江苏省南京市第三中学2022-2023学年八年级下学期月考第一次月考数学试卷

初二年级数学学科练习一

一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是

A.    B.     C.    D.

2.今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法正确的是

A.这4万名考生的全体是总体      B.每个考生是个体

C.2000名考生是总体的一个样本     D.样本容量是2000

3.下列事件中，必然事件是

A.367人中至少有2人生日相同      B.任意画一个三角形，其内角和是

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯    D.掷一枚骰子，向上一面的点数是6

4.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是

A.对边相等    B.对角相等    C.对角线相等    D.对角线互相平分

5.“六·一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法不正确的是

A.当很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70

B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70

C.如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次

D.转动转盘10次，一定有3次获得文具盒

6.如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，此时点恰好在线段上，若，，则的度数为

A.     B.     C.     D.

7.如图，已知是菱形的边上一点，且，那么的度数为

A.     B.     C.     D.

8.如图，已知菱形的对角线、的长分别为、，于点，则的长是

A.    B.    C.    D.

9.如图所示，矩形中，平分交于，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有

A.①②③     B.①②④     C.①③④     D.②③④

10.如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠得到，延长交边于点，则的长为

A.2      B.     C.3      D.

二、填空题

11.袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，是红球的可能性__________（选填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性．

12.下列事件；①五一假期下雨；②抛掷10枚硬币，有5枚硬币落地时正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长为、、的三条线段能围成一个三角形，其中确定事件有__________（填写序号）．

13.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1~4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频率为__________．

14.如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则__________．

15.如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件__________，使成为菱形（只需添加一个即可）．

16.如图，在平行四边形中，于点，于点，若，则__________．

17.如图，在平行四边形中，经过对角线的交点，交于点，交于点．若，，，那么四边形的周长为__________．

18.如图，矩形的对角线、相交于点，，，则矩形的对角线长为__________．

19.某市从2008年开始加快了保障房建设进程，现将该市2008年到2012年新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图．

则由图分析可知，该市2011年新建保障房__________套．

20.如图，在一张矩形纸片中，，，点分别在，上，将矩形沿直线折叠，点落在边上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②线段的取值范围为；③；④当点与点重合时，，其中正确的结论是__________．

三、解答题

21.（本题8分）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．

（1）按要求作图：

①以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转得到；

②作出关于原点成中心对称的中心对称图形．

（2）中顶点坐标为__________．

22.（本题8分）为增强学生环保意识，科学实施理类管理，某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”．首轮每位学生答题39题，随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表：

根据以上信息完成下列问题：

（1）统计表中的__________，__________；

（2）请补全条形统计图；

（3）已知该中学共有1500名学生，如果答题正确个数不少于32个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛全校顺利进入第二轮的学生人数有多少？

23.（本题8分）在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）学生利用数学实验分组做摸球试验：现将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：

（1）按表格数据格式，表中的__________，__________；

（2）请推算：摸到红球的概率是__________（精确到0.1）；

（3）试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．

24.（本题8分）如图，平行四边形中，、分别是边、的中点，求证：．

25.（本题8分）如图，在矩形中，点在上，且平分．

（1）是否为等腰三角形？请给出证明；

（2）若，，求的长．

26.（本题8分）如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，求菱形的面积．

27.（本题12分）如图，四边形是矩形，点、在坐标轴上，点坐标，是绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点．

（1）求直线的表达式；

（2）求的面积；

（3）点在轴上，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1.B

【详解】试题解析：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

B、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

故选B．

考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形．

2.D

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【详解】A.这4万名考生的数学成绩是总体，此选项错误；

B.每个考生的数学成绩是个体，此选项错误；

C.2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误；

D.样本容量是2000，此选项正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

3.A

4.C

【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．

【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．

故选C．

【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．

5.D

【分析】

【详解】从表格中可以看出：当很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A正确；

用频率来估计概率，可以得出：假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B正确；

用频率来估计概率，可以得出：假如你去转动转盘一次，获得文具盒的概率大约是0.30，故如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次，故C正确；

