还剩18页未读，
继续阅读
山东省德州市第九中学2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案）
展开
这是一份山东省德州市第九中学2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省德州九中八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2， B．1，2， C．3，4，5 D．6，8，12
2．二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10
5．下列运算正确的是（ ）
A．＝ B．（﹣）2＝﹣2
C．（2）2＝2×3＝6 D．+＝
6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．
7．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C．13 D．
8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示（a+b）2正确的是（ ）
A．S1 B．S2 C．2S1﹣S2 D．2S2﹣S1
9．如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要（ ）元投入．
A．16800 B．7200 C．5100 D．无法确定
10．对于任意的正数m，n定义运算※为m※n＝计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A． B．20 C． D．2
11．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；
……
若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中的位置记为（ ）
A．（6，4） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，5）
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝ ．
14．计算：（﹣2）2020×（+2）2021的结果是 ．
15．已知，则x2+2x+3＝ ．
16．已知a＝，b＝，则a与b的关系是 ．
17．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB＝10，BC＝8，则△ACE的面积为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．计算：
（1）（）2﹣（）（）；
（2）．
20．已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值：
（1）a2b﹣ab2
（2）a2+ab+b2．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
22．在某风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m？（结果保留根号）
23．如图，已知AC⊥BC，CA＝BD＝CB＝2，．
（1）求AB的长；
（2）求△ABD的面积．
24．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：．
25．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2， B．1，2， C．3，4，5 D．6，8，12
【分析】符合勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．
解：根据勾股定理的逆定理知，三角形三边满足c2＝a2+b2，三角形就为直角三角形，四个选项，只有D中不满足，故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，是基础知识，要熟练掌握．
2．二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
解：根据题意得：2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
4．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10
【分析】根据三角形三边关系定理求出3＜n＜7，再根据二次根式的性质和绝对值得出+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n，再合并同类项即可．
解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，
∴5﹣2＜n＜5+2，
∴3＜n＜7，
∴+|8﹣n|
＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝n﹣3+8﹣n
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A．＝ B．（﹣）2＝﹣2
C．（2）2＝2×3＝6 D．+＝
【分析】根据根式运算法则逐个计算排除．
解：A.，故正确；
B．（）2＝2，故错误；
C．（2）2＝22×＝4×3＝12；故错误；
D.不是同类项，不能合并，故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简根式是解题的关键．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M表示的数．
解：由题意得，AC＝＝＝，
故可得AM＝，BM＝AM﹣AB＝﹣3，
又∵点B表示的数为2，
∴点M表示的数为﹣1，
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理及数轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．
7．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C．13 D．
【分析】先用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
解：根据勾股定理可得：斜边长2＝52+122，
则斜边长＝13，
直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高，
解得：斜边的高＝；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，利用等积法求出斜边上的高是解题的关键．
8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示（a+b）2正确的是（ ）
A．S1 B．S2 C．2S1﹣S2 D．2S2﹣S1
【分析】由勾股定理与正方形的性质得出a2+b2＝S1，（b﹣a）2＝S2，再求出4个直角三角形的面积，即可得出结果．
解：∵大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，
∴a2+b2＝S1，（a﹣b）2＝S2，
∴4个直角三角形的面积＝4×ab＝2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，三角形的面积，求得a2+b2＝S1，2ab＝S1﹣S2是解题的关键．
9．如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要（ ）元投入．
A．16800 B．7200 C．5100 D．无法确定
【分析】连接AC，可得△ABC与△DAC均为直角三角形，进而可求解四边形的面积．
解：连接AC，
因为AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，∠B＝90°，
所以AC2＝AB2+BC2 ，
＝42+32，
＝16+9，
＝25，
所以AC＝5m，
又因AD2﹣DC2，
＝132﹣122，
＝169﹣144，
＝25，
＝AC2，
所以△DAC为直角三角形，
