专题3.7 二次函数专题(培优篇)-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练(全国通用)
展开专题3.7 二次函数专题(培优篇)
一、单选题
1.(2022·四川凉山·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是( )
A.a>0
B.a+b=3
C.抛物线经过点(-1,0)
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根
2.(2022·四川成都·统考中考真题)如图,二次函数的图像与轴相交于,两点,对称轴是直线,下列说法正确的是( )
A. B.当时,的值随值的增大而增大
C.点的坐标为 D.
3.(2022·辽宁·统考中考真题)如图,在等边三角形ABC中,BC=4,在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠F=30°,DE=4,点B,C,D,E在一条直线上,点C,D重合,△ABC沿射线DE方向运动,当点B与点E重合时停止运动.设△ABC运动的路程为x,△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S,则能反映S与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
4.(2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图,抛物线的对称轴是,并与x轴交于A,B两点,若,则下列结论中:①;②;③;④若m为任意实数,则,正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2022·山东济南·统考中考真题)抛物线与y轴交于点C,过点C作直线l垂直于y轴,将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G,点,为图形G上两点,若,则m的取值范围是( )
A.或 B. C. D.
6.(2022·辽宁丹东·统考中考真题)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(5,0),与y轴交于点C,其对称轴为直线x=2,结合图象分析如下结论:①abc>0;②b+3a<0;③当x>0时,y随x的增大而增大;④若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A,则点E(k,b)在第四象限;⑤点M是抛物线的顶点,若CM⊥AM,则a=.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.(2021·山东济南·统考中考真题)新定义:在平面直角坐标系中,对于点和点,若满足时,;时,,则称点是点的限变点.例如:点的限变点是,点的限变点是.若点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的纵坐标的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.(2021·辽宁盘锦·统考中考真题)如图,四边形ABCD是菱形,BC=2,∠ABC=60°,对角线AC与BD相交于点O,线段BD沿射线AD方向平移,平移后的线段记为PQ,射线PQ与射线AC交于点M,连结PC,设OM长为,△PMC面积为.下列图象能正确反映出与的函数关系的是( )
A.B.C.D.
9.(2021·浙江·统考中考真题)已知抛物线与轴的交点为和,点,是抛物线上不同于的两个点,记的面积为的面积为.有下列结论:①当时,;②当时,;③当时,;④当时,.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2022·内蒙古·中考真题)如图,抛物线()的对称轴为直线,抛物线与x轴的一个交点坐标为),下列结论:①;②;③当时,x的取值范围是;④点,都在抛物线上,则有.其中结论正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.(2022·四川成都·统考中考真题)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度(米)与物体运动的时间(秒)之间满足函数关系,其图像如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设表示0秒到秒时的值的“极差”(即0秒到秒时的最大值与最小值的差),则当时,的取值范围是_________;当时,的取值范围是_________.
12.(2022·辽宁营口·统考中考真题)如图1,在四边形中,,动点P,Q同时从点A出发,点P以的速度沿向点B运动(运动到B点即停止),点Q以的速度沿折线向终点C运动,设点Q的运动时间为,的面积为,若y与x之间的函数关系的图像如图2所示,当时,则____________.
13.(2022·广西贵港·中考真题)已知二次函数,图象的一部分如图所示,该函数图象经过点,对称轴为直线.对于下列结论:①;②;③;④(其中);⑤若和均在该函数图象上,且,则.其中正确结论的个数共有_______个.
14.(2021·四川南充·统考中考真题)关于抛物线,给出下列结论:①当时,抛物线与直线没有交点;②若抛物线与x轴有两个交点,则其中一定有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间;③若抛物线的顶点在点(0,0),(2,0),(0,2)所围成的三角形区域内(包括边界),则.其中正确结论的序号是________.
15.(2021·江苏连云港·统考中考真题)某快餐店销售A、B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是______元.
16.(2020·四川乐山·中考真题)我们用符号表示不大于的最大整数.例如:,.那么:
(1)当时,的取值范围是______;
(2)当时,函数的图象始终在函数的图象下方.则实数的范围是______.
17.(2020·山东烟台·统考中考真题)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①ab>0;②a+b﹣1=0;③a>1;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,另一个根为﹣.其中正确结论的序号是_____.