只是用频率来估算概率，并不是绝对的数据，所以转动转盘10次，不一定有3次获得文具盒，故D错误．

故选D．

6.B

【分析】由旋转的性质得出，得出，，证出是等边三角形，得出，由三角形内角和定理求出的度数，即可得出结果．

【详解】由旋转的性质得：，

，，

，

是等边三角形，

，

；

故选B．

【点睛】考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

7.C

【详解】，

，

，

在三角形中，，，

，

又，

，

．

故选C．

8.D

【分析】根据菱形的性质得出、的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，可得出的长度．

【详解】四边形是菱形，

，，，

．

．

又，

，

即．

故选D．

点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．

9.C

【分析】由矩形的性质得，再证，得是等边三角形，故①正确；然后由含角的直角三角形的性质得，则，故②错误；然后由得，，故③④正确．

【详解】解：四边形是矩形，

，，，，，

，

平分，

，

，

，

，

，

是等边三角形，故①正确；

，

，

，

，

，故②错误；

，

，，故③④正确；

故答案为：C．

【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出是解题的关键．

10.C

【分析】由正方形和折叠的性质得出，，由即可证明，得出，设，则，，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可．

【详解】解：四边形是正方形，

，，

由折叠得：，，

，，

在和中，

，

，

，

，

，

设，则，，

在中，由勾股定理得：，

，，

解得：，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的运用，灵活运用相关的性质定理是解题的关键．

11.大于

【详解】解：摸出1个球是红球的概率是，摸到白球的概率是，

故摸到红球的概率大于摸到白球的概率．

故答案为：大于．

【点睛】本题考查的是事件的可能性的大小．

12．③④##④③

【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可：①五一假期下雨，是随机事件；②抛掷10枚硬币，有5枚硬币落地时正面朝上，是随机事件；③任取两个正整数，其和大于1，是确定事件；④长为、、的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件，是确定事件．

【详解】解：①五一假期下雨，是随机事件；

②抛掷10枚硬币，有5枚硬币落地时正面朝上，是随机事件；

③任取两个正整数，其和大于1，是必然事件，是确定事件；

④长为、、的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件，是确定事件．

综上：确定事件有③④；

故答案为：③④．

【点睛】本题考查事件的分类．熟练掌握确定事件分为必然事件和不可能事件，是解题的关键．

13. 0.1

【分析】先求出第5组的频数，再根据频率公式求出第5组的频率答案

【详解】解：某班40名学生的成绩被分为5组，第1~4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频数为：

故答案为：0.1

【点睛】在计算概率时，一般会从两个大的方面考查：一是直接计算概率，这时用到概率公式，即一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．另一种则是根据所涉及到的事件之间的关系，通过求已知事件的概率解决．

14. 30

【分析】根据旋转的性质得到，再用减去即可．

【详解】将绕点按逆时针方向旋转后，得到，

，

又，

．

故答案为．

15.（答案不唯一）．

【详解】解：添加条件即可；

，，

四边形是平行四边形，

四边形对角线互相垂直，

平行四边形是菱形．

故答案为：（答案不唯一）

16.

【分析】由垂直的性质和四边形的内角和为可求出，利用平行四边形的性质即可求得的度数．

【详解】，，

，

，

四边形是平行四边形，

，

故答案为：；

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，四边形内角和定理，垂直的性质，利用四边形内角和定理求得的度数是解题的关键．

17. 12.6

【详解】试题分析：四边形是平行四边形，

，，，

，

在和中，

，

，

，，

，

四边形的周长为：．

考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．

18.

【详解】试题分析：根据邻补角的定义求出，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形三条边都相等可得，然后求解即可．

解：，

，

四边形是矩形，

，

是等边三角形，

，

．

故答案为．

19. 900

【详解】试题分析：2011年保障房的套数为：（套）

考点：1.折线统计图；2.条形统计图.

