3），
∴12×（6+34）×|−12t+3|＝27，
解得t＝﹣10或t＝22，
∴E点坐标为（﹣10，8）或（22，﹣8）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．

【变式7-4】（2022秋•余姚市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴于点C（﹣2，0）．
（1）点A坐标为 　 　，点B坐标为 　 　；
（2）求直线BC的表达式；
（3）若点D在直线BC上，且△ACD是以AD为腰的等腰三角形，点D的坐标．

【分析】（1）令y＝0解得x＝3，令x＝0得y＝4；
（2）设过点B（0，4）、C（﹣2，0）的直线解析式为y＝kx+b代入法求解即可；
（3）当AD＝AC时，此时D与B重合，求得D点坐标为（0，4）；当AD＝CD时，如图，D点在AC的垂直平分线上，求得此时D点的横坐标，代入BC的表达式求得纵坐标即可．
【解答】解：（1）直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令y＝0即0=−43x+4，解得x＝3，
令x＝0得y＝4，
即点A坐标为（3，0），点B坐标为（0，4），
故答案为：（3，0），（0，4）；
（2）设过点B（0，4）、C（﹣2，0）的直线解析式为y＝kx+b，
则有：0=−2k+b4=b，
解得：k=2b=4，
故直线BC的表达式y＝2x+4；
（3）由（1）可知，AC＝OA+OC＝5，AB=OA2+OB2=5，
当AD＝AC时，此时D与B重合，
D点坐标为（0，4），
当AD＝CD时，如图，D点在AC的垂直平分线上，

此时D点的横坐标为：3+(−2)2=12，
将x=12代入y＝2x+4，
求得y＝5，
D点坐标为(12，5)，
故D点坐标为（0，4）或(12，5)．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的存在性；解题的关键是熟练掌握点与函数图象的关系．

【变式7-5】（2022春•丹江口市期中）如图，直线y＝x+3交y轴于点A，交x轴于点B，经过点（2，2）且平行于直线y＝﹣2x的直线交x轴于点C，交y轴于点D，交AB于点E．
（1）直线CD的解析式为 　 　；
（2）求△EBC的面积；
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，若PQ＝2AD，求点P的坐标．

【分析】（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，把（2，2）代入y＝﹣2x+b即可得出答案；
（2）由y=x+3y=−2x+6可得E（1，4），再由三角形面积公式进行解答即可；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），得出PQ＝|x+3﹣（﹣2x+6）|，再由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，
把（2，2）代入y＝﹣2x+b得：2＝﹣4+b，
∴b＝6，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣2x+6．
故答案为：y＝﹣2x+6；
（2）由y=x+3y=−2x+6，
解得x=1y=4，
∴E（1，4），
当y＝0时，0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
当y＝0时，0＝﹣2x+6，
解得：x＝3，
∴C（3，0），
∴BC＝6，
∴S△EBC=12×BC×yE=12×6×4=12；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），

由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，
解得：x＝3或﹣1，
∴P（3，6）或（﹣1，2）．

【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，涉及到求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，掌握以上知识点是解题的关键．

【变式7-6】（2021秋•榆林期末）如图，已知直线AB经过点（1，﹣2），且与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B，作直线AB关于y轴对称的直线BC交x轴于点C，点P为OC的中点．
（1）求直线AB的函数表达式和点B的坐标；
（2）若经过点P的直线l将△ABC的面积分为1：3的两部分，求所有符合条件的直线l的函数表达式．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况考虑：当直线l经过点B时，此时S△BCP：S△BAP＝1：3；（②当直线l与AB的交点D在第四象限时，易得S△APD=14S△ABC＝2，求出D点坐标，即可确定出直线l解析式．
【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（h≠0）．
把点（1，﹣2），（2，0）代入得k+b=−22k+b=0，
解得k=2b=−4，
∴直线AB为y＝2x﹣4．
当x＝0时，y＝2x﹣4＝﹣4，
∴B（0，﹣4）．
（2）①当直线l经过点B时，如图1．
∵直线AB关于y轴对称的直线BC交x轴于点C，
∴OA＝OC＝2，
∴C（﹣2，0）．
∵P为OC的中点，
∴P（﹣1，0），
∴AP＝3CP，
∴S△BCP：S△BAP＝1：3．
设此时直线l的表达式为y＝mx+n（ m≠0）．
将点P（﹣1，0）、B（0，﹣4）代入得−m+n=0n=−4，
解得m=−4n=−4，
∴此时直线l的表达式为y＝﹣4x﹣4；
②当直线l与AB的交点D在第四象限时，如图2．
∵A（2，0），C（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴AC＝4，OB＝4，
∴S△ABC=12AC•OB=12×4×4＝8．
∵直线l将△ABC的面积分为1：3的两部分，
∴S△APD=14S△ABC＝2，
∴12•AP•|yD|＝2，即12×3×|yD|＝2，
解得|yD|=43，
将y=−43代入y＝2x﹣4，得x=43，
∴D（43，−43）．
设此时直线l的函数表达式为y＝m2x+n2（ m2≠0）．
将点D（43，−43）、P（﹣1，0）代入得−m2+n2=043m2+n2=−43，
解得m2=−47n2=−47，
∴此时直线l的函数表达式为y=−47x−47．
综上所述，所有符合条件的直线l的函数表达式为y＝﹣4x﹣4或y=−47x−47．


【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．