因此S四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△DAC，
＝AB×BC+AD×AC，
＝×4×3+×12×5，
＝6+30，
＝36．
故费用为：200×36＝7200元，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，会用勾股定理逆定理求三角形是直角三角形．
10．对于任意的正数m，n定义运算※为m※n＝计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A． B．20 C． D．2
【分析】先利用新定义运算规定把式子（3※2）×（8※12）转化为实数运算，再按实数的混合运算求值．
解：（3※2）×（8※12）
＝（﹣）×（+）
＝（﹣）×（2+2）
＝（﹣）×2×（+）
＝2[（）2﹣（）2]
＝2（3﹣2）
＝2×1
＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
11．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AC、BC，利用割补法求出S△ABC＝一个矩形面积﹣三个三角形面积＝4，根据勾股定理求出，设C点到AB的距离为h，根据，即可求出h的值．
解：如图，连接AC、BC，
∵，
∴，
设C点到AB的距离为h，
∵，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
12．将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；
……
若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中的位置记为（ ）
A．（6，4） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，5）
【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n，由此可得是第29个数，进而判断是第6行的第4个数．
解：由题意可知，每行5个数，
∵87＝3×29，
∴是第29个数，
∵29÷5＝5…4，
∴是第6行的第4个数，
∴的位置记为（6，4），
故选：A．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的数的特点，找到数的排列规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝ 4 ．
【分析】由两个最简二次根式与能合并，可得两个最简二次根式与是同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义，可得方程3a﹣1＝2a+3，解此方程即可求得答案．
解：∵两个最简二次根式与能合并，
∴两个最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a﹣1＝2a+3，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
14．计算：（﹣2）2020×（+2）2021的结果是 +2 ．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝[（﹣2）（+2）]2020（+2）
＝+2，
故答案为：+2．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
15．已知，则x2+2x+3＝ 7 ．
【分析】根据完全平方公式将代数式变形，然后将字母的值代入即可求解．
解：∵，
∴x2+2x+3
＝（x+1）2+2
＝
＝5+2
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，将x2+2x+3进行恒等变形是解题关键．
16．已知a＝，b＝，则a与b的关系是 互为相反数 ．
【分析】先化简a，而a+b＝0，从而可知a、b关系．
解：∵a＝＝2﹣，
∴b+a＝0，
故a与b互为相反数，
故答案是互为相反数．
【点评】本题考查了分母有理化、相反数．解题的关键是先分母有理化a．
17．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 2.5 米．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，
解得x＝2.5．
【点评】本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB＝10，BC＝8，则△ACE的面积为 ．
【分析】求出AC＝6，面积法求出CD＝，在Rt△BCD中，用勾股定理得BD＝，即可得B'D＝B'C﹣CD＝，设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，在Rt△B'DE中，用勾股定理可得BE＝4，即可得到答案．
解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵CD⊥AB，
∴2S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝，
∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，
∴B'C＝BC＝8，BE＝B'E，
∴B'D＝B'C﹣CD＝8﹣＝，
设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，
在Rt△B'DE中，B'D2+DE2＝B'E2，
∴（）2+（﹣x）2＝x2，
解得x＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6，
∴△ACE的面积为AE•CD＝×6×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．计算：
（1）（）2﹣（）（）；
（2）．
【分析】（1）先利用乘法公式计算乘方和乘法，然后去括号，进行化简；
（2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式进行化简．
解：（1）原式＝2+4+6﹣（5﹣3）
＝2+4+6﹣2
＝4+6；
（2）原式＝2++2﹣
＝+2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握乘法公式和二次根式的性质是解题关键．
20．已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值：
（1）a2b﹣ab2
（2）a2+ab+b2．
【分析】先把（1）（2）中的代数式分解因式，再把已知条件代入求值．
解：（1）∵a＝﹣2，b＝+2，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
＝（﹣2）（+2）（﹣2）
＝[﹣22]•（﹣4）
＝（﹣1）（﹣4）
＝4；
（2）∵a＝﹣2，b＝+2，
∴a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab
＝（﹣2++2）2﹣（﹣2）（）
＝（2﹣[﹣22]
＝12+1
＝13．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 5 ，小数部分是 ﹣5 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质得出，的取值范围进而得出答案．
解：（1）∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴的整数部分是5，小数部分是：﹣5；
故答案为：5；﹣5；
（2）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∵的小数部分为a，
∴a＝﹣3，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∵的整数部分为b，
∴b＝3，
∴a+b﹣＝﹣3+3﹣＝0．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．