18.(2020·湖北咸宁·中考真题)如图,四边形是边长为2的正方形,点E是边上一动点(不与点B,C重合),,且交正方形外角的平分线于点F,交于点G,连接,有下列结论:
①;
②;
③;
④的面积的最大值为1.
其中正确结论的序号是_____________.(把正确结论的序号都填上)
三、解答题
19.(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)已知某厂以小时/千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),且每小时可获得利润元.
(1)某人将每小时获得的利润设为y元,发现时,,所以得出结论:每小时获得的利润,最少是180元,他是依据什么得出该结论的,用你所学数学知识帮他进行分析说明;
(2)若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产,则1天(按8小时计算)可生产该产品多少千克;
(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
20.(2020·湖北黄石·中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为N.
(1)若此抛物线过点,求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,若抛物线与y轴交于点B,连接,C为抛物线上一点,且位于线段的上方,过C作垂直x轴于点D,交于点E,若,求点C坐标;
(3)已知点,且无论k取何值,抛物线都经过定点H,当时,求抛物线的解析式.
21.(2020·浙江绍兴·统考中考真题)如图1,排球场长为18m,宽为9m,网高为2.24m.队员站在底线O点处发球,球从点O的正上方1.9m的C点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A时,高度为2.88m.即BA=2.88m.这时水平距离OB=7m,以直线OB为x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,如图2.
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线),求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由;
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图1,点P距底线1m,边线0.5m),问发球点O在底线上的哪个位置?(参考数据:取1.4)
22.(2020·浙江台州·统考中考真题)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1).
科学原理:如图2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H(单位:cm),如果在离水面竖直距离为h(单校:cm)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位:cm)与h的关系为s2=4h(H—h).
应用思考:现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距高h cm处开一个小孔.
(1)写出s2与h的关系式;并求出当h为何值时,射程s有最大值,最大射程是多少?
(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同,求a,b之间的关系式;
(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔离水面的竖直距离.
23.(2020·四川巴中·统考中考真题)如图,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),交y轴正半轴于点C,M为BC中点,点P为抛物线上一动点,已知点A坐标,且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当时,求PM的长;
(3)当时,求点P的坐标.
24.(2020·四川·统考中考真题)如图1,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)与x轴交于点A,B.与y轴交于点C.连接AC,BC.已知△ABC的面积为2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P,Q两点.过P,Q向x轴作垂线,垂足分别为G,H.若四边形PGHQ为正方形,求正方形的边长;
(3)如图2,平行于y轴的直线交抛物线于点M,交x轴于点N (2,0).点D是抛物线上A,M之间的一动点,且点D不与A,M重合,连接DB交MN于点E.连接AD并延长交MN于点F.在点D运动过程中,3NE+NF是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
参考答案
1.C
【分析】根据抛物线的图像与性质,根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论.
解:A、根据抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧可知,该说法正确,故该选项不符合题意;
B、由抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点(1,0)和点(0,-3)可知,解得,该说法正确,故该选项不符合题意;
C、由抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点(1,0),对称轴在y轴的左侧,则抛物线不经过(-1,0),该说法错误,故该选项符合题意;
D、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1根的情况,可以转化为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线的交点情况,根据抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点(1,0)和点(0,-3),,结合抛物线开口向上,且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线的有两个不同的交点,该说法正确,故该选项不符合题意;
故选:C.
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质,涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点,根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键.
2.D
【分析】结合二次函数图像与性质,根据条件与图像,逐项判定即可.
解:A、根据图像可知抛物线开口向下,即,故该选项不符合题意;
B、根据图像开口向下,对称轴为,当,随的增大而减小;当,随的增大而增大,故当时,随的增大而增大;当,随的增大而减小,故该选项不符合题意;
C、根据二次函数的图像与轴相交于,两点,对称轴是直线,可得对称轴,解得,即,故该选项不符合题意;
D、根据可知,当时,,故该选项符合题意;
故选:D.
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质,根据图像得到抛物线开口向下,根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键.
3.A
【分析】分三种情形∶ ①当0<x≤2时, 重叠部分为△CDG,②当2<x≤4时,重叠部分为四边形AGDC,③当4<x≤8时,重叠部分为△BEG,分别计算即可.
