新高考数学一轮复习课件第2章 §2.9　函数的零点与方程的解

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这是一份新高考数学一轮复习课件第2章 §2.9　函数的零点与方程的解，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。

§2.9　函数的零点与方程的解
1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与有公共点.
(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的解.2.二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点.(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点.(　　)
1.(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为A.(1,2) 　　B.(2,3) 　　C.(5,6) 　　D.(5,7)
由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，∴f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点.
2.已知函数f(x)＝　　　　　　　　则f(x)的零点为________.
解得x＝－2或x＝e.
3.方程2x＋x＝k在(1,2)内有解，则实数k的取值范围是______.
设f(x)＝2x＋x，∴f(x)在(1,2)上单调递增，又f(1)＝3，f(2)＝6，∴3TANJIUHEXINTIXING
例1　(1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)
函数零点所在区间的判定
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点.
(2)若a函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点.
f(x)的定义域为{x|x>0}，
令f′(x)>0⇒x>3，f′(x)<0⇒0确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练1　(1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程lg3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)
设f(x)＝lg3x－3＋x，当x→0时，f(x)→－∞，f(1)＝－2，又∵f(2)＝lg32－1<0，f(3)＝lg33－3＋3＝1>0，故f(2)·f(3)<0，故方程lg3x＝3－x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程lg3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3).
(2)已知2依题意x0为方程lgax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝lgax＋x－b的零点，∵20，∴x0∈(2,3)，即n＝2.
例2　(1)(2022·绍兴模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝　　　　　则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为A.14 　　B.13 　　C.12 　　D.11
因为f(x＋1)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2函数，因为x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，所以作出它的图象，则y＝f(x)的图象如图所示.(注意拓展它的区间)
容易得出交点为12个.
令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6,6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cs x＝0，由36－x2＝0得x＝±6，
故f(x)共有6个零点.
函数f(x)＝2x|lg2x|－1的零点个数为A.0 　　B.1 　　 C.2 　　D.4
求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练2　(1)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为A.6　　　B.7 　　　C.8 　　　D.9
令f(x)＝x2－x＝0，所以x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0.所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为7.
(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝　　　　　　　则关于x的函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为A.3 　　　 B.7　　　 C.5 　　　 D.6
根据题意，令2f 2(x)－3f(x)＋1＝0，
故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为 7.
命题点1　根据函数零点个数求参数
画出f(x)的函数图象，设y＝a(x＋3)，该直线恒过点(－3,0)，结合函数图象，若y＝a(x＋3)与y＝－x2－2x相切，联立得x2＋(a＋2)x＋3a＝0，Δ＝(a＋2)2－12a＝0，
命题点2　根据函数零点范围求参数
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.
作出二次函数y＝x2＋2x的图象，如图.
2.若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________.
已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，当x≤0时，f(x)＝(x＋1)ex，则f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，
x→－∞时，f(x)→0，
从而可得f(x)的图象如图所示，
通过图象可知，若函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，则b∈(0,1].
所以函数f(x)在(1,3]上单调递增，
KESHIJINGLIAN
1.函数f(x)＝x3－　　的零点所在的区间为A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)
f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，因为f(x)在R上连续且在R上单调递增，所以f(1)·f(2)<0，f(x)在(1,2)内有唯一零点.
2.设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间
取x1＝2，因为f(2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x0∈(1,2)，
因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，
当且仅当f(x)在(－∞，1]上有一个零点，x≤1时，f(x)＝0⇔m＝－3x，即函数y＝－3x在(－∞，1]上的图象与直线y＝m有一个公共点，而y＝－3x在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x<0，则当－3≤m<0时，直线y＝m和函数y＝－3x(x≤1)的图象有一个公共点.
5.(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝　　－lg2x，设0cC.x0b
得f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0或f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0.∴x0c不成立.
6.(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg3|x|的根的个数是A.2 　　　B.3 　　　 C.4 　　　 D.多于4
f(x)＝lg3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝lg3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg3|x|的图象，如图所示.显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg3|x|的图象有4个交点.
7.(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是A.1 　　　B.2 　　　C.4 　　　 D.6
由题意知，f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示.由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
8.(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是A.f(x)＝2x＋x B.g(x)＝x2－x－3C.f(x)＝　＋1 D.f(x)＝|lg2x|－1
选项D，若f(x0)＝x0，则|lg2x0|－1＝x0，即|lg2x0|＝x0＋1，作出y＝|lg2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|lg2x|＝x＋1有实数根x0，即|lg2x0|＝x0＋1，故D中函数是“不动点”函数.
9.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝__________________.
f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，∴b<0，∴f(x)＝x3－x满足题意.
x3－x(答案不唯一)
10.函数f(x)＝　　　　　　　　　若函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是______.
画出函数y＝f(x)与y＝m的图象，如图所示，注意当x＝－1时，f(－1)＝－1＋2＋1＝2，f(0)＝1，∵函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，∴函数y＝f(x)与y＝m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为111.(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，e2]上有三个零点，则实数a的取值范围是_________.
∵函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，e2]上有三个零点，∴y＝f(x)的图象与直线y＝ax在区间(0，e2]上有三个交点，由函数y＝f(x)与y＝ax的图象可知，
12.(2022·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝___.
13.已知函数f(x)＝2x＋x－1，g(x)＝lg2x＋x－1，h(x)＝x3＋x－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为A.c>b>a B.b>c>aC.c>a>b D.a>c>b
令f(x)＝0，则2x＋x－1＝0，得x＝0，即a＝0，令g(x)＝0，则lg2x＋x－1＝0，得x＝1，即b＝1，因为函数h(x)＝x3＋x－1在R上为增函数，且h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，所以h(x)在区间(0,1)上存在唯一零点c，且c∈(0,1)，综上，b>c>a.
14.(2022·厦门模拟)已知函数f(x)＝　　　　　　则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为_____.
当x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或lg2x＝－1，
当x>0时，lg2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或lg2x＝1，∴x＝0或x＝2；
显然，x＝0是方程的一个解，下面只考虑x≠0时有三个实数解即可.若x>0，原方程等价于1＝kx(x＋4)，
要使该方程有解，必须k>0，
所以当x<0时必须有两解，当x<0时，原方程等价于－1＝kx(x＋4)，
16.已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|