22．在某风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m？（结果保留根号）
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴（m），
∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），
∴（m）．
答：船距离岸边m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
23．如图，已知AC⊥BC，CA＝BD＝CB＝2，．
（1）求AB的长；
（2）求△ABD的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠C＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理先证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ABD＝90°，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∵AC＝BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴AB的长为2；
（2）∵AB2+BD2＝（2）2+22＝12，AD2＝（2）2＝12，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD的面积＝AB•BD
＝×2×2
＝2，
∴△ABD的面积为2．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【分析】根据数轴上点的位置判断绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c，且|a|＜|c|＜|b|，
∴c﹣b＞0，a+b＜0，a﹣c＜0，
则原式＝﹣a+c﹣b+a+b+c﹣a＝2c﹣a．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ．
【分析】（1）运用勾股定理可得：AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，即可证得结论；
（2）如图2，过点P作PD⊥BQ，交QB的延长线于点D，利用勾股定理可得AC＝3，再证得△ABC≌△PBD（AAS），得出：PD＝AC＝3，BD＝BC＝4，DQ＝BD+BQ＝8，运用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，垂足为O，如图1，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2＝OA2+OB2+OC2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解：如图2，过点P作PD⊥BQ，交QB的延长线于点D，
则∠BDP＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝3，
∵△BCQ和△ABP都是等腰直角三角形，
∴∠CBQ＝∠ABP＝90°，BQ＝BC＝4，BP＝BA，
∴∠CBD＝180°﹣∠CBQ＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABC+∠ABD＝90°，
∵∠PBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠PBD，
∵∠ACB＝∠PDB＝90°，
∴△ABC≌△PBD（AAS），
∴PD＝AC＝3，BD＝BC＝4，
∴DQ＝BD+BQ＝4+4＝8，
在Rt△PQD中，PQ＝＝＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
2022-2023学年山东省德州九中八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2， B．1，2， C．3，4，5 D．6，8，12
2．二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10
5．下列运算正确的是（ ）
A．＝ B．（﹣）2＝﹣2
C．（2）2＝2×3＝6 D．+＝
6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．
7．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C．13 D．
8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示（a+b）2正确的是（ ）
A．S1 B．S2 C．2S1﹣S2 D．2S2﹣S1
9．如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要（ ）元投入．
A．16800 B．7200 C．5100 D．无法确定
10．对于任意的正数m，n定义运算※为m※n＝计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A． B．20 C． D．2
11．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；
……
若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中的位置记为（ ）
A．（6，4） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，5）
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝ ．
14．计算：（﹣2）2020×（+2）2021的结果是 ．
15．已知，则x2+2x+3＝ ．
16．已知a＝，b＝，则a与b的关系是 ．
17．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB＝10，BC＝8，则△ACE的面积为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．计算：
（1）（）2﹣（）（）；
（2）．
20．已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值：
（1）a2b﹣ab2
（2）a2+ab+b2．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
22．在某风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m？（结果保留根号）
23．如图，已知AC⊥BC，CA＝BD＝CB＝2，．
（1）求AB的长；
（2）求△ABD的面积．
24．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：．
25．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2， B．1，2， C．3，4，5 D．6，8，12
【分析】符合勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．
解：根据勾股定理的逆定理知，三角形三边满足c2＝a2+b2，三角形就为直角三角形，四个选项，只有D中不满足，故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，是基础知识，要熟练掌握．
2．二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
解：根据题意得：2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
4．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10
【分析】根据三角形三边关系定理求出3＜n＜7，再根据二次根式的性质和绝对值得出+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n，再合并同类项即可．