解:过点A作AM⊥BC,交BC于点M,
在等边△ABC中,∠ACB=60°,
在Rt△DEF中,∠F=30°,
∴∠FED=60°,
∴∠ACB=∠FED,
∴ACEF,
在等边△ABC中,AM⊥BC,
∴BM=CM=BC=2,AM=BM=2,
∴S△ABC=BC•AM=4,
①当0<x≤2时,设AC与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG,
由题意可得CD=x,DG=x
∴S=CD•DG=x2;
②当2<x≤4时,设AB与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC,
由题意可得:CD=x,则BD=4﹣x,DG=(4﹣x),
∴S=S△ABC﹣S△BDG=4﹣×(4﹣x)×(4﹣x),
∴S=﹣x2+4x﹣4=﹣(x﹣4)2+4,
③当4<x≤8时,设AB与EF交于点G,过点G作GM⊥BC,交BC于点M,
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG,
由题意可得CD=x,则CE=x﹣4,DB=x﹣4,
∴BE=x﹣(x﹣4)﹣(x﹣4)=8﹣x,
∴BM=4﹣x
在Rt△BGM中,GM=(4﹣x),
∴S=BE•GM=(8﹣x)×(4﹣x),
∴S=(x﹣8)2,
综上,选项A的图像符合题意,
故选:A.
【点拨】本题考查了特殊三角形的性质,二次函数的图形等知识,灵活运用所学知识解决问题,利用割补法求多边形的面积是解题的关键.
4.C
【分析】根据函数图像的开口方向,对称轴,图像与y轴的交点,即可判断①;根据对称轴x= - 2,OA=5OB,可得OA=5,OB=1,点A(-5,0),点B(1,0),当x=1时,y=0即可判断②;根据对称轴x= - 2以及a+b+c=0得a与c的关系,即可判断③;根据函数的最小值是当x=-2时y=4a-2b+c即可判断④.
解:①观察图像可知a>0,b>0,c<0,
∴abc<0,
故①错误
②∵对称轴为直线x= - 2 ,OA=5OB,可得OA=5 ,OB=1
∴点A(-5,0),点B(1,0)
∴当x= -1时,y=0即a+b+c= 0
∴(a+c)2-b2=(a+b+c)(a+c-b)=0
故②正确
③抛物线的对称轴为直线x=- 2,即 =-2
∴b=4a
∵a+b+c=0
∴ 5a+c=0
∴c=-5a
∴9a+4c=-11a<0,
故③正确
④ 当x=-2时函数有最小值y=4a-2b+c,
由am2+bm+2b≥4a,可得
am2+bm+c≥4a-2b+c
∴若m为任意实数,则am2+bm+2b≥4a,
故④正确
故选C
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系,二次函数图像上点的坐标特征,解决本题的关键是掌握二次函数图像与系数关系.
5.D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值,再根据m-1<m+1,判断出M点在N点左侧,此时分类讨论:第一种情况,当N点在y轴左侧时,第二种情况,当M点在y轴的右侧时,第三种情况,当y轴在M、N点之间时,来讨论,结合图像即可求解.
解:抛物线解析式变形为:,
即抛物线对称轴为,
当x=m-1时,有,
当x=m+1时,有,
设(m-1,1)为A点,(m+1,1)为B点,
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称,
当x=0时,有,
∴C点坐标为,
当x=m时,有,
∴抛物线顶点坐标为,
∵直线l⊥y轴,
∴直线l为,
∵m-1<m+1,
∴M点在N点左侧,
此时分情况讨论:
第一种情况,当N点在y轴左侧时,如图,
由图可知此时M、N点分别对应A、B点,即有,
∴此时不符合题意;
第二种情况,当M点在y轴的右侧时,如图,
由图可知此时M、N点满足,
∴此时不符合题意;
第三种情况,当y轴在M、N点之间时,如图,
或者 ,
由图可知此时M、N点满足,
∴此时符合题意;
此时由图可知:,
解得,
综上所述:m的取值范围为:,
故选:D.
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质,注重数形结合是解答本题的关键.
6.D
【分析】①正确,根据抛物线的位置判断即可;②正确,利用对称轴公式,可得b=﹣4a,可得结论;③错误,应该是x>2时,y随x的增大而增大;④正确,判断出k>0,可得结论;⑤正确,设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣5)=a(x﹣2)2﹣9a,可得M(2,﹣9a),C(0,﹣5a),过点M作MH⊥y轴于点H,设对称轴交x轴于点K.利用相似三角形的性质,构建方程求出a即可.
