2023年上海市普陀区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年上海市普陀区中考数学一模试卷（含答案），共39页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年上海市普陀区中考数学一模试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）下列函数图象中，与轴交点的坐标是的是　　
A． B． C． D．
2．（4分）在中，已知，，，那么的长是　　
A．6 B．3 C． D．．
3．（4分）如果二次函数的图象如图所示，那么下列说法中正确的是　　

A．， B．， C．， D．，
4．（4分）如图，已知是的中点，，，，那么下列结论中错误的是　　

A． B． C． D．
5．（4分）已知为实数，是非零向量，下列关于的说法中正确的是　　
A．如果，那么
B．如果是正整数，那么表示个相加
C．如果，那么
D．如果，与的方向一定相同
6．（4分）在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是　　
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知，，那么　　．
8．（4分）已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么　　（填“”、“ ”或“ “
9．（4分）已知二次函数的图象有最高点，那么的取值范围是 　　．
10．（4分）已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于 　　．
11．（4分）已知点在抛物线上，将此抛物线沿着轴向上平移3个单位，点随之平移到点的位置，那么点的坐标是 　　．
12．（4分）已知是线段的中点，设，那么　　（用向量表示）
13．（4分）在中，，，，那么　　．
14．（4分）如图，在四边形中，，，如果，，那么　　．

15．（4分）如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点、、、都在小正方形顶点的位置上，与交于点，那么的长是 　　．

16．（4分）如图，中的一边与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边、分别与刻度尺的另一边交于点、，点、、、在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么的面积是 　　．

17．（4分）如图，点、在的边上，，，如果，，那么的值是 　　．

18．（4分）如图，在中，为边上的中线，，，．将绕点以逆时针方向旋转得到△，点、分别与点、对应．联结，与线段交于点．如果点、、在同一条直线上，那么　　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知梯形中，，是上一点，，、相交于点，．
（1）求的值；
（2）联结，设，，那么　　，　　（用向量、表示）

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）将这个正比例函数的图象向上平移个单位，新函数的图象与反比例函数的图象交于点，如果点的纵坐标是横坐标的3倍，求的值．

22．（10分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为6米．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取


23．（12分）已知：如图，在四边形中，为上一点，，．
（1）求证：；
（2）如果、、分别是、、的中点，联结、、、．求证：．

24．（12分）在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标；
（3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离．

25．（14分）如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点．
（1）当点与点重合时，如果，求的长；
（2）当点在线段的延长线上，
①求的值；
②如果，求的余切值．




参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）下列函数图象中，与轴交点的坐标是的是　　
A． B． C． D．
【分析】把代入解析式，解答即可．
解：．当时，，不符合题意；
．当时，，不符合题意；
．当时，，符合题意；
．当时，，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点都在该函数的图象上．
2．（4分）在中，已知，，，那么的长是　　
A．6 B．3 C． D．．
【分析】根据三角函数中正切值的定义解决此题．
解：如图．

在中，，，，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查正切值，熟练掌握正切值的定义是解决本题的关键．
3．（4分）如果二次函数的图象如图所示，那么下列说法中正确的是　　

A．， B．， C．， D．，
【分析】根据解析式知，，是抛物线的顶点坐标，再根据函数图象得出结论．
解：，
顶点坐标为，
由图象可得，，，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是能根据图象找出二次函数的顶点存在的特点、性质．
4．（4分）如图，已知是的中点，，，，那么下列结论中错误的是　　

