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新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.10 函数模型的应用
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.10 函数模型的应用，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
§2.10 函数模型的应用
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广 泛应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.三种函数模型的性质
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．( )(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度．( )(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
1.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是A.y＝2x B.y＝x2－1C.y＝2x－2 D.y＝lg2x
根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意.
2.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为
3.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过____个“半衰期”.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是
用函数图象刻画变化过程
水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快.
(2)(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律A.y＝mx2＋n(m>0)B.y＝max＋n(m>0,00，a>1)D.y＝mlgax＋n(m>0，a>0，a≠1)
由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0
依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4
跟踪训练1 (1)(2022·内江模拟)对于下列表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是
A.y＝3×2x－1 B.y＝lg2xC.y＝3x D.y＝x2
根据题意，这3组数据可近似为(1,3)，(2,6)，(3,12)；得到增长速度越来越快，排除B，C，对于选项D，三组数据都不满足，对于选项A，三组数据代入后近似满足，则模拟效果最好的函数是y＝3×2x－1.
(2)(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是
根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方.结合选项只有A选项能够较好的达到目的.
例2 (2022· 百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝ 由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
已知函数模型的实际问题
(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
由题意可得，当0
若0
即x＝60时，W(x)max＝1 680万元.所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元.
(2022·重庆南开中学模拟)某企业自主开发出一款新产品A，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50 000元，该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产x(千件)A产品，需另投入生产成本R(x)(千元)，且R(x)＝
(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值(总成本＝研发成本＋生产成本)；
由题知生产x千件的总成本为(R(x)＋50)千元，
故最小值为p(10)＝70，
故最小值为p(20)＝65.5，所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元.
(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(千件)的取值区间？
由(1)知，要使p(x)≤66只需考虑x∈(10,40]，
整理得x2－45x＋450≤0，解得15≤x≤30，所以当x∈[15,30]时，生产一件A产品的平均成本不超过66元.
求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分).
(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是______；②最低种植成本是____元/100 kg.
因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
例3 (1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)A.4 B.5 C.6 D.7
构造函数模型的实际问题
设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln 0.90
(2)(2022·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________________________________________________________________________________________________________________.
出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可.答案不唯一)
由题意知函数k(x)在[160,190]上单调递增，设k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈[160,190]，
国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
设该旅行团的人数为x，飞机票的价格为y元.旅行社可获得的利润为w元.①当0≤x≤30时，y＝900，②当30
当0≤x≤30时，w＝900x－15 000，当x＝30时，wmax＝900×30－15 000＝12 000(元)；当30
跟踪训练3 (1)(多选)(2022·常州模拟)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为A.2.5元 B.3元C.3.2元 D.3.5元
依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x(x>2)元，
化简得x2－6x＋8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2.
(2)(2022·南京模拟)拉面是很多人喜好的食物.师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度.每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团.如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克.第一次拉的长度是1米，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根1米长的细丝面条的质量是______.
拉面师傅拉7次面条共有27－1＝26＝64根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为6×18＝108(克)；剩下64根面条的总质量为300－108＝192(克)，
KESHIJINGLIAN
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2C.y＝a＋bex D.y＝a＋bln x
1.(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近.
2.(2022·福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋ ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8
由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x，令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.
3.某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分.若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了米 米米 米
该女生训练前立定跳远距离为
则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米).
4.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R).当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0) A.6 min B.7 minC.8 min D.9 min
由题意可知，当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，所以y＝60×0.908 5x＋25.当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25，即0.908 5x＝0.5，
所以茶水泡制时间大约为7 min.
5.(多选)(2022·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则
A.a＝3B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C.注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为 0.4微克D.注射一次治疗该病的有效时间长度为 小时
注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 016；②y＝a ＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则以下说法正确的是
A.选择模型①，函数模型解析式y＝4· ，近似反映该城市近几年 包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系B.选择模型②，函数模型解析式y＝4 ＋2 016，近似反映该城市 近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系C.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市 的包装垃圾将超过40万吨D.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市 的包装垃圾将超过40万吨
∴x>2 021.678 6，即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确.
7.(2022·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alg2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到______只.
由题意知100＝alg2(1＋1)⇒a＝100，当x＝7时，可得y＝100lg2(7＋1)＝300.
8.(2022·临沂模拟)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为____分钟.(参考数据：ln 3≈1.1)
由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，
∴0.05t＝ln 3，
9.某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车.已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元.(1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)；
∵客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元，若该车x年开始盈利，则30x>2x2＋6x＋50，即x2－12x＋25<0，∵x∈N*，∴3≤x≤9，∴该车营运第3年开始盈利.
(2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出.问：哪一种方案较为合算？并说明理由.
方案①盈利总额y1＝30x－(2x2＋6x＋50)＝－2x2＋24x－50＝－2(x－6)2＋22，∴x＝6时，盈利总额达到最大值为22万元.∴6年后卖出客车，可获利润总额为22＋10＝32(万元).
∴x＝5时年平均盈利总额达到最大值4万元.
∴5年后卖出客车，可获利润总额为4×5＋12＝32(万元).∵两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②较为合算.
由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝ ＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝ ＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求.
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
故x≥6.因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.
11.(2022·衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为A.72小时 B.36小时C.24小时 D.16小时
当x＝6时，e6a＋b＝216；
设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，
13.如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0
∴a≤x≤12.S＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64，x∈[a,12]，当0
假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y(吨)与时间x(小时)之间的部分关系如图，那么从不进货起____小时后该仓库内的货恰好运完.
由图象可知，在0到4小时进货20吨，故进货速度是5吨/小时，
15.(多选)(2022·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，则下列结论正确的是A.当x>1时，甲走在最前面B.当x>1时，乙走在最前面C.当01时，丁走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.
16.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1 600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤ 恒成立.