解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵对称轴是直线x=2,
∴﹣=2,
∴b=﹣4a<0
∵抛物线交y轴的负半轴,
∴c<0,
∴abc>0,故①正确,
∵b=﹣4a,a>0,
∴b+3a=﹣a<0,故②正确,
观察图象可知,当0<x≤2时,y随x的增大而减小,故③错误,
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A,
∵b<0,
∴k>0,此时E(k,b)在第四象限,故④正确.
∵抛物线经过(﹣1,0),(5,0),
∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣5)=a(x﹣2)2﹣9a,
∴M(2,﹣9a),C(0,﹣5a),
过点M作MH⊥y轴于点H,设对称轴交x轴于点K.
∵AM⊥CM,
∴∠AMC=∠KMH=90°,
∴∠CMH=∠KMA,
∵∠MHC=∠MKA=90°,
∴△MHC∽△MKA,
∴=,
∴=,
∴a2=,
∵a>0,
∴a=,故⑤正确,
故选:D.
【点拨】本题考查二次函数的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
7.D
【分析】根据题意,当时,的图象向下平移4个单位,当时,,的图象关于轴对称,据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围,作出函数图像,直观的观察可得到的取值范围
解:点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的图像即为图中虚线部分,如图,
当时,的图象向下平移4个单位,当时,的图象关于轴对称,
从图可知函数的最大值是当时,取得最大值3,
最小值是当时,取得最小值,
.
故选D.
【点拨】本题考查了新定义,二次函数的最值问题,分段讨论函数的最值,可以通过函数图像辅助求解,理解新定义,画出函数图像是解题的关键.
8.D
【分析】由四边形ABCD是菱形,BC=2,∠ABC=60°,可求出AC、AO、OC的长,再设OM=x,利用解直角三角形表示出PM,分点M在线段OC上(不含点O)时和当点在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象即可判断出正确答案.
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC=2,∠BAD=180°−∠ABC=120°,
∴∠DAO=∠BAD=60°,
∴△DAC是等边三角形,
∴AD=AC=2,
∴AO=CO=AC=1,
设OM=x,
∵AC⊥BD,PQ为BD平移而来,
∴∠AOD=∠AMP=90°,
∴△AMP为直角三角形,
∴PM=AM•tan∠PAM=(1+x),
①当点M在线段OC上(不含点O)时,
即0≤x<1,此时CM=1−x,
则y=(1−x)×(1+x)=−,
∴0≤x<1,函数图象开口应朝下,
故B、C不符合题意,
②当点在线段OC延长线上时,即x>1,如图所示:
此时C=x−1,
则y=(x−1)×(x+1)=,
∴只有D选项符合题意,
故选:D.
【点拨】本题考查了菱形的性质,三角形面积,解直角三角形,二次函数图象等知识,熟练掌握上述知识并能分点M在线段OC上(不含点O)时和当点在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象进行判断是解题的关键.
9.A
【分析】通过和的不等关系,确定,在抛物线上的相对位置,逐一分析即可求解.
解:∵抛物线与轴的交点为和,
∴该抛物线对称轴为,
当时与当时无法确定,在抛物线上的相对位置,
故①和②都不正确;
当时,比离对称轴更远,且同在x轴上方或者下方,
∴,
∴,故③正确;
当时,即在x轴上到2的距离比到的距离大,且都大于1,
可知在x轴上到2的距离大于1,到2的距离不能确定,
所以无法比较与谁离对称轴更远,故无法比较面积,故④错误;
故选:A.
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质,掌握二次函数的对称性是解题的关键.
10.C
【分析】根据抛物线的开口,对称轴,特殊值x=-1可判断①②正确,根据图像可得,当y>0时,是x轴上方的图像,可判断③错误,求出,,结合①②的结论即可判断出④正确.
