湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二数学下学期第一次月考试卷（Word版附解析）

长郡中学2022～2023学年度高二第二学期第一次模块检测

数学

得分：__________

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合，，若，则（    ）．

A． B． C． D．

2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ）．

A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84

3．已知m，n为常数，则“”是“”的（    ）条件

A．充要  B．必要不充分

C．充分不必要  D．既不充分也不必要

4．已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

5．若，，则下列不等式一定成立的是（    ）．

A．  B．

C．  D．

6．已知函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为（    ）．

A．  B．

C．  D．

7．已知x，y的对应值表为：

且x，y线性相关，由于表格污损，y的对应值看不到了，若，且线性回归直线方程为，则时，y的预报值为（    ）．

A．6.1 B．22.1 C．12.6 D．3.5

8．设，，，则（    ）．

A． B． C． D．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知，，且，则（    ）．

A．  B．

C． D．

10．乒乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（    ）．

A．三局就结束比赛的概率为       B．的常数项为3

C．函数在上单调递减       D．

11．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（    ）．

A．当时，

B．当时，

C．当时，

D．当时，Y的均值为

12．设函数，对于给定的正数K，定义函数，若对于函数定义域内的任意x，恒有，则K的值可以是（    ）．

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知，，若，则__________．

14．小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了衡山、大围山、岳麓山、君山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了衡山景点”，则__________．

15．有如下四个命题：

①甲乙两组数据分别为甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．

②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．

③若由一个列联表中的数据计算得的观测值约为4.103，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05．（参考第16题附表）

④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应数据的残差是指．

以上命题错误的序号是__________．

16．某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的．若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有_________人．（请将所有可能的结果都填在横线上）

附表：，其中．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

集合，．

（1）用区间表示集合A；

（2）若，，，求a，b的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知定义域为R的函数是奇函数．

（1）求b的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点E，作交于点F，连接，，，．

（1）证明：；

（2）若，平面与平面所成二面角的大小为，求三棱锥的体积．

20．（本小题满分12分）

某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如表：

他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．

（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．

（ⅰ）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；

（ⅱ）当广告投入量时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

21．（本小题满分12分）

为弘扬中华传统文化，吸收前人在修身、处世、治国、理政等方面的智慧和经验，养浩然正气，塑高尚人格，不断提高学生的人文素质和精神境界，某校举行传统文化知识竞赛活动．竞赛共有“儒”和“道”两类题，每类各5题．其中每答对1题“儒”题得10分，答错得0分；每答对1题“道”题得20分，答错扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4题回答（每个题抽后不放回），要求“道”题中至少抽2题作答．已知小明同学“儒”题中有4题会作答，答对各个“道”题的概率均为．

（1）若小明同学在“儒”题中只抽1题作答，求他在这次竞赛中得分为35分的概率；

（2）若小明同学第1题是从“儒”题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，应从“道”题中抽取几道题作答？

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）证明：曲线在点处的切线l恒过定点；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

长郡中学2022～2023学年度高二第二学期第一次模块检测

数学参考答案

一、二、选择题

6．C

【解析】∵函数为偶函数，且有，

∴，∴，即，

∴函数，

又∵在上单调递增，∴，

∴抛物线的开口向上，则的解集为．

7．A

【解析】由表格知，，

∵，∴，代入得：，

∴，则回归方程为，

当时，．

8．D

【解析】因为，，

则

，

所以，

又因为，所以，

又由，所以，所以．

9．ABD

【解析】∵，∴，

∴，，故A正确；

∵，，且，∴，，

∴，∴，故B正确；

，故D正确；

∵，∴，∴，故C错误．

10．ABD

【解析】设实际比赛局数为x，则，

，，

因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；

，

由，则常数项为3，则B正确；

由，则D正确；

由，

∵，∴，

∴令，则；令，则，

则函数在上单调递增，在上单调递减，则C不正确．

11．BCD

【解析】对于A，当时，，，

则，选项A错误；

对于B，当时，由，，可得，或，，

所以，选项B正确；

对于C，当，，，

则，选项C正确；

对于D，当时，Y的可能取值为1，2，

则，

，

则Y的均值为，选项D正确．

故选BCD．

12．AB

【解析】令，可得，

所以，即的最小值为1，

因为，，

所以对任意的x恒有，即K的最大值为1．

三、填空题

13．      14．      15．①②

16．45，50，55，60，65

【解析】设男生有x人，由题意可得列联表如下，

若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，

则．

∵，

∴，解得，

又x为5的整数倍，∴被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65．

四、解答题

17．【解析】（1）由，有，解得或，

∴．（5分）

（2）由，有，而，

可得，

又，，解得或．（7分）

∵，∴，解得，，

∴a，b的取值范围是，．（10分）

18．【解析】（1）因为定义域为R的函数是奇函数，

所以，解得，（2分）

经检验，当时，，

，函数为奇函数，

所以．（5分）

（2）因为函数为奇函数且在定义域R上单调递减，

所以由可得，

即，也即，所以．（9分）

当时，函数有最小值为，

所以．（12分）

19．【解析】（1）因为矩形，所以，

由底面为长方形，有，而，

所以平面．而平面，所以．

又因为，点E是的中点，所以．

而，所以平面．而平面，所以．

又，，所以平面．

所以得证．（6分）

（2）如图，以D为原点，射线，，分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

因为，设，

则，，，，

，点E是的中点，所以，

由平面，所以是平面的一个法向量；

由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量．

若平面与平面所成二面角的大小为，

则，解得．（9分）

所以，，

所以．（12分）

20．【解析】（1）选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．（4分）

（2）（ⅰ）剔除异常数据，即组号为3的数据，

剩下数据的平均数为，

；（6分）

，

．

所以，．

所以所选模型的回归方程为．（10分）

（ⅱ）当广告投入量时，该模型收益的预报值是万元．（12分）

21．【解析】（1）记“小明在竞赛中得35分”，则A表示“儒”题答错，“道”题2对1错，

所以．（5分）

（2）当剩下3道题小明选择从“儒”题中抽取1题，“道”题中抽取2题作答时，

设4题总得分为X，此时设“道”题中答对的题数为，

则，．

（ⅰ）“儒”题中的第二题答对时总得分的期望：

．

（ⅱ）“儒”题中的第二题答错时总得分的期望：

，

此时小明的总得分期望值；

当剩下3道题小明选择都从“道”题中抽取作答时，设答对题数为，4题总得分为Y，

则，，（10分）

，

所以．

因为，即小明应从“道”题中抽取2道题作答．

22．【解析】（1），，

又，

∴曲线在点处的切线方程为，

即，当时，，

故切线l过定点．（5分）

（2）∵，是的两个零点，且，

∴，可得，

∴，

令，∴，

构造函数，，（8分）

令，则，则在上单调递增，

而，∴，

则在上单调递增，

∴，可得，则，

即，则．（12分）