解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，
∴5﹣2＜n＜5+2，
∴3＜n＜7，
∴+|8﹣n|
＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝n﹣3+8﹣n
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A．＝ B．（﹣）2＝﹣2
C．（2）2＝2×3＝6 D．+＝
【分析】根据根式运算法则逐个计算排除．
解：A.，故正确；
B．（）2＝2，故错误；
C．（2）2＝22×＝4×3＝12；故错误；
D.不是同类项，不能合并，故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简根式是解题的关键．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M表示的数．
解：由题意得，AC＝＝＝，
故可得AM＝，BM＝AM﹣AB＝﹣3，
又∵点B表示的数为2，
∴点M表示的数为﹣1，
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理及数轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．
7．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C．13 D．
【分析】先用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
解：根据勾股定理可得：斜边长2＝52+122，
则斜边长＝13，
直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高，
解得：斜边的高＝；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，利用等积法求出斜边上的高是解题的关键．
8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示（a+b）2正确的是（ ）
A．S1 B．S2 C．2S1﹣S2 D．2S2﹣S1
【分析】由勾股定理与正方形的性质得出a2+b2＝S1，（b﹣a）2＝S2，再求出4个直角三角形的面积，即可得出结果．
解：∵大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，
∴a2+b2＝S1，（a﹣b）2＝S2，
∴4个直角三角形的面积＝4×ab＝2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，三角形的面积，求得a2+b2＝S1，2ab＝S1﹣S2是解题的关键．
9．如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要（ ）元投入．
A．16800 B．7200 C．5100 D．无法确定
【分析】连接AC，可得△ABC与△DAC均为直角三角形，进而可求解四边形的面积．
解：连接AC，
因为AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，∠B＝90°，
所以AC2＝AB2+BC2 ，
＝42+32，
＝16+9，
＝25，
所以AC＝5m，
又因AD2﹣DC2，
＝132﹣122，
＝169﹣144，
＝25，
＝AC2，
所以△DAC为直角三角形，
因此S四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△DAC，
＝AB×BC+AD×AC，
＝×4×3+×12×5，
＝6+30，
＝36．
故费用为：200×36＝7200元，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，会用勾股定理逆定理求三角形是直角三角形．
10．对于任意的正数m，n定义运算※为m※n＝计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A． B．20 C． D．2
【分析】先利用新定义运算规定把式子（3※2）×（8※12）转化为实数运算，再按实数的混合运算求值．
解：（3※2）×（8※12）
＝（﹣）×（+）
＝（﹣）×（2+2）
＝（﹣）×2×（+）
＝2[（）2﹣（）2]
＝2（3﹣2）
＝2×1
＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
11．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AC、BC，利用割补法求出S△ABC＝一个矩形面积﹣三个三角形面积＝4，根据勾股定理求出，设C点到AB的距离为h，根据，即可求出h的值．
解：如图，连接AC、BC，
∵，
∴，
设C点到AB的距离为h，
∵，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
12．将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；
……
若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中的位置记为（ ）
A．（6，4） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，5）
【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n，由此可得是第29个数，进而判断是第6行的第4个数．
解：由题意可知，每行5个数，
∵87＝3×29，
∴是第29个数，
∵29÷5＝5…4，
∴是第6行的第4个数，
∴的位置记为（6，4），
故选：A．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的数的特点，找到数的排列规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝ 4 ．
【分析】由两个最简二次根式与能合并，可得两个最简二次根式与是同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义，可得方程3a﹣1＝2a+3，解此方程即可求得答案．
解：∵两个最简二次根式与能合并，
∴两个最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a﹣1＝2a+3，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
14．计算：（﹣2）2020×（+2）2021的结果是 +2 ．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝[（﹣2）（+2）]2020（+2）
＝+2，
故答案为：+2．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
15．已知，则x2+2x+3＝ 7 ．
【分析】根据完全平方公式将代数式变形，然后将字母的值代入即可求解．
解：∵，
∴x2+2x+3
＝（x+1）2+2
＝
＝5+2
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，将x2+2x+3进行恒等变形是解题关键．
16．已知a＝，b＝，则a与b的关系是 互为相反数 ．
【分析】先化简a，而a+b＝0，从而可知a、b关系．
解：∵a＝＝2﹣，
∴b+a＝0，
故a与b互为相反数，
故答案是互为相反数．
【点评】本题考查了分母有理化、相反数．解题的关键是先分母有理化a．
17．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 2.5 米．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，
解得x＝2.5．
【点评】本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB＝10，BC＝8，则△ACE的面积为 ．