解:∵抛物线的开口向下,a<0,对称轴为x=1,
∴,
∴,
∵抛物线交于y轴正半轴,
∴c>0,
∴,故①正确;
∵抛物线与x轴交于(-1,0),
∴当x=-1时,,
∵,
∴将代入,得3a+c=0,故②正确;
根据图像可得,当y>0时,是x轴上方的图像,抛物线过点(-1,0),对称轴为x=1,
根据抛物线的对称性可得,抛物线过点(3,0),
∴y>0时,有,故③错误;
∵抛物线与x轴的两个交点为:(-1,0),(3,0),对称轴为x=1,
当x=-2时,,
当x=2时,,
∵,3a+c=0,a<0,
∴,,
∴,故④正确,
故选:C.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质,解决这类题需要掌握:a看抛物线开口方向,b往往看对称轴,c看抛物线与y轴的交点,以及抛物线的对称性以及代入特殊点等.
11.
【分析】根据题意,得-45+3m+n=0,,确定m,n的值,从而确定函数的解析式,根据定义计算确定即可.
解:根据题意,得-45+3m+n=0,,
∴ ,
∴ ,
解得m=50,m=10,
当m=50时,n=-105;当m=10时,n=15;
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴n>0,
∴,
∵对称轴为t==1,a=-5<0,
∴时,h随t的增大而增大,
当t=1时,h最大,且(米);当t=0时,h最最小,且(米);
∴w=,
∴w的取值范围是,
故答案为:.
当时,的取值范围是
∵对称轴为t==1,a=-5<0,
∴时,h随t的增大而减小,
当t=2时,h=15米,且(米);当t=3时,h最最小,且(米);
∴w=,w=,
∴w的取值范围是,
故答案为:.
【点拨】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式,函数的最值,增减性,对称性,新定义计算,熟练掌握函数的最值,增减性,理解新定义的意义是解的关键.
12.
【分析】根据题意以及函数图像可得出,则点在上运动时,为等腰直角三角形,然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时,此时,则,当时,过点作于点,则此时,分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式,将代入解析式求解即可.
解:过点作,垂足为,
在中,
∵,,
∴,
∵点P的速度为,点Q的速度为,
∴,
∴,
在和中,
∵,,
∴,
∴点在上运动时,为等腰直角三角形,
∴,
∴当点在上运动时,,
由图像可知,当此时面积最大,或(负值舍去),
∴,
当时,过点作于点,如图:
此时,
在中,,,
∴,,,
∴,
即,
所以当时,,
故答案为:.
【点拨】本题考查了动点问题的函数图像,求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键.
13.3
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴,求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0),代入可得:,再根据抛物线开口朝下,可得,进而可得,,再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可.
解:∵抛物线的对称轴为:,且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0),
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0),
∴代入(-2,0)、(1,0)得:,
解得:,故③正确;
∵抛物线开口朝下,
∴,
∴,,
∴,故①错误;
∵抛物线与x轴两个交点,
∴当y=0时,方程有两个不相等的实数根,
∴方程的判别式,故②正确;
∵,
∴,,
∴,
∵,,
∴,
即,故④正确;
∵抛物线的对称轴为:,且抛物线开口朝下,
∴可知二次函数,在时,y随x的增大而减小,
∵,
∴,故⑤错误,
故正确的有:②③④,
故答案为:3.
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识,掌握二次函数的性质,特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键.
14.②③
【分析】先联立方程组,得到,根据判别式即可得到结论;②先求出a<1,分两种情况:当0<a<1时,当a<0时,进行讨论即可;③求出抛物线的顶点坐标为:,进而即可求解.
解:联立,得,
∴∆=,当时,∆有可能≥0,
∴抛物线与直线有可能有交点,故①错误;
抛物线的对称轴为:直线x=,
若抛物线与x轴有两个交点,则∆=,解得:a<1,
∵当0<a<1时,则>1,此时,x<,y随x的增大而减小,
又∵x=0时,y=1>0,x=1时,y=a-1<0,
∴抛物线有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间,
∵当a<0时,则<0,此时,x>,y随x的增大而减小,
又∵x=0时,y=1>0,x=1时,y=a-1<0,
∴抛物线有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间,
综上所述:若抛物线与x轴有两个交点,则其中一定有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间,故②正确;
抛物线的顶点坐标为:,
∵,
∴抛物线的顶点所在直线解析式为:x+y=1,即:y=-x+1,
∵抛物线的顶点在点(0,0),(2,0),(0,2)所围成的三角形区域内(包括边界),
∴,解得:,故③正确.
