（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系 单元测试

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系 单元测试

一、单选题（每题3分，共30分）

1．在 中， ， ， ，则 的值为（　　） 

A． B． C． D．

2．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） 

A． B．1 C． D．

3．若 ，则 的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

4．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　） 

A．

B．

C．

D．

5．如图，将长、宽分别为6cm， cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（　　） 

A． cm2     

B．（36 ）cm2 

C． cm2

D． cm2

6．一辆汽车在坡角为 的坡面上行驶1000米，则它上升的高度为（　　）米 

A． B． C． D．

7．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠ ，那么钢管AB的长为（　　）

A．m•sin  B．m•cos  C． D．

8．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线，已知甲山AC的坡比为15：8.乙山BD的坡比为4：3，甲山上A点到河边c的距离AC＝340米，乙山上B点到河边D的距离BD＝900米，从B处看A处的俯角为26°，则河CD的宽度是（参考值：sin26°＝0.4383，tan26°＝0.4788，co26°＝0.8988）结果精确到0.01）（　　） 

A．177.19米 B．188.85米 C．192.0米 D．258.25米

9．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（　　） 

A．俯角67°方向 B．俯角23°方向

C．仰角67°方向 D．仰角23°方向

10．如图，某一时刻，小宁站在斜坡AC上的A处，小李在大楼FD的楼顶F处，此时小宁望小李的仰角为18.43°.5秒后，小宁沿斜坡AC前进到达C处，小李从大楼F处下楼到大楼E处，此时小李望小宁的俯角为22.6°；然后小李继续下楼，小宁沿CD前往楼底D处，已知小宁的速度为5.2米/秒，大楼FD的高度为30米，斜坡AC的坡度为1：2.4，小李、小宁都保持匀速前进，若斜坡、大楼在同一平面内，小李、小宁的身高忽略不计，则当小李达到楼底D处时，小宁距离D处的距离为（　　）米. 

（已知：tan18.43°≈ ，sin18.43°≈ ，cos22.6°≈ ，tan22.6≈ ）

A．10 B．15.6 C．20.4 D．26

二、填空题（每题3分，共15分）

11．如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为　     　（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．

12．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为　     　米．  

13．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为2 米，那么此拦水坝的坡角为　     　度.

14．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为　            　m．（结果保留根号）

15．如图，已知斜坡 AB 的坡度为 3∶4．若坡长 AB=10m，则坡高 BC=　     　m．

三、解答题（共8题，共55分）

16．如图,在4×8的矩形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,求tan∠BAC的值.

17．先化简，再求代数式的值，其中．

18．（1）验证下列两组数值的关系：

2sin30°•cos30°与sin60°；

2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．

（2）用一句话概括上面的关系．

（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．

（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．

19．如图，在△ABC中，∠B=90°， ，D是 上的一点，连结 ，若∠BDC=60°，BD= ．试求AC的长． 

20．如图，在△ABC中，AB=2 ，AC=4，∠B=45°，求BC的长． 

21．如图1是1副创意卡通圆规，图2是其平面示意图， 是支撑臂， 是旋转臂，使用时，以 为支撑点，铅笔芯端点 可绕点 旋转作出圆．已知 ，当 时，所作圆的半径为 ；保持 不变，在旋转臂 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆半径仍为 ，求铅笔芯折断部分的长度．（参考数据： ， ，结果精确到 ） 

22．楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.
 

23．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物 的高度，他们先在斜坡上的 处，测得建筑物顶端 的仰角为30°.且 离地面的高度 .坡底 ，然后在 处测得建筑物顶端 的仰角是60°，点 、 、 在同一水平线上，求建筑物 的高.（结果用含有根号的式子表示）

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】A

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】D

10．【答案】A

11．【答案】8.1m

12．【答案】13

13．【答案】60

14．【答案】（）

15．【答案】6

16．【答案】解:找到∠BAC所在的直角三角形,进而求得∠BAC的对边与邻边之比.连结BD,

由勾股定理可得BD,AB,AD分别为 ,2 , ,由勾股定理的逆定理可得△ABD为直角三角形,且∠ABD=90°,所以tan∠BAC= = .

17．【答案】解：原式

，

当时，代入：

∴原式

18．【答案】解：（1）∵2sin30°•cos30°=2××=，sin60°=．

2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°=≈0.7，

∴2sin30°•cos30°=sin60°，2sin22.5°•cos22.5=sin45°；

（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；

（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°=；

故结论成立；

（4）2sinα•cosα=sin2α．

19．【答案】解：在△ABC中，∠B=90°，cosA＝ ,  

∴ ．

设：AB=5x，AC=7x，

由勾股定理  得BC＝2 xFF0C       

在Rt△DBC中，∠BDC=60°，BD=2 ，

∴BC=BDtan60°=2 × =6，

∴2 x=6，

解得 x= ，

∴AC=7x= ．

20．【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D， 

在Rt△ABD中，∵cosB= ，

∴BD=ABcos45°=2 × =2 ，

∵∠B=45°，

∴AD=BD=2 ，

在Rt△ACD中，AC=4，

∴CD= ，

所以BC=BD+DC=2 +2.

21．【答案】解：如下图所示，作AD⊥OB与OB交于D， 

∴∠ADO=90°，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

在OB上作AC=AB，此时在保持 不变，在旋转臂 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆半径仍为 ，

∵AC=AB，AD⊥OB，

∴CD=BD，即 ．

即铅笔芯折断部分约为2.7cm．

22．【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，

在Rt△CEF中，

∵i＝ ＝ ＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，

∴EF＝ CE＝9米，CF＝9 米，

∴BH＝EF＝9米，HE＝BF＝BC+CF＝（30+9 ）米，

在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，

∴AH＝HE＝（30+9 ）米，

∴AB＝AH+HB＝（39+9 ）米.

答：楼房AB的高为（39+9 ）米.

23．【答案】解：过点 作 ，交 于点 .

∵ ， ， ，

∴四边形 为矩形，

∴ ， ，

又∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

即 ，

∴