新高考数学一轮复习课件 第7章 §7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题

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1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件.
LUOSHIZHUGANZHISHI
2.点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　　)(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度.(　　)(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.(　　)(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　　)
1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为
由条件可得P(－2,1,4)到α的距离为
TANJIUHEXINTIXING
例1　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵N是CC1的中点，∴N(0,4,2).
设点N到直线AB的距离为d1，
(2)求点C1到平面ABN的距离.
设平面ABN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
设点C1到平面ABN的距离为d2，
1.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为___.
如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，
故点P到直线BD的距离
2.如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直线DE到平面PBC的距离.
如图，设DE的中点为O，BC的中点为F，连接OP，OF，OB，因为平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，所以OP⊥平面BCDE.因为在△ABC中，点D，E分别为AC，AB边的中点，所以DE∥BC.因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.又OF⊥DE，
所以以点O为坐标原点，OE，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令y＝z＝1，所以n＝(0,1,1).
设点O到平面PBC的距离为d，
因为点O在直线DE上，
(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．
如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，
则点O到平面ABC1D1的距离
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1,1,1)．所以点D1到平面A1BD的距离
因为平面A1BD∥平面B1CD1，
(2)(2022·枣庄检测)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为______．
以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D1(0,0,2)，G(0,2,1)，F(1,1,0)，
∴点D1到直线GF的距离
立体几何中的探索性问题
例2　(2021·北京)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F.
(1)求证：点F为B1C1的中点；
如图所示，取B1C1的中点F′，
连接DE，EF′，F′C，由于ABCD－A1B1C1D1为正方体，E，F′为中点，故EF′∥CD，从而E，F′，C，D四点共面，平面CDE即平面CDEF′，据此可得，直线B1C1交平面CDE于点F′，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F′重合，即点F为B1C1的中点．
以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，
则M(2,2λ，2)，C(0,2,0)，F(1,2,2)，E(1,0,2)，
设平面MCF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则
设平面CFE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则
令z2＝－1可得n＝(2,0，－1)，
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；
如图，取AB的中点D，连接CD，B1D.
因为三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，
又因为AB⊥B1C，且CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面B1CD，所以AB⊥平面B1CD.又因为B1D⊂平面B1CD，所以AB⊥B1D.在Rt△B1BD中，BD＝1，B1B＝2，
所以CD2＋B1D2＝B1C2，所以CD⊥B1D，又因为AB⊥B1D，AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以B1D⊥平面ABC.又因为B1D⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.
假设在棱BB1上存在点P满足条件．以DC，DA，DB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为点P在棱BB1上，
设平面ACC1A1的法向量为n＝(x，y，z)，
化简得16λ2－8λ＋1＝0，
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
跟踪训练2　如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
如图，连接BD，设AC交BD于点O，连接SO.
由题意知，SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，
故OC⊥SD，从而AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；
设平面PAC与平面DAC的夹角为θ，
所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°.
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
假设在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由于BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.因此在棱SC上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1.
KESHIJINGLIAN
(1)求点A到平面PCF的距离；
由题意知AP，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图，
则A(0,0,0)，B(a，0,0)，C(a，a，0)，D(0,3a，0)，P(0,0，a).设F(0，m，0)，0≤m≤3a，
∴m＝2a，即F(0,2a，0).设平面PCF的法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，得n＝(1,1,2).
(2)求AD到平面PBC的距离．
设平面PBC的法向量为n1＝(x0，y0，z0)，
取x0＝1，得n1＝(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h，
∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC，∴h为AD到平面PBC的距离，
2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD的中点.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
因为四边形ABCD为正方形，则BC⊥AB，CD⊥AD，因为PB⊥BC，BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为PA⊂平面PAB，所以PA⊥BC，因为PD⊥CD，CD⊥AD，PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥CD，因为BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.
(2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值；
因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，不妨以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，
取y＝1，可得m＝(－1,1，－1)，
设点F(2，t，0)(0≤t≤2)，设平面PAF的法向量为n＝(a，b，c)，
取a＝t，则n＝(t，－2,0)，
(1)若点M是AD的中点，求证：C1M⊥A1C；
如图，取BC的中点Q，连接AQ，AC，∵四边形ABCD为菱形，则AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵Q为BC的中点，则AQ⊥BC，∵AD∥BC，∴AQ⊥AD，由于AA1⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，以AQ，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，
平面ADD1的一个法向量为m＝(1,0,0)，
4.(2022·潍坊模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
因为△PAD是正三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD.又因为CD⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥CD.又AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.
(2)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小；
如图，连接OG，以O点为坐标原点，分别以OA，OG，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(－2,4,0)，D(－2,0,0)，G(0,4,0)，
设平面EFG的法向量为m＝(x，y，z)，
又平面ABCD的法向量n＝(0,0,1)，设平面EFG与平面ABCD的夹角为θ，
(3)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成的角为 ，若存在，求线段PM的长度；若不存在，请说明理由．
不存在，理由如下：假设在线段PA上存在点M，