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新高考数学一轮复习课件 第4章 §4.8 解三角形及其应用举例
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第4章 §4.8 解三角形及其应用举例，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
§4.8 解三角形及其应用举例
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.
LUOSHIZHUGANZHISHI
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同.( )(2)若△ABC为锐角三角形且 ( )(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为 ( )
1.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为
由三角形内角和定理，可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，
2.为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为__________ m.
如图所示，依题意∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，∴4＝b2＋c2－bc，∴bc＋4＝b2＋c2≥2bc，即bc≤4(当且仅当b＝c时取“＝”)，
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的面积最大值为_____.
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)(2022·天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于
从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60 m，所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°，
(2)(2022·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.
由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
＝160sin 15°
＝1 600×20＝32 000，
例2 (1)(2022·重庆沙坪坝质检)在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 米(如图所示)，则旗杆的高度为
依题意可知∠AEC＝45°，∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，
(2)(2022·河南豫南九校联盟联考)如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C，D两个观测点，并在C，D两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和60°，且∠BDC＝60°，则此建筑物的高度为
在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DCcs∠BDC，
例3 (1)(2022·合肥检测)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°
由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图，B正确.
(2)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cs θ等于
由题知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.
在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，
1.(2022·长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
如图所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
2.圣·索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15 －15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，
则小明估算索菲亚教堂的高度为
由题意知∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，
解三角形的应用问题的要点(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解.
跟踪训练1 (1)如图所示，为了测量A，B两岛屿的距离，小明在D处观测到A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两岛屿的距离为________海里.
由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，所以△BCD为等腰直角三角形，
(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m.
由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，
例4 (2022·辽宁实验中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 bsin C＋ccs B＝a.(1)若a＝2，b＝ ，求△ABC的面积；
解三角形中的最值和范围问题
＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围.
由余弦定理得4＝a2＋b2－ab，
即(a＋b)2≤16，∴0c＝2，
∴2
∵△ABC为锐角三角形，
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cs C＋cs Acs B＝2 sin Acs B.(1)求cs B的值；
(2)若a＋c＝2，求b的取值范围.
由a＋c＝2，可得c＝2－a，由余弦定理，得
解三角形中最值(范围)问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围).
跟踪训练2 (2022·大连模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc.(1)求角A的大小；
∵b2＋c2－a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－bc＝3，∴b2＋c2＝bc＋3≥2bc(当且仅当b＝c时取等号)，∴bc≤3.
KESHIJINGLIAN
1.(2022·济南模拟)如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)A.10 km B.20 kmC.30 km D.40 km
在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°，
所以AC＝310 km，BC＝210 km，所以AC＋BC－AB＝20 km.
2.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.
小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为A.18米 B.19米C.20米 D.21米
在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，
在Rt△BDC中，∠DBC＝45°，则BC＝CD，由AC－BC＝AB得
3.第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，A点，正北方向的C市受到台风侵袭，一艘船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15°方向，船航行 后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东45°方向.此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为
如图，SE⊥AB，在△ASB中，∠ABS＝135°，
∠ASB＝180°－∠ABS－∠SAB＝30°，由正弦定理得
所以船与S岛的最近距离
4.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，B＝2A，则b的取值范围为
因为a＝2，B＝2A，所以由正弦定理得
所以2<4cs A<4，所以2
6.(多选)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c可能的取值是
若c边为最大边，则cs C>0，
若b边为最大边，则cs B>0，
7.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，则甲、乙共走了________步.
由题意，得到示意图如图所示，甲、乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为t秒，每步走a米，则AC＝3ta，AB＝10a，BC＝(7t－10)a，在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，即(3ta)2＋(10a)2＝[(7t－10)a]2，
故共走了24.5＋10.5＝35步.
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin Asin B·cs C＝2sin2C，
∵sin Asin Bcs C＝2sin2C，∴利用正弦定理可得abcs C＝2c2，
当且仅当a＝b时等号成立，
当且仅当a＝b时等号成立.