A． B． C． D．
【分析】用证明，得，可证，从而说明、、正确．
解：设交于点．

点是的中点，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
故选项，，正确．
故选：．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
5．（4分）已知为实数，是非零向量，下列关于的说法中正确的是　　
A．如果，那么
B．如果是正整数，那么表示个相加
C．如果，那么
D．如果，与的方向一定相同
【分析】若，则；当时，；当时，与的方向相反，由此可得答案．
解：．若，则，
故选项错误，不符合题意；
．若是正整数，则表示个相加，
故选项正确，符合题意；
．当时，，
故选项错误，不符合题意；
．当时，与的方向相反，
故选项错误，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．
6．（4分）在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是　　
A． B． C． D．
【分析】利用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定解决问题即可．
解：、由，可以根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选项不符合题意；
、由，可以推出根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选项不符合题意；
、由，不能判定两三角形相似．本选项符合题意；
、由，可以推出，根据三边成比例两三角形相似，本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知，，那么　2　．
【分析】直接利用已知代入求出的值，即可得出的值，进而得出答案．
解：，，
，则，
解得：，
故，
那么．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．
8．（4分）已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么　　（填“”、“ ”或“ “
【分析】先根据反比例函数的图象在第一、三象限可知，故在每一象限内随的增大而减小，据此可得出结论．
解：反比例函数的图象在第一、三象限，
，在每一象限内随的增大而减小．
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数的增减性是解题的关键．
9．（4分）已知二次函数的图象有最高点，那么的取值范围是 　　．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
解：由题意可知：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
10．（4分）已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于 　2　．
【分析】由对称轴公式可得到关于的方程，可求得答案．
解：的对称轴是直线，
，
解得：．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即的对称轴为．
11．（4分）已知点在抛物线上，将此抛物线沿着轴向上平移3个单位，点随之平移到点的位置，那么点的坐标是 　　．
【分析】确定平移后得顶点坐标，再根据顶点式写出最后抛物线的解析式，进而解答即可．
解：抛物线上，将此抛物线沿着轴向上平移3个单位，得到的抛物线是，即，
把，代入中，可得：，
解得：，
点的坐标是，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，关键是根据平移的规律解答．
12．（4分）已知是线段的中点，设，那么　　（用向量表示）
【分析】由题意得，则．
解：是线段的中点，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加法运算法则是解答本题的关键．
13．（4分）在中，，，，那么　　．
【分析】首先根据题意得出为直角三角形，再画出图形，其中，，；然后根据计算即可．
解：，，，
，
是直角三角形，
如图所示：

在中，，，，
则．

【点评】本题考解直角三角形，牢记锐角三角函数的定义是解题关键．
14．（4分）如图，在四边形中，，，如果，，那么　　．

【分析】先根据平行线的性质得到，加上，则利用相似三角形的判定方法可判断，然后利用相似比可求出的长．
解：，
，
，
，
，
即，
解得，
即的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．
15．（4分）如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点、、、都在小正方形顶点的位置上，与交于点，那么的长是 　2.5　．

【分析】先根据勾股定理，得，再根据比例线段求出．
解：连接，

根据勾股定理，得，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，掌握两个知识点的应用，推出比例线段是解题关键．
16．（4分）如图，中的一边与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边、分别与刻度尺的另一边交于点、，点、、、在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么的面积是 　　．

【分析】过点作，垂足为，并延长交于点，根据题意得：，，，，从而可得，，然后证明字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
解：过点作，垂足为，并延长交于点，

由题意得：，，，，
，，
，
，
，
解得：，
的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（4分）如图，点、在的边上，，，如果，，那么的值是 　　．

【分析】由，，得，有，同理可得，故，即可得答案．
解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
18．（4分）如图，在中，为边上的中线，，，．将绕点以逆时针方向旋转得到△，点、分别与点、对应．联结，与线段交于点．如果点、、在同一条直线上，那么　　．

【分析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，过作于，设交轴于，由为边上的中线，，，可得，，设，由，可得，故，，，，直线解析式为，根据将绕点以逆时针方向旋转得到△，可证，得四边形是矩形，从而求得，，直线解析式为，联立得，，即可得到答案．
解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，过作于，设交轴于，如图：

为边上的中线，，，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，，
，，
由，，得直线解析式为，
将绕点以逆时针方向旋转得到△，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
由，，得直线解析式为，
联立得，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形中的旋转问题，解题的关键是建立直角坐标系，求出相关点的坐标．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：原式