故答案是:②③.
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质,掌握二次函数与二次方程的联系,熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况,是解题的关键.
15.1264
【分析】根据题意,总利润=快餐的总利润+快餐的总利润,而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量,分别对两份快餐前后利润和数量分析,代入求解即可.
解:设种快餐的总利润为,种快餐的总利润为,两种快餐的总利润为,设快餐的份数为份,则B种快餐的份数为份.
据题意:,
,
∴,
∵,
∴当的时候,W取到最大值1264,故最大利润为1264元,
故答案为:1264.
【点拨】本题考查的是二次函数的应用,正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点.
16. 或
【分析】(1)首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围,继而利用取整函数定义精确求解x取值范围.
(2)本题可根据题意构造新函数,采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负,继而根据函数性质反求参数.
解:(1)因为表示整数,故当时,的可能取值为0,1,2.
当取0时, ;当取1时, ;当=2时,.
故综上当时,x的取值范围为:.
(2)令,,,
由题意可知:,.
①当时,=,,在该区间函数单调递增,故当时, ,得.
②当时,=0, 不符合题意.
③当时,=1, ,在该区间内函数单调递减,故当取值趋近于2时,,得,
当时,,因为 ,故,符合题意.
故综上:或.
【点拨】本题考查函数的新定义取整函数,需要有较强的题意理解能力,分类讨论方法在此类型题目极为常见,根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型,需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型.
17.②③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解:①由二次函数的图象开口向上可得a>0,对称轴在y轴的右侧,b<0,
∴ab<0,故①错误;
②由图象可知抛物线与x轴的交点为(1,0),与y轴的交点为(0,﹣1),
∴c=﹣1,
∴a+b﹣1=0,故②正确;
③∵a+b﹣1=0,
∴a﹣1=﹣b,
∵b<0,
∴a﹣1>0,
∴a>1,故③正确;
④∵抛物线与y轴的交点为(0,﹣1),
∴抛物线为y=ax2+bx﹣1,
∵抛物线与x轴的交点为(1,0),
∴ax2+bx﹣1=0的一个根为1,根据根与系数的关系,另一个根为﹣,故④正确;
故答案为②③④.
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系,二次函数与方程之间的转换.会利用特殊值代入法求得特殊的式子,如:y=a+b+c,然后根据图象判断其值.
18.①②③
【分析】证明∠BAE=∠CEG,结合∠B=∠BCD可证明△ABE∽△ECG,可判断①;在BA上截取BM=BE,证明△AME≌△ECF,可判断②;可得△AEF为等腰直角三角形,证明∠BAE+∠DAF=45°,结合∠BAE=∠CEF,∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF,可判断③;设BE=x,则BM=x,AM=AB-BM=2-x,根据△AME≌△ECF,求出△AME面积的最大值即可判断④.
解:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=∠BCD=90°,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠CEG=90°,又∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CEG,
∴△ABE∽△ECG,故①正确;
在BA上截取BM=BE,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=90°,BA=BC,
∴△BEM为等腰直角三角形,
∴∠BME=45°,
∴∠AME=135°,
∵BA-BM=BC-BE,
∴AM=CE,
∵CF为正方形外角平分线,
∴∠DCF=45°,
∴∠ECF=135°=∠AME,
∵∠BAE=∠FEC,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF,故②正确;
∴△AEF为等腰直角三角形,
∴∠EAF=∠EFA=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
而∠BAE=∠CEF,∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF,
∴,故③正确;
设BE=x,则BM=x,AM=AB-BM=2-x,
S△AME=•x•(2-x)=,
当x=1时,S△AME有最大值,
而△AME≌△ECF,
∴S△AME=S△CEF,
∴S△CEF有最大值,所以④错误;
综上:正确结论的序号是:①②③.
故答案为:①②③.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定,等腰直角三角形的判定和性质,正方形的性质,二次函数的最值,解题的关键是添加辅助线,灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题.
19.(1)见分析;(2)24千克;(3)该厂应该选取小时/千克的生产速度,最大利润为207400元.
【分析】(1)将y=看成一个正比例函数和一个反比例函数之和,再分贝根据两函数的增减性说明即可;
(2)由以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产可得×2=1800,解出t值即可;
(3)根据题意表示出生产680千克该产品获得的利润为y=680t·,再求出y的最大值以及此时t值即可.
