人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理综合训练题

课时分层训练(八)　二项式系数的性质

1．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝(　　)

A．32  B．64  C．128  D．256

D　解析：因为C＝C，所以n＝4．令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256．故选D．

2．在(1－x)201的展开式中，系数的最大值是(　　)

A．C  B．C  C．C  D．C

B　解析：二项式系数最大的项是第101项和第102项．因为T101＝Cx100，T102＝－Cx101＝－Cx101，且第102项的系数为负，所以第101项的系数最大，为C．故选B．

3．(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则(　　)

A．n＝7 

B．所有项的系数和为0

C．偶数项的系数和为－64 

D．展开式的中间项为－35x3和35x4

ABC　解析：由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．所有项的系数和为0，偶数项的系数和为－64．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4·(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3．故选ABC．

4．若(x＋3y)n的展开式中的系数之和等于(7a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和，则n的值为(　　)

A．5  B．8  C．10  D．15

A　解析：(7a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210．对于(x＋3y)n，令x＝1，y＝1，则由题意，知4n＝210，解得n＝5．

5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是(　　)

A．第3项  B．第4项  C．第5项  D．第6项

B　解析：设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1．

分别令x＝1，x＝－1，得

两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝．

由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3．

(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大．

6．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)

A．  B．  C．  D．

A　解析：a＝C＝70，设b＝C2k，则

解得5≤k≤6，

所以b＝C×26＝C×25＝1 792，所以＝．

7．若的展开式的二项式系数之和为8，则n＝______，其展开式中含的项的系数为______．(用数字作答)

3　－1　解析：由题意得，2n＝8，所以n＝3．根据题意知的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx9－3r·(－x－1)r＝(－1)rCx9－4r，其中r＝0，1，2，3．令9－4r＝－3，得r＝3，回代，得T4＝－Cx－3＝－x－3，即展开式中含的项的系数为－1．

8．已知的展开式的二项式系数之和为256．

(1)求n的值；

(2)若展开式中常数项为，求m的值；

(3)若(x＋m)n展开式中系数的最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

解：(1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8．

(2)设常数项为第k＋1项，则

Tk＋1＝Cx8－k＝Cmkx8－2k．

令8－2k＝0，即k＝4，则Cm4＝，

解得m＝±．

(3)易知m>0，设第k＋1项系数最大．

则

化简可得≤k≤．

由于只有第6项和第7项系数最大，

所以即

所以m只能等于2．

1．若的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　)

A．第8项

B．第9项

C．第8项和第9项

D．第11项和第12项

D　解析：由题意T8＝C()n－7·＝Cx为常数项，故n＝21，则展开式中系数最大的项是第11项和第12项．

2．已知(x2＋1)(x－2)10＝a0(x－1)12＋a1(x－1)11＋…＋a11(x－1)1＋a12，则a0＋a1＋…＋a11的值为(　　)

A．2  B．0  C．－2  D．－4

C　解析：在展开式中，令x＝2，得a0＋a1＋…＋a11＋a12＝0．令x＝1，得a12＝2，∴a0＋a1＋…＋a11＝－2．故选C．

3．(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　)

A．第9项  B．第8项  C．第7项  D．第6项

B　解析：展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．

4．在的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是(　　)

A．330  B．462  C．682  D．792

B　解析：因为二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1 024，所以n＝11，

所以展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C＝C＝462．

5．设m为正整数，(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b．若13a＝7b，则m等于(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

B　解析：由二项式系数的性质知：

二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数最大值有一项C＝a，

二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数最大值有两项C＝C＝b，因此13C＝7C，

所以13·＝7·，

解得m＝6．故选B．

6．已知的展开式中，各二项式系数的和为16，则展开式中的第3项为________．

216x2y－2　解析：由题设知2n＝16，故n＝4，

所以T3＝C(2x)2＝216x2y－2．

7．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________．

1　解析：令x＝1，

得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10；

令x＝－1，

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10．

故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(－1)10(＋1)10＝1．

8．已知f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，且(2x－3)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n．

(1)a2的值为________；

(2)a1＋a2＋a3＋…＋an的值为________．

(1)－144　(2)2　解析：(1)由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，

∴n＝9．

∵(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝(－1)9－r·2r·(x－1)r＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，其中r∈N，∴a2＝C·(－1)7·22＝－144．

(2)在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝1，可得a0＝－1；

再令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝1，

∴a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2．

9．已知(＋3x2)n的展开式中各项系数和比二项式系数和大992．求：

(1)展开式中二项式系数最大的项；

(2)展开式中系数最大的项．

解：令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n．

又展开式二项式系数和为C＋C＋…＋C＝2n，

由题意有4n－2n＝992，即(2n)2－2n－992＝0，

(2n－32)(2n＋31)＝0．

所以2n＝－31(舍去)或2n＝32．

所以n＝5．

(1)因为n＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，

T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，

T4＝C()2(3x2)3＝270x．

(2)设展开式中第k＋1项的系数最大．

又Tk＋1＝C()5－k·(3x2)k＝C3kx，得

即

解得≤k≤．

又因为k∈N*，所以k＝4，所以展开式中第5项系数最大．

T5＝C34x＝405x．