．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）如图，已知梯形中，，是上一点，，、相交于点，．
（1）求的值；
（2）联结，设，，那么　　，　　（用向量、表示）

【分析】（1）根据题意可证明四边形为平行四边形，得到，则，，易证明，由相似三角形的性质即可求解；
（2）由得，，由三角形法则求出和，再求出，最后利用三角形法则即可求出．
解：，，
四边形为平行四边形，
，
，
，，
，
，
；
（2）联结，如图，

由（1）可得，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）将这个正比例函数的图象向上平移个单位，新函数的图象与反比例函数的图象交于点，如果点的纵坐标是横坐标的3倍，求的值．

【分析】（1）将点代入反比例函数，求出的值，再待定系数法求正比例函数解析式即可；
（2）设点横坐标为，则纵坐标为，根据点的纵坐标是横坐标的3倍，列方程求出的值，即可确定点坐标，再将点坐标代入，即可求出的值．
解：（1）根据题意，将点代入反比例函数，
得，
解得，
点坐标为，
将点代入正比例函数，
得，
解得，
正比例函数解析式为；
（2）这个正比例函数的图象向上平移个单位，得，
设点横坐标为，则纵坐标为，
点的纵坐标是横坐标的3倍，
，
解得或（舍，
点坐标为，
将点坐标代入，
得，
解得．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
22．（10分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为6米．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取


【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．
解：（1）作，交的延长线于点，
则，
，，
，，
，，
米，
（米，（米，
（米，
即的长为米；
（2）设水池的深为米，则米，
由题意可知：，．米，
（米，（米，
，
，
解得，
即水池的深约为4米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（12分）已知：如图，在四边形中，为上一点，，．
（1）求证：；
（2）如果、、分别是、、的中点，联结、、、．求证：．

【分析】（1）将变形为，由，根据三角形的内角和定理推导出，即可证明；
（2）根据三角形的中位线定理得，，，，，可证明四边形是平行四形，则，再证明，得，所以．
【解答】证明：（1）如图1，，
，
，
，
，，
，
．
（2）如图2，、、分别是、、的中点，
，，，，，
，，
四边形是平行四形，
，
，，
，
，
，
．


【点评】此题重点考查三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线边形的判定等知识，证明四边形是平行四形及是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标；
（3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点，则，在中，，则，即可求解；
（3）直线恰好经过的重心，则为边上的中线，由点、的坐标得的中点坐标为，进而求解．
解：（1）由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为，则点；

（2）设抛物线的对称轴交轴于点，过点作于点，

设点，则，
在中，，
则，
解得：，
即点的坐标为：；

（3）直线恰好经过的重心，
则为边上的中线，
由点、的坐标得的中点坐标为，
则直线的表达式为：，
联立和并解得：（不合题意的值已舍去），
即点的坐标为，，
故点到轴的距离为：．

【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到重心的定义、解直角三角形、一次函数的应用等知识点，数形结合是本题解题的关键．
25．（14分）如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点．
（1）当点与点重合时，如果，求的长；
（2）当点在线段的延长线上，
①求的值；
②如果，求的余切值．


【分析】（1）设，根据矩形的性质即解直角三角形推出，，根据勾股定理得到，据此求解即可；
（2）①交于点，连接，根据相似三角形的判定与性质推出，，，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理求出，据此求解即可；
②设，则，设，且，，则，根据锐角三角函数得到，根据勾股定理求出，，根据平行线的性质得出，根据相似三角形的性质得，进而求出，据此即可得解．
解：（1）如图，当点与点重合时，设，

四边形是矩形，
，，，，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
；
（2）①如图，交于点，连接，

由（1）得，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
；
②如图，连接，

，
设，则，设，且，，则，
，
，
，，，
，
，
，
即，
，
由①得，，
，
，
两边平方并整理得，
，
，，
，，
，
，
，
即的余切值．
【点评】此题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键．