解:(1)依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论;
令y=,当t=1时,y=180,
∵当,随t的增大而减小,-3t也随t的增大而减小,
∴-3t+的值随t的增大而减小,
∴y=随t的增大而减小,
当t=1时,y取最小,
∴他的结论正确;
(2)由题意可得:×2=1800,
整理得:,
解得:t=或-5(舍),
即以小时/千克的速度匀速生产产品,
则1天(按8小时计算)可生产该产品8÷=24千克;
(3)生产680千克该产品获得的利润为:y=680t·
整理得:y=,
当t=时,y最大,且为207400元.
故该厂应该选取小时/千克的生产速度,最大利润为207400元.
【点拨】本题考查了函数模型的建立,涉及到一次函数、反比例函数和二次函数,以及二次函数的最值,理解题意,确定函数模型是解题的关键.
20.(1)(2)C(-2,4)(3).
【分析】(1)把代入即可求解;
(2)根据题意作图,求出直线AB的解析式,再表示出E点坐标,代入直线即可求解;
(3)先求出定点H,过H点做HI⊥x轴,根据题意求出∠MHI=30°,再根据题意分情况即可求解.
解:(1)把代入
得-9-3k-2k=1
解得k=-2
∴抛物线的解析式为;
(2)设C(t, ),则E(t, ),
设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-3,1),(0,4)代入得
解得
∴直线AB的解析式为y=x+4
∵E(t, )在直线AB上
∴=t+4
解得t=-2(舍去正值),
∴C(-2,4);
(3)由=k(x-2)-x2,
当x-2=0即x=2时,y=-4
故无论k取何值,抛物线都经过定点H(2,-4)
二次函数的顶点为N()
1°如图,过H点做HI⊥x轴,若>2时,则k>4
∵,H(2,-4)
∴MI=,
∵HI=4
∴tan∠MHI=
∴∠MHI=30°
∵
∴∠NHI=30°
即∠GNH=30°
由图可知tan∠GNH=
解得k=4+2,或k=4(舍)
2°如图,若<2,则k<4
同理可得∠MHI=30°
∵
∴HN⊥IH,即
解得k=4不符合题意;
3°若=2,N、H重合,舍去.
∴k=4+2
∴抛物线的解析式为.
【点拨】此题主要考查二次函数综合,解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及三角函数的定义.
21.(1)这次发球过网,但是出界了,理由详见分析;(2)发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【分析】(1)求出抛物线表达式,再确定x=9和x=18时,对应函数的值即可求解;
(2)当y=0时,y=﹣(x﹣7)2+2.88=0,解得:x=19或﹣5(舍去﹣5),求出PQ=6=8.4,即可求解.
解:(1)设抛物线的表达式为:y=a(x﹣7)2+2.88,
将x=0,y=1.9代入上式并解得:a=﹣,
故抛物线的表达式为:y=﹣(x﹣7)2+2.88;
当x=9时,y=﹣(x﹣7)2+2.88=2.8>2.24,
当x=18时,y=﹣(x﹣7)2+2.88=0.64>0,
故这次发球过网,但是出界了;
(2)如图,分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q,
在Rt△OPQ中,OQ=18﹣1=17,
当y=0时,y=﹣(x﹣7)2+2.88=0,解得:x=19或﹣5(舍去﹣5),
∴OP=19,而OQ=17,
故PQ=6=8.4,
∵9﹣8.4﹣0.5=0.1,
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【点拨】此题考查求二次函数的解析式,利用自变量求对应的函数值的计算,勾股定理解直角三角形,二次函数的实际应用,正确理解题意,明确“能否过网”,“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.
22.(1),当时,;(2)或;(3)垫高的高度为16cm,小孔离水面的竖直距离为18cm
【分析】(1)将s2=4h(20-h)写成顶点式,按照二次函数的性质得出s2的最大值,再求s2的算术平方根即可;
(2)设存在a,b,使两孔射出水的射程相同,则4a(20-a)=4b(20-b),利用因式分解变形即可得出答案;
(3)设垫高的高度为cm,写出此时s2关于h的函数关系式,根据二次函数的性质可得答案.
