高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理复习练习题，共9页。试卷主要包含了能用计数原理证明二项式定理等内容，欢迎下载使用。

§6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
学习目标　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
导语
艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643－1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式定理，牛顿是如何思考的呢？

一、二项式定理
问题　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
提示　从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C.
知识梳理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*.
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．
(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
注意点：
(1)每一项中a与b的指数和为n.
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止．
(3)a与b的位置不能交换．
例1　求4的展开式．
解　方法一　4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋
C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
反思感悟　求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
跟踪训练1　求5的展开式．
解　方法一　5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)·4＋C5
＝32x5－120x2＋－＋－.
方法二　5＝
＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]
＝32x5－120x2＋－＋－.
二、二项式定理的逆用
例2　(1)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.
解　原式＝C·1n·20＋C·1n－1·2＋C·1n－2·22＋…＋C2n＝(1＋2)n＝3n.
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C·(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
延伸探究　若将例2(1)的式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC”，求化简结果．
解　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.

反思感悟　逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．
跟踪训练2　化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋
(－1)nC.
解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
三、二项展开式的通项的应用
例3　在二项式9的展开式中，
(1)求第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求x3的系数．
解　(1)由已知得二项式通项为
Tk＋1＝Cx9－k·k＝(－1)k·C·x9－2k，
∴T6＝(－1)5·C·x9－2×5＝－126x－1.
∴第6项的二项式系数为C＝126，
第6项的系数为－126.
(2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则
令9－2k＝3，得k＝3，
即展开式中第4项含x3，
其系数为(－1)3·C＝－84.
延伸探究　若将本例中题目改为“9的展开式中x3的系数是－84”，则a＝________.
答案　1
解析　9的展开式的通项为
Tk＋1＝Cx9－k(－a)k·k
＝C·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．
当9－2k＝3时，解得k＝3，
代入得x3的系数为C(－a)3＝－84，
解得a＝1.
反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3　在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
解　(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.

1．知识清单：
(1)二项式展开式的形成过程．
(2)二项式定理的正用与逆用．
(3)二项展开式的通项的应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项．

1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　)
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
答案　B
解析　展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
2.9的展开式中的第4项是(　　)
A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4
答案　B
解析　T4＝Cx63＝84x3.
3．二项式6的展开式中，常数项是________．
答案　240
解析　二项式6的第k＋1项为
Tk＋1＝C(2x)6－k·k＝C·26－k·x6－3k，
令6－3k＝0，解得k＝2，
所以常数项是C·24＝240.
4．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________．
答案　x4
解析　(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)·(－1)3＋C(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.
课时对点练

1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　　)
A．9 B．10 C．11 D．8
答案　C
解析　∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.
2.6的展开式中的常数项为(　　)
A．60 B．－60 C．250 D．－250
答案　A
解析　6的展开式中的常数项为C()4·2＝60.
3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)
A．840 B．－840
C．210 D．－210
答案　A
解析　在通项Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4项的系数为C×(－)4＝840.
4．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　)
A．32 B．－32
C．1 024 D．512
答案　A
解析　a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，
当a＝2－时，(a－2)10＝32.
5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．－5 B．5 C．－10 D．10
答案　D
解析　(1－x)5中x3的系数为－C＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.
6．(多选)对于二项式n(n∈N*)，下列判断正确的有(　　)
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项
答案　AD
解析　二项式n的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项，故选AD.
7．若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
答案　8
解析　(1＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8.
8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
答案　
解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
解　(1)因为T3＝C()n－22＝4C ，
T2＝C()n－1＝－2C ，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.
(2)设第k＋1项含x3项，
则Tk＋1＝C()9－kk＝(－2)kC ，
所以＝3，k＝1，
所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
解　(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项Tk＋1＝C·＝C· ，
展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
k＝0，T1＝Cx7＝x7；
k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
k＝12，T13＝Cx5＝91x5.


11．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．21
答案　B
解析　∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.
12．在n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　B
解析　Tk＋1＝C(3x2)n－kk＝C3n－k·kx2n－5k，令2n－5k＝0，∴n＝k.
∴正整数n的最小值为5.
13．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝________.
答案　1
解析　二项式7的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)7－k·k＝C27－kakx7－2k，
令7－2k＝－3，得k＝5.
故展开式中的系数是C22a5＝84，
解得a＝1.
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
答案　(1)10　(2)6
解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－kC .
(1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－k为整数，需k为偶数，
由于k＝0，1,2,3，…，9,10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．

15．设二项式6(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
答案　2
解析　对于Tk＋1＝Cx6－kk＝C(－a)k· ，
B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.
∵B＝4A，a>0，∴a＝2.
16．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)．
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
解　(1)当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3展开式的通项为Cxr，
(1＋2x)4展开式的通项为C(2x)k，
f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中x的项的系数为12，
所以C＋2C＝12，即m＋2n＝12，
所以m＝12－2n.
x2的系数为C＋4C＝C＋4C
＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N*，
所以当n＝3，m＝6时，
含x2的项的系数取得最小值．