9.已知函数f(x)＝2 sin xcs x－2cs2x＋m，且函数f(x)的最大值为3.(1)求m的值；
所以f(x)max＝m＋1＝3，解得m＝2.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B)＝0，b＝2，求△ABC面积的最大值.
10.(2022·江苏前黄高级中学质检)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题.
(1)若b＝4，ac＝3，求a＋c的值；
选择①(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B，由正弦定理得(a－c)a＋c2＝b2，
又因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
若b＝4，ac＝3，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B，
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求a的取值范围.
11.(2022·大庆模拟)小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1.A.①和② B.①和③C.②和③ D.①和②和③
在△P1CD中，利用余弦定理求解CD即可.
根据题意，△P1P2D的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，
故①可以求出CD；③与①条件等价.
12.要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度是
由题意，设AB＝x，由于AB⊥平面BCD，BC，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，由题意可得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
整理得x2－20x－800＝0，解得x＝40 或x＝－20 (舍)，即所求电视塔的高度为40 m.
在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝40，根据余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs∠DCB，
13.(2022·长春模拟)在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约_________小时后气象台所在地开始受到影响
设气象台所在地为O，台风中心为A，约t小时后气象台所在地将受到影响，t小时后台风中心移动至B处，∠BAO＝45°，在△OAB中，AB＝40t，OA＝300，OB＝250，由余弦定理得
14.如图，△ABC为等腰直角三角形，A＝ ，点D是△ABC外一点，且DB＝2，DC＝1，则四边形ABDC的面积的最大值为________.
在△BDC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cs θ＝5－4cs θ，
设∠BDC＝θ，则θ∈(0，π)，
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccs A＋acs C＝2，AC边上的高为 ，则∠ABC的最大值为
∵ccs A＋acs C＝2，
16.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
设∠AMN＝θ，在△AMN中，
在△APM中，cs∠AMP＝cs(60°＋θ).AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cs∠AMP
当且仅当2θ＋150°＝270°，
§4.8 解三角形及其应用举例
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.
LUOSHIZHUGANZHISHI
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同.( )(2)若△ABC为锐角三角形且 ( )(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为 ( )
1.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为
由三角形内角和定理，可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，
2.为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为__________ m.
如图所示，依题意∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，∴4＝b2＋c2－bc，∴bc＋4＝b2＋c2≥2bc，即bc≤4(当且仅当b＝c时取“＝”)，
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的面积最大值为_____.
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)(2022·天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于
从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60 m，所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°，
(2)(2022·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.
由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
＝160sin 15°
＝1 600×20＝32 000，
例2 (1)(2022·重庆沙坪坝质检)在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 米(如图所示)，则旗杆的高度为
依题意可知∠AEC＝45°，∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，
(2)(2022·河南豫南九校联盟联考)如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C，D两个观测点，并在C，D两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和60°，且∠BDC＝60°，则此建筑物的高度为
在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DCcs∠BDC，
例3 (1)(2022·合肥检测)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°
由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图，B正确.
(2)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cs θ等于
由题知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.
在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，
1.(2022·长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
如图所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
2.圣·索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15 －15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，
则小明估算索菲亚教堂的高度为
由题意知∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，
解三角形的应用问题的要点(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解.
跟踪训练1 (1)如图所示，为了测量A，B两岛屿的距离，小明在D处观测到A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两岛屿的距离为________海里.
由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，所以△BCD为等腰直角三角形，
(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m.
由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，
例4 (2022·辽宁实验中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 bsin C＋ccs B＝a.(1)若a＝2，b＝ ，求△ABC的面积；
解三角形中的最值和范围问题
＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围.
由余弦定理得4＝a2＋b2－ab，
即(a＋b)2≤16，∴0
∴2
∵△ABC为锐角三角形，
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cs C＋cs Acs B＝2 sin Acs B.(1)求cs B的值；
(2)若a＋c＝2，求b的取值范围.