解:(1)∵s2=4h(H-h),
∴当H=20时,s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400,
∴当h=10时,s2有最大值400,
∴当h=10时,s有最大值20cm.
∴当h为何值时,射程s有最大值,最大射程是20cm;
故答案为:最大射程是20cm.
(2) ∵s2=4h(20-h),
设存在a,b,使两孔射出水的射程相同,则有:
4a(20-a)=4b(20-b),
∴20a-a2=20b-b2,
∴a2-b2=20a-20b,
∴(a+b)(a-b)=20(a-b),
∴(a-b)(a+b-20)=0,
∴a-b=0或a+b-20=0,
∴a=b或a+b=20.
故答案为:a=b或a+b=20.
(3)设垫高的高度为cm,则
∴当时,
∴时,此时
∴垫高的高度为16cm,小孔离水面的竖直距离为18cm.
故答案为:垫高的高度为16cm,小孔离水面的竖直距离为18cm.
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用,厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键.
23.(1) ;(2) 或;(3) 或或
【分析】(1)先求出点B,点C坐标,利用待定系数法可求解析式;
(2)由全等三角形的性质可得PO=PC,,可得点P在CO的垂直平分线上,即可求解;
(3)分两种情况讨论,利用面积关系列出方程即可求解.
解:(1)∵,
∴,
又∵,
∴,,
∴,,
∵点B,点C,点A在抛物线上,
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为:;
(2)连接OM,
∵M为BC中点,
∴,
∵,
∴,,
∴MP是OC的垂直平分线,
∴轴,
∴点P的纵坐标为1,
当时,代入,
解得:,
∴或,
∴或;
(3)∵,,
∴,
∵,,
∴直线BC解析式为,
当点P在BC上方时,如图2,过点P作轴,交BC于点E,
设点,则点,
∴,
∴,
∴,
∴点;
当点P在BC下方时,如图3,过点P作轴,交BC于点E,
∴,
∴,
∴,
∴点或;
综上,点P的坐标为:或或.
【点拨】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法求解析式,全等三角形的性质等知识,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.
24.(1);(2)或;(3)是,3NE+NF为定值4
【分析】(1)先将抛物线解析式变形,可得A和B的坐标,从而得AB=1+3=4,根据三角形ABC的面积为2可得OC的长,确定点C的坐标,根据点C的坐标,利用待定系数法即可求出二次函数的解析式;
(2)设点P的纵坐标为m,当y=m时,﹣x2+x+1=m,解方程可得P和Q两点的坐标,从而得G和H的坐标,再利用正方形的性质可得出关于m的方程,解之即可得出结论;
(3)设点D(n,﹣n2+n+1),利用待定系数法求直线AD和BD的解析式,表示FN和OK的长,直接代入计算可得结论.
解:(1)如图1,y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x2﹣2x﹣3)=a(x﹣3)(x+1),
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∵△ABC的面积为2,即,
∴OC=1,
∴C(0,1),
将C(0,1)代入y=ax2﹣2ax﹣3a,得:﹣3a=1,
∴a=﹣,
∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1;
(2)如图2,设点P的纵坐标为m,当y=m时,﹣x2+x+1=m,
解得:x1=1+,x2=1﹣,
∴点P的坐标为(1﹣,m),点Q的坐标为(1+,m),
∴点G的坐标为(1﹣,0),点H的坐标为(1+,0),
∵矩形PGHQ为正方形,
∴PQ=PG,
∴1+﹣(1﹣)=m,
解得:m1=﹣6﹣2,m2=﹣6+2,
∴当四边形PGHQ为正方形时,边长为6+2或2﹣6;
(3)如图3,设点D(n,﹣n2+n+1),延长BD交y轴于K,
∵A(﹣1,0),
设AD的解析式为:y=kx+b,
则,解得:,
∴AD的解析式为:y=(﹣)x﹣,
当x=2时,y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3,
∴F(2,3﹣n),
∴FN=3﹣n,
同理得直线BD的解析式为:y=(﹣)x+n+1,
∴K(0,n+1),
∴OK=n+1,
∵N(2,0),B(3,0),
∴,
∵EN∥OK,
∴,
∴OK=3EN,
∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4,
∴在点D运动过程中,3NE+NF为定值4.
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)利用正方形的性质,找出关于m的方程;(3)利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长,可解决问题.
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