20.①②④

【分析】①先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点与点重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出②正确；

③假设，根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时平分，判断出③错误；

④过点作于，求出，再利用勾股定理列式求解得到，判断出④正确．

【详解】解：①与，与都是原来矩形的对边、的一部分，

，，

四边形是平行四边形，

由翻折的性质得，，

四边形是菱形，

故①正确；

②点与点重合时，设，则，

在中，，

即，

解得，

点与点重合时，，

，

线段的取值范围为，

故②正确；

③如图，过点作于，设，交于点，

四边形是菱形，

，

若，则

则平分，

，

即只有时平分，故③错误；

则，

由勾股定理得，

，

故④正确．

综上所述，结论正确的有①②④．

故答案为：①②④．

【点睛】本题主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．

21.（1）见解析；（2）

【分析】（1）①连接，过点在第三象限作，使即可得到点，同法作出点、，再顺次连接、、即可；②连接并延长到，使即可得到点，同法作出点、，再顺次连接这三点即可．

（2）根据（1）中所画图形，写出点的坐标即可．

【详解】解：

（1）①如下图所示：，即为所求三角形；

②如下图所示：，即为所求三角形；

（2）如下图，中顶点坐标为：．

故答案为．

22．（1）30，20；（2）见解析；（3）300人

【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出调查总数，进而求出组、组的频数，调查答案；

（2）根据频数可补全条形统计图；

（3）求出答题正确个数不少于32个的学生所占得百分比即可．

【详解】解：（1）调查总数为：（人），

（人），

，

故答案为：30，20；

（2）补全统计图如下：

（3）（人），

答：全校顺利进入第二轮的学生大约有300人．

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．

23．（1）126，0.406

（2）0.4

（3）0.6

（4）15

【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得、的值即可；

（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；

（3）摸到红球的概率为；

（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；

【详解】（1），；

故答案为：126，0.406；

（2）当次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；

故答案为：0.4；

（3）摸到红球的概率是；

故答案为：0.6；

（4）设红球有个，根据题意得：

解得：，经检验是原方程的解，

故答案为：15．

【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．

24．证明见解析．

【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．

【详解】解：在中，

，

、分别是边、的中点，

，

四边形是平行四边形

【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型

25．（1）是，证明见解析；（2）

【分析】（1）本题根据平行性质可知，继而结合角分线性质求证即可解答本题．

（2）本题首先利用等角对等边以及勾股定理求解，继而根据以及矩形性质求解，最后边长相减即可求解．

【详解】（1）是等腰三角形，

平分，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

是等腰三角形；

（2），矩形，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查矩形的综合，解题关键在于对相关概念的理解，等腰三角形的性质与证明需要熟练掌握，其次求解具体边长时勾股定理较为常用．

26.（1）证明见解析；（2）菱形的面积为

【详解】试题分析：（1）根据菱形的对边平行且相等可得，，然后证明得到，，从而证明四边形是平行四边形；

（2）根据（1）的结论，以及菱形的性质可求出两对角线，然后根据菱形的面积=对角线之积的一半可求解．

试题解析：（1）四边形是菱形，

，；

又，

．

，

四边形是平行四边形．

（2）四边形是平行四边形，

．

．

又四边形是菱形，

，．

，

．

，

．

．

．

菱形的面积

27.（1）；（2）；（3）存在，点坐标为或或或

【分析】（1）先求出的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；

（2）先求出点的坐标，即可得出，可求得的面积；

（3）分类讨论，①为对角线，②、为对角顶点，且点轴正半轴上，③、为对角顶点，且点轴负半轴上，④为对角线，分别画出图形，计算即可．

【详解】（1）点坐标，

，，

是绕点顺时针旋转得到的，

，，

点坐标为，点坐标为，

设直线的解析式为，

把、的坐标代入可得，，

解得：，

直线的解析式为；

（2）设直线的解析式为，

把的坐标代入可得，

解得：，

直线的解析式为，

解方程组，得，

点坐标为，

直线的解析式为，

令，则，

点坐标为，

，

；

（3）点坐标为，点坐标为，

，，，

①当为对角线时，四边形是菱形，如图：

设，

在中，，

，

，

解得：，

点坐标为；

②、为对角顶点，且点轴正半轴上时，四边形是菱形，如图：

，

点坐标为；

③、为对角顶点，且点轴负半轴上时，四边形是菱形，如图：

，

点坐标为；

④当为对角线时，四边形是菱形，如图：

根据菱形的对称性，知：、关于轴对称，

点坐标为；

综上可知存在满足条件的点，坐标为或或或．

【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法、旋转的性质、矩形的性质、勾股定理的应用等．在（1）中求得、坐标是解题的关键，在（2）中联立两直线求得点的横坐标是解题的关键，在（3）中画出图形确定出点的位置是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．