【分析】求出AC＝6，面积法求出CD＝，在Rt△BCD中，用勾股定理得BD＝，即可得B'D＝B'C﹣CD＝，设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，在Rt△B'DE中，用勾股定理可得BE＝4，即可得到答案．
解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵CD⊥AB，
∴2S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝，
∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，
∴B'C＝BC＝8，BE＝B'E，
∴B'D＝B'C﹣CD＝8﹣＝，
设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，
在Rt△B'DE中，B'D2+DE2＝B'E2，
∴（）2+（﹣x）2＝x2，
解得x＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6，
∴△ACE的面积为AE•CD＝×6×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．计算：
（1）（）2﹣（）（）；
（2）．
【分析】（1）先利用乘法公式计算乘方和乘法，然后去括号，进行化简；
（2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式进行化简．
解：（1）原式＝2+4+6﹣（5﹣3）
＝2+4+6﹣2
＝4+6；
（2）原式＝2++2﹣
＝+2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握乘法公式和二次根式的性质是解题关键．
20．已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值：
（1）a2b﹣ab2
（2）a2+ab+b2．
【分析】先把（1）（2）中的代数式分解因式，再把已知条件代入求值．
解：（1）∵a＝﹣2，b＝+2，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
＝（﹣2）（+2）（﹣2）
＝[﹣22]•（﹣4）
＝（﹣1）（﹣4）
＝4；
（2）∵a＝﹣2，b＝+2，
∴a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab
＝（﹣2++2）2﹣（﹣2）（）
＝（2﹣[﹣22]
＝12+1
＝13．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 5 ，小数部分是 ﹣5 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质得出，的取值范围进而得出答案．
解：（1）∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴的整数部分是5，小数部分是：﹣5；
故答案为：5；﹣5；
（2）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∵的小数部分为a，
∴a＝﹣3，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∵的整数部分为b，
∴b＝3，
∴a+b﹣＝﹣3+3﹣＝0．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．
22．在某风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m？（结果保留根号）
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴（m），
∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），
∴（m）．
答：船距离岸边m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
23．如图，已知AC⊥BC，CA＝BD＝CB＝2，．
（1）求AB的长；
（2）求△ABD的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠C＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理先证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ABD＝90°，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∵AC＝BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴AB的长为2；
（2）∵AB2+BD2＝（2）2+22＝12，AD2＝（2）2＝12，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD的面积＝AB•BD
＝×2×2
＝2，
∴△ABD的面积为2．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【分析】根据数轴上点的位置判断绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c，且|a|＜|c|＜|b|，
∴c﹣b＞0，a+b＜0，a﹣c＜0，
则原式＝﹣a+c﹣b+a+b+c﹣a＝2c﹣a．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ．
【分析】（1）运用勾股定理可得：AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，即可证得结论；
（2）如图2，过点P作PD⊥BQ，交QB的延长线于点D，利用勾股定理可得AC＝3，再证得△ABC≌△PBD（AAS），得出：PD＝AC＝3，BD＝BC＝4，DQ＝BD+BQ＝8，运用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，垂足为O，如图1，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2＝OA2+OB2+OC2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解：如图2，过点P作PD⊥BQ，交QB的延长线于点D，
则∠BDP＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝3，
∵△BCQ和△ABP都是等腰直角三角形，
∴∠CBQ＝∠ABP＝90°，BQ＝BC＝4，BP＝BA，
∴∠CBD＝180°﹣∠CBQ＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABC+∠ABD＝90°，
∵∠PBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠PBD，
∵∠ACB＝∠PDB＝90°，
∴△ABC≌△PBD（AAS），
∴PD＝AC＝3，BD＝BC＝4，
∴DQ＝BD+BQ＝4+4＝8，
在Rt△PQD中，PQ＝＝＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
相关试卷
88，山东省德州市第九中学2023—2024学年八年级下学期开学数学试题： 这是一份88，山东省德州市第九中学2023—2024学年八年级下学期开学数学试题，共4页。
65，山东省德州市第九中学2023—2024学年八年级下学期开学数学试题： 这是一份65，山东省德州市第九中学2023—2024学年八年级下学期开学数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省德州市第九中学2023—2024学年八年级下学期开学数学试题： 这是一份山东省德州市第九中学2023—2024学年八年级下学期开学数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