当x∈[25,1 600]时，条件①f(x)是增函数满足；
§2.10 函数模型的应用
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广 泛应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.三种函数模型的性质
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．( )(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度．( )(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
1.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是A.y＝2x B.y＝x2－1C.y＝2x－2 D.y＝lg2x
根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意.
2.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为
3.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过____个“半衰期”.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是
用函数图象刻画变化过程
水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快.
(2)(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律A.y＝mx2＋n(m>0)B.y＝max＋n(m>0,0
由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0
依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4
跟踪训练1 (1)(2022·内江模拟)对于下列表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是
A.y＝3×2x－1 B.y＝lg2xC.y＝3x D.y＝x2
根据题意，这3组数据可近似为(1,3)，(2,6)，(3,12)；得到增长速度越来越快，排除B，C，对于选项D，三组数据都不满足，对于选项A，三组数据代入后近似满足，则模拟效果最好的函数是y＝3×2x－1.
(2)(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是
根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方.结合选项只有A选项能够较好的达到目的.
例2 (2022· 百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝ 由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
已知函数模型的实际问题
(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
由题意可得，当0
若0
即x＝60时，W(x)max＝1 680万元.所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元.
(2022·重庆南开中学模拟)某企业自主开发出一款新产品A，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50 000元，该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产x(千件)A产品，需另投入生产成本R(x)(千元)，且R(x)＝
(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值(总成本＝研发成本＋生产成本)；
由题知生产x千件的总成本为(R(x)＋50)千元，
故最小值为p(10)＝70，
故最小值为p(20)＝65.5，所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元.
(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(千件)的取值区间？
由(1)知，要使p(x)≤66只需考虑x∈(10,40]，
整理得x2－45x＋450≤0，解得15≤x≤30，所以当x∈[15,30]时，生产一件A产品的平均成本不超过66元.
求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分).
(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是______；②最低种植成本是____元/100 kg.
因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
例3 (1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)A.4 B.5 C.6 D.7
构造函数模型的实际问题
设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln 0.90
(2)(2022·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________________________________________________________________________________________________________________.
出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可.答案不唯一)
由题意知函数k(x)在[160,190]上单调递增，设k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈[160,190]，
国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
设该旅行团的人数为x，飞机票的价格为y元.旅行社可获得的利润为w元.①当0≤x≤30时，y＝900，②当30
当0≤x≤30时，w＝900x－15 000，当x＝30时，wmax＝900×30－15 000＝12 000(元)；当30
跟踪训练3 (1)(多选)(2022·常州模拟)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为A.2.5元 B.3元C.3.2元 D.3.5元
依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x(x>2)元，
化简得x2－6x＋8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2.
(2)(2022·南京模拟)拉面是很多人喜好的食物.师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度.每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团.如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克.第一次拉的长度是1米，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根1米长的细丝面条的质量是______.
拉面师傅拉7次面条共有27－1＝26＝64根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为6×18＝108(克)；剩下64根面条的总质量为300－108＝192(克)，
KESHIJINGLIAN
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2C.y＝a＋bex D.y＝a＋bln x
1.(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近.
2.(2022·福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋ ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8
由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x，令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.
3.某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分.若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了米 米米 米
该女生训练前立定跳远距离为
则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米).
4.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R).当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0) A.6 min B.7 minC.8 min D.9 min
由题意可知，当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，所以y＝60×0.908 5x＋25.当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25，即0.908 5x＝0.5，
所以茶水泡制时间大约为7 min.
5.(多选)(2022·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则
A.a＝3B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C.注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为 0.4微克D.注射一次治疗该病的有效时间长度为 小时
注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 016；②y＝a ＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则以下说法正确的是
A.选择模型①，函数模型解析式y＝4· ，近似反映该城市近几年 包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系B.选择模型②，函数模型解析式y＝4 ＋2 016，近似反映该城市 近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系C.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市 的包装垃圾将超过40万吨D.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市 的包装垃圾将超过40万吨
∴x>2 021.678 6，即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确.
7.(2022·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alg2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到______只.
由题意知100＝alg2(1＋1)⇒a＝100，当x＝7时，可得y＝100lg2(7＋1)＝300.
8.(2022·临沂模拟)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为____分钟.(参考数据：ln 3≈1.1)
由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，
∴0.05t＝ln 3，
9.某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车.已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元.(1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)；
∵客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元，若该车x年开始盈利，则30x>2x2＋6x＋50，即x2－12x＋25<0，∵x∈N*，∴3≤x≤9，∴该车营运第3年开始盈利.
(2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出.问：哪一种方案较为合算？并说明理由.
方案①盈利总额y1＝30x－(2x2＋6x＋50)＝－2x2＋24x－50＝－2(x－6)2＋22，∴x＝6时，盈利总额达到最大值为22万元.∴6年后卖出客车，可获利润总额为22＋10＝32(万元).
∴x＝5时年平均盈利总额达到最大值4万元.
∴5年后卖出客车，可获利润总额为4×5＋12＝32(万元).∵两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②较为合算.
由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝ ＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝ ＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求.
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
故x≥6.因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.
11.(2022·衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为A.72小时 B.36小时C.24小时 D.16小时
当x＝6时，e6a＋b＝216；
设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，
13.如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0
∴a≤x≤12.S＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64，x∈[a,12]，当0
假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y(吨)与时间x(小时)之间的部分关系如图，那么从不进货起____小时后该仓库内的货恰好运完.
由图象可知，在0到4小时进货20吨，故进货速度是5吨/小时，
15.(多选)(2022·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，则下列结论正确的是A.当x>1时，甲走在最前面B.当x>1时，乙走在最前面C.当0
甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.
16.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1 600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤ 恒成立.
当x∈[25,1 600]时，条件①f(x)是增函数满足；
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