由a＋c＝2，可得c＝2－a，由余弦定理，得
解三角形中最值(范围)问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围).
跟踪训练2 (2022·大连模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc.(1)求角A的大小；
∵b2＋c2－a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－bc＝3，∴b2＋c2＝bc＋3≥2bc(当且仅当b＝c时取等号)，∴bc≤3.
KESHIJINGLIAN
1.(2022·济南模拟)如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)A.10 km B.20 kmC.30 km D.40 km
在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°，
所以AC＝310 km，BC＝210 km，所以AC＋BC－AB＝20 km.
2.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.
小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为A.18米 B.19米C.20米 D.21米
在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，
在Rt△BDC中，∠DBC＝45°，则BC＝CD，由AC－BC＝AB得
3.第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，A点，正北方向的C市受到台风侵袭，一艘船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15°方向，船航行 后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东45°方向.此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为
如图，SE⊥AB，在△ASB中，∠ABS＝135°，
∠ASB＝180°－∠ABS－∠SAB＝30°，由正弦定理得
所以船与S岛的最近距离
4.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，B＝2A，则b的取值范围为
因为a＝2，B＝2A，所以由正弦定理得
所以2<4cs A<4，所以2
6.(多选)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c可能的取值是
若c边为最大边，则cs C>0，
若b边为最大边，则cs B>0，
7.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，则甲、乙共走了________步.
由题意，得到示意图如图所示，甲、乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为t秒，每步走a米，则AC＝3ta，AB＝10a，BC＝(7t－10)a，在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，即(3ta)2＋(10a)2＝[(7t－10)a]2，
故共走了24.5＋10.5＝35步.
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin Asin B·cs C＝2sin2C，
∵sin Asin Bcs C＝2sin2C，∴利用正弦定理可得abcs C＝2c2，
当且仅当a＝b时等号成立，
当且仅当a＝b时等号成立.
9.已知函数f(x)＝2 sin xcs x－2cs2x＋m，且函数f(x)的最大值为3.(1)求m的值；
所以f(x)max＝m＋1＝3，解得m＝2.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B)＝0，b＝2，求△ABC面积的最大值.
10.(2022·江苏前黄高级中学质检)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题.
(1)若b＝4，ac＝3，求a＋c的值；
选择①(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B，由正弦定理得(a－c)a＋c2＝b2，
又因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
若b＝4，ac＝3，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B，
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求a的取值范围.
11.(2022·大庆模拟)小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1.A.①和② B.①和③C.②和③ D.①和②和③
在△P1CD中，利用余弦定理求解CD即可.
根据题意，△P1P2D的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，
故①可以求出CD；③与①条件等价.
12.要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度是
由题意，设AB＝x，由于AB⊥平面BCD，BC，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，由题意可得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
整理得x2－20x－800＝0，解得x＝40 或x＝－20 (舍)，即所求电视塔的高度为40 m.
在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝40，根据余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs∠DCB，
13.(2022·长春模拟)在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约_________小时后气象台所在地开始受到影响
设气象台所在地为O，台风中心为A，约t小时后气象台所在地将受到影响，t小时后台风中心移动至B处，∠BAO＝45°，在△OAB中，AB＝40t，OA＝300，OB＝250，由余弦定理得
14.如图，△ABC为等腰直角三角形，A＝ ，点D是△ABC外一点，且DB＝2，DC＝1，则四边形ABDC的面积的最大值为________.
在△BDC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cs θ＝5－4cs θ，
设∠BDC＝θ，则θ∈(0，π)，
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccs A＋acs C＝2，AC边上的高为 ，则∠ABC的最大值为
∵ccs A＋acs C＝2，
16.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
设∠AMN＝θ，在△AMN中，
在△APM中，cs∠AMP＝cs(60°＋θ).AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cs∠AMP
当且仅当2θ＋